Théorie De La Décision Descriptive

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Théorie de la décision descriptive

Première publication mar.26 sept. 2017

La théorie de la décision descriptive vise à caractériser et à expliquer les régularités dans les choix que les gens sont disposés à faire. Elle se distingue généralement d'une entreprise parallèle, la théorie de la décision normative, qui cherche à rendre compte des choix que les gens devraient être disposés à faire. Une grande partie du travail dans ce domaine a été consacrée à la construction et à la mise à l'essai de modèles formels visant à améliorer l'adéquation descriptive d'un cadre connu sous le nom d '«utilité subjective attendue» (SEU). Cette adéquation a été remise en question pour la première fois au milieu du siècle dernier, puis remise en question par une multitude de travaux expérimentaux en psychologie et en économie à partir du milieu des années 1960.

Cette entrée esquisse d'abord les engagements de base de SEU, avant de passer à certaines de ses lacunes empiriques les plus connues et à une petite sélection de ces modèles qui ont été proposés pour le remplacer. La relation entre la théorie de la décision descriptive et sa contrepartie normative est ensuite discutée, établissant des liens avec un certain nombre de sujets connexes dans la littérature philosophique. [1]

  • 1. Le modèle standard: utilité subjective attendue

    • 1.1 Théorème de représentation de Savage
    • 1.2 La preuve de Savage
    • 1.3 Le triangle des probabilités
  • 2. La question de l'indépendance

    • 2.1 Les paradoxes d'Allais
    • 2.2 Réponses théoriques

      • 2.2.1 Sophistication probabiliste
      • 2.2.2 Modèles avec entre-deux
      • 2.2.3 Modèles sans entre-deux
  • 3. La question de la croyance probabiliste

    • 3.1 Le paradoxe des trois couleurs d'Ellsberg
    • 3.2 Réponses théoriques

      • 3.2.1 «Probabilités» non additives
      • 3.2.2 A priori multiples
  • 4. La question de l'ordre faible

    • 4.1 Transitivité
    • 4.2 Exhaustivité
  • 5. Théorie de la décision descriptive vs normative
  • 6. Lectures complémentaires
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Le modèle standard: utilité subjective attendue

La théorie canonique du choix - Utilité subjective attendue (SEU) - doit son origine aux travaux de Savage (1954), s'appuyant sur les contributions précédentes de De Finetti (1937), Ramsey (1931) et von Neumann et Morgenstern (1947). Il offre un traitement homogène à la fois des décisions en situation de «risque» - situations dans lesquelles le décideur a connaissance des probabilités objectives de tous les événements pertinents pour le succès de ses actions ou en a des convictions fermes - et des décisions sous «incertitude »- dans lequel il ou elle ne le fait pas. Dans son incarnation non normative, il propose à tout le moins que les agents puissent être décrits comme si:

  1. associant aux conséquences éventuelles des actes dont ils disposent deux grandeurs numériques:

    1. une «utilité» correspondant au degré auquel ils souhaiteraient que le résultat se produise et
    2. une «probabilité subjective» correspondant à leur degré de confiance dans l'occurrence du résultat étant donné l'accomplissement de l'acte, un degré de confiance qui peut ou non être donné par une évaluation correspondante des probabilités objectives;
  2. étant telles que leurs préférences entre les actes, et donc leurs dispositions à choisir certains actes par rapport à d'autres, sont déterminées par ces quantités de telle sorte que les actes sont classés par leur utilité attendue subjective, c'est-à-dire la somme subjective pondérée en probabilités des utilités de leurs résultats possibles.

Des incarnations ontologiquement plus audacieuses de la vision montrent que les agents sont si descriptibles parce qu'ils ont vraiment des degrés de croyance et de désirs, des états psychologiques familiers introspectivement, qui déterminent leurs préférences et leurs choix de cette manière.

Un certain nombre de résultats formels importants, connus sous le nom de «théorèmes de représentation», montrent que cette affirmation sur la descriptibilité peut être dérivée d'un ensemble de principes généraux plausibles à première vue, également appelés «postulats» ou «axiomes», relatifs aux préférences des agents sur les actes. En outre, non seulement ces axiomes sont-ils collectivement suffisants pour déduire la revendication de SEU, mais un sous-ensemble significatif d'entre eux s'avère également nécessaire individuellement. Il n'est donc pas surprenant que la plupart des travaux d'évaluation de l'adéquation empirique de SEU se soient concentrés sur le test des axiomes susmentionnés. De tels tests pourraient, dans le meilleur des cas, saper une raison essentielle pour approuver l'allégation et, dans le pire des cas, fournir des motifs de rejet. En conséquence, une brève esquisse des premiers résultats de Savage s'impose.

1.1 Théorème de représentation de Savage

Dans le cadre de Savage, les actes sont modélisés comme des fonctions qui mappent les états possibles du monde aux résultats, les conséquences, si vous le souhaitez, de l'accomplissement de l'acte pertinent dans l'état de nature pertinent. L'ensemble des actes sera noté (mathcal {A} = {f_1, f_2, / ldots g_1, g_2 / ldots }), l'ensemble des états par (mathcal {S} = {s_1, s_2, / ldots }) et l'ensemble des résultats par (mathcal {X} = {x_1, x_2, / ldots, x_n }). Pour les besoins actuels, on peut supposer que les actes considérés sont simples, c'est-à-dire que leur portée est finie. Un acte sera appelé «constant» si et seulement s'il met en correspondance tous les états sur un même résultat. Les ensembles d'états, également appelés événements, seront désignés par des lettres majuscules (A_1, A_2, / ldots, B_1, B_2, / ldots) etc. L'ensemble de ces événements sera noté (mathcal { E}).(E_i ^ f) désignera l'ensemble des états que l'acte (f) mappe sur le résultat (x_i), c'est-à-dire ({s / in / mathcal {S}: f (s) = x_i }). Il sera également utile de désigner par (fAg) l'acte qui mappe les états de (A) aux mêmes résultats que (f) et les états en dehors de (A) aux mêmes résultats que (g) fait.

Les dispositions de choix de l'agent à un moment donné sont supposées être déterminées par ses préférences, de telle sorte que, à partir de tout ensemble d'actes particuliers, l'agent est susceptible de choisir tous et uniquement les actes pour lesquels aucun autre acte est strictement préférable. (f / succeq g) dénotera le fait qu'un agent trouve que l'acte (f) n'est pas moins souhaitable que l'acte (g). (succ) (préférence stricte) et (sim) (indifférence) représentent respectivement les parties asymétrique et symétrique de (succeq), de sorte que (f / succ g) iff (f / succeq g) mais pas (g / succeq f) et (f / sim g) ssi (f / succeq g) et (g / succeq f). Il est pratique d'étendre cette relation de préférence à l'ensemble des résultats en définissant, pour tous les résultats (x_1) et (x_2),(x_1 / succeq x_2) ssi l'acte constant qui donne (x_1) dans tous les états est faiblement préféré à celui qui donne (x_2) dans tous les états.

Savage prouve qu'il existe un certain ensemble spécifique de contraintes sur les ordres de préférence sur les actes qui seront satisfaits si et seulement si cet ordre est représentable par une fonction à valeur réelle (U) de domaine (mathcal {A}) (de sorte que (f / succeq g) iff (U (f) succeq U (g))), tel que

) tag {1} U (f) = / sum / limits_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i))

où (u: / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) est une fonction utilitaire de conséquence unique jusqu'à une transformation linéaire positive et (P: / mathcal {S} mapsto [0,1]) est une fonction de probabilité subjective unique, satisfaisant (P (varnothing) = 0), (P (mathcal {S}) = 1), et la propriété d'additivité finie (P (A / cup B) = P (A) + P (B)) pour tous les événements disjoints (A, B). En d'autres termes, (U) renvoie la somme des utilités des résultats possibles, chacune multipliée par la probabilité subjective de l'ensemble des états qui sont mappés sur ce résultat.

Pour le cas où (mathcal {X}) est fini, l'ensemble des axiomes de Savage est au nombre de six. Cependant, seuls trois d'entre eux apparaissent dans la discussion qui suit. Le premier ne nécessite aucun commentaire:

Ordre faible (succeq) est un ordre faible, c'est-à-dire qu'il est à la fois transitif (pour tous les actes (f, g, h): if (f / succeq g) et (g / succeq h), puis (f / succeq h)) et complète (pour tous les actes (f, g): soit (f / succeq g) ou (g / succeq f)).

La seconde nous dit que, en comparant deux actes, on ignore leur comportement sur l'ensemble des états dans lesquels ils ont des conséquences identiques:

Sure-Thing Pour tous les actes (f, g, h, h ') et tout événement (A): (fAh / succeq gAh) iff (fAh' / succeq gAh ').

Le troisième est donné comme suit:

Probabilité comparative faible Pour tous les résultats (x_1, x_2, x_3, x_4) et événements (A, B): if (x_1 / succ x_2) et (x_3 / succ x_4), alors (x_1Ax_2 / succeq x_1Bx_2) iff (x_3Ax_4 / succeq x_3Bx_4).

La justification de sa proposition réside dans l'idée que, si (x_1 / succ x_2), alors (x_1Ax_2 / succeq x_1Bx_2) reflète un engagement à affirmer que (A) est au moins aussi probable que (B), et par conséquent, il en va de même pour (x_3Ax_4 / succeq x_3Bx_4), quand (x_3 / succ x_4).

Ces trois conditions, il convient de noter, sont individuellement nécessaires pour la représentabilité de SEU, de sorte que tout maximiseur de SEU doit les satisfaire. En outre, Savage propose deux autres conditions non nécessaires, également appelées «structurelles», respectivement connues sous le nom de «non-dégénérescence» et de «continuité des petits événements», ainsi qu'une autre condition nécessaire de «monotonie événementielle», qui indique nous que, dans certaines circonstances légères, le résultat du remplacement d'une ou plusieurs occurrences d'un résultat donné par un autre donnera lieu à un acte préféré si et seulement si le nouveau résultat est préféré à l'original.

1.2 La preuve de Savage

Avec tout cela en main, le résultat de Savage peut être établi comme suit. Tout d'abord, on introduit une relation de «probabilité comparative subjective» (unhd), telle que (A / unrhd B) iff pour tous les résultats (x_1) et (x_2) tels que (x_1 / succ x_2), (x_1Ax_2 / succeq x_2Ax_1) iff (x_1Bx_2 / succeq x_2Bx_1). Les axiomes de Savage peuvent alors être montrés pour garantir que (unhd) satisfait un certain nombre de propriétés appropriées, la continuité des petits événements garantissant que (unhd) est représentable par une fonction de probabilité subjective (P) qui est unique. Il est à noter qu'en présence de probabilité comparative faible, c'est principalement le principe Sure-Thing qui permet de dériver la propriété d'additivité de (P).

Deuxièmement, en utilisant à nouveau ces axiomes, il peut alors être établi qu'un agent est indifférent entre deux actes quelconques qui, pour chaque résultat, attribuent des probabilités égales aux ensembles d'états respectifs qu'ils mappent chacun sur ce résultat. En d'autres termes:

Neutralité de l'état Si (P_f = P_g), alors (f / sim g), où (P_f (x_i) = P (E ^ f_i)).

Puisqu'on peut aussi montrer que, pour chaque loterie (P) dans (mathcal {P}), il existe un acte (f) tel que (P_f = P), le résultat important de ce résultat est que l'on peut simplifier efficacement la représentation des préférences de l'agent sur les actes, en les refondant comme des préférences sur l'ensemble plus petit (mathcal {P}) des loteries dites subjectives, c'est-à-dire des distributions de probabilités subjectives sur les résultats. Pour simplifier la notation, la relation de préférence sur (mathcal {P}) sera désignée par le même symbole, (succeq), permettant au contexte de lever l'ambiguïté.

Une autre application des axiomes nous permet d'établir que ces préférences par rapport aux loteries satisfont trois propriétés importantes: (i) une condition «Ordre faible du mélange», exigeant que les préférences sur les loteries soient transitives et complètes, (ii) une condition de «Continuité du mélange», dont les détails n'ont pas d'importance ici et enfin (iii) une condition d '«indépendance», qui, parallèlement à la condition de commande, fera l'objet d'une discussion approfondie dans ce qui suit.

Pour présenter cette dernière condition, une définition supplémentaire est nécessaire, à côté d'un morceau de notation: Pour deux loteries quelconques (P_f) et (P_g) et (lambda / in [0,1]), on peut définir une troisième loterie simple (lambda P_f + (1- / lambda) P_g) dans (mathcal {P}), le (lambda) - mélange de (P_f) et (P_g), en définissant ((lambda P_f + (1- / lambda) P_g) (x)), la probabilité affectée au résultat (x) par la loterie mixte, égale à (lambda P_f (x) + (1- / lambda) P_g (x)). Il est heuristiquement utile de considérer (lambda P_f + (1- / lambda) P_g) comme une loterie d'ordre supérieur qui donne une probabilité de (lambda) de jouer à la loterie (P_f) et une probabilité de jouer (P_g). La condition se lit alors:

Indépendance Pour tous les actes (f, g) et (h) et tous (lambda / in (0,1]): (P_f / succeq P_g) iff (lambda P_f + (1 - / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h).

La preuve est alors complétée en faisant appel à un résultat de von Neumann et Morgenstern (1947), qui montre que le trio de propriétés susmentionné est nécessaire et suffisant pour la représentabilité de (succeq) par une fonction (U) telle cette

[U (P_f) = / sum / limits_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i),)

où (u: / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) est une fonction utilitaire de conséquence unique jusqu'à une transformation linéaire positive.

1.3 Le triangle des probabilités

Le triangle des probabilités (également appelé «triangle Marschak-Machina») offre une représentation visuelle utile des préférences sur l’espace des loteries sur ({x_1, x_2, x_3 }), avec (x_3 / succ x_2 / succ x_1). Puisque, pour tout (P / in / mathcal {P}), (P (x_2) = 1- P (x_1) -P (x_3)), on peut représenter la situation en deux dimensions, avec des loteries apparaissant comme des points dans un triangle unitaire dans lequel l'axe horizontal nous donne (P (x_1)) et le vertical nous donne (P (x_3)). Les coins nord-ouest, sud-ouest et sud-est correspondent respectivement aux loteries donnant (x_3, x_2) et (x_1) à coup sûr.

Désormais, comme il est facilement démontré, SEU s'engage à

Dominance stochastique Pour tous les actes (f) et (g): si, pour tout résultat (x), la probabilité selon (P_f) d'obtenir un résultat faiblement préféré à (x)) est au moins aussi grande que la probabilité correspondante selon (P_g) (en d'autres termes: (sum _ { {y / in / mathcal {X}: y / succeq x }} P_f (y)) (geq) (sum _ { {y / in / mathcal {X}: y / succeq x }} P_g (y))), puis (P_f / succeq P_g).

En effet, le principe ci-dessus découle de l'Indépendance et est en fait équivalent à la condition de Monotonicité Eventwise de Savage, compte tenu des autres conditions en place (Grant 1995). Par conséquent, les loteries deviennent de plus en plus préférées à la fois lorsque l'on se déplace vers le nord et que l'on se déplace vers l'ouest, car, en faisant l'un ou l'autre, on déplace la probabilité d'un résultat inférieur à un résultat plus préféré (de (x_2) à (x_3) lorsque vous vous déplacez vers le nord et de (x_1) à (x_2) lors du déplacement vers l'ouest). Les courbes d'indifférence sont donc en pente ascendante. Des pentes plus raides correspondent à une plus grande aversion pour le risque, dans le sens suivant: les mouvements vers le nord-est augmentent l'étalement de la distribution, c'est-à-dire le degré de risque impliqué, déplaçant les probabilités du résultat moyen ((x_2)) vers les extrêmes ((x_1) et (x_3)). Plus la courbe d'indifférence est raide,plus une augmentation de la probabilité du meilleur résultat est nécessaire pour compenser ce risque accru. SEU exige également clairement que les courbes d'indifférence soient à la fois linéaires et parallèles.[2] Pour illustrer:

triangle rectangle avec l'angle de 90 degrés en bas à gauche et étiqueté «0». Les deux autres angles sont chacun étiquetés «1». Le côté vertical est étiqueté «P (x 3)» et le côté horizontal étiqueté «P (x 1)». Cinq lignes diagonales parallèles dans le triangle du bas à gauche en haut à droite
triangle rectangle avec l'angle de 90 degrés en bas à gauche et étiqueté «0». Les deux autres angles sont chacun étiquetés «1». Le côté vertical est étiqueté «P (x 3)» et le côté horizontal étiqueté «P (x 1)». Cinq lignes diagonales parallèles dans le triangle du bas à gauche en haut à droite

Figure 1

Bien que SEU continue de bénéficier d'un large soutien en tant que modèle normatif de comportement de choix (voir la section 5 ci-dessous), il n'est généralement plus considéré comme adéquat sur le plan descriptif. Un certain nombre d'écarts substantiels par rapport à ses prédictions ont été notés dès les années 1950 et au début des années 1960 par Allais (1953a, b) et Ellsberg (1961) et ont été étudiés plus avant dans les années 1970. Ces observations ont conduit au développement de modèles alternatifs dont les propres conséquences prédictives ont fait l'objet de tests approfondis au cours des trois dernières décennies environ. [3]

2. La question de l'indépendance

2.1 Les paradoxes d'Allais

Allais (1953a: 527) a considéré des préférences hypothétiques révélées par des choix pris dans deux menus respectifs de loteries donnant divers incréments de richesse avec diverses probabilités objectives, l'une contenant (P_1) et (P_2) ci-dessous, l'autre (P_3)) et (P_4):

cercle avec P1 avec une ligne étiquetée «1» vers la droite pointant vers «1 M
cercle avec P1 avec une ligne étiquetée «1» vers la droite pointant vers «1 M

(une)

cercle avec P2 avec une ligne étiquetée '.1' à '$ 5M' et une ligne étiquetée '.89' à '$ 1M' et une ligne étiquetée '.01' à '$ 0' '
cercle avec P2 avec une ligne étiquetée '.1' à '$ 5M' et une ligne étiquetée '.89' à '$ 1M' et une ligne étiquetée '.01' à '$ 0' '

(b)

cercle avec P3 avec une ligne étiquetée '.11' à '$ 1M' et une ligne étiquetée '.89' à '$ 0' '
cercle avec P3 avec une ligne étiquetée '.11' à '$ 1M' et une ligne étiquetée '.89' à '$ 0' '

(c)

cercle avec P4 avec une ligne étiquetée '.1' à '$ 5M' et une ligne étiquetée '.9' à '$ 0' '
cercle avec P4 avec une ligne étiquetée '.1' à '$ 5M' et une ligne étiquetée '.9' à '$ 0' '

(ré)

Figure 2

Il a affirmé que, pour une proportion substantielle d'agents, on trouverait que (P_ {1} succ P_ {2}) et (P_ {4} succ P_ {3}) (les appellent «Allais préférences »). Cependant, en supposant que (i) les degrés de croyance des sujets s'alignent sur les probabilités objectives données et (ii) les résultats peuvent être entièrement caractérisés de manière adéquate en termes de changements associés du niveau de richesse, une telle combinaison de préférences fonctionne contrairement à l'indépendance. Plus précisément, cela va à l'encontre du cas particulier du principe selon lequel la substitution d'une «conséquence» commune, à savoir la loterie, dans une paire de mélanges laisse inchangé l'ordre de préférence:

Conséquence commune pour tous les actes (f, g, h, h ') et (lambda / in (0,1]):

) begin {split} lambda P_f + (1- / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h \\ / textrm {iff} lambda P_f + (1- / lambda) P_ { h '} succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_ {h'}. / end {split})

Pour voir pourquoi, soit (lambda = 0.11), (Q_1) (la «conséquence» commune à (P_1) et (P_2)) une loterie donnant $ (1) M pour bien sûr, (Q_2) soit une loterie donnant $ (5) M avec probabilité (10/11) et ($ 0) sinon, et enfin (Q_3) (la «conséquence» commune à (P_3) et (P_4)) une loterie donnant ($ 0) à coup sûr. (P_1) se révèle être un (lambda) - mélange de (Q_1) et (Q_1), (P_2) l'un de (Q_2) et (Q_1), (P_3) l'un de (Q_1) et (Q_3) et (P_4) l'un de (Q_2) et (Q_3). Ceci est probablement mieux vu en considérant les arbres de décision représentant les loteries composées correspondantes:

cercle avec P1 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q1 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 1M'. Une autre ligne de P1 étiquetée «1» va à un cercle également avec Q1 qui a une ligne étiquetée «1» à «$ 1M»
cercle avec P1 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q1 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 1M'. Une autre ligne de P1 étiquetée «1» va à un cercle également avec Q1 qui a une ligne étiquetée «1» à «$ 1M»

(une)

cercle avec P2 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q2 qui a une ligne étiquetée '10 / 11 'à' $ 5M 'et une ligne étiquetée' 1/11 'à' $ 0 '. Une deuxième ligne de P1 étiquetée '.89' va à un cercle avec Q1 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 1M' ''
cercle avec P2 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q2 qui a une ligne étiquetée '10 / 11 'à' $ 5M 'et une ligne étiquetée' 1/11 'à' $ 0 '. Une deuxième ligne de P1 étiquetée '.89' va à un cercle avec Q1 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 1M' ''

(b)

cercle avec P3 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q1 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 1M'. Une autre ligne de P1 étiquetée «1» va à un cercle avec Q3 qui a une ligne étiquetée «1» à «$ 0»
cercle avec P3 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q1 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 1M'. Une autre ligne de P1 étiquetée «1» va à un cercle avec Q3 qui a une ligne étiquetée «1» à «$ 0»

(c)

cercle avec P4 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q2 qui a une ligne étiquetée '10 / 11 'à' $ 5M 'et une ligne étiquetée' 1/11 'à' $ 0 '. Une deuxième ligne de P1 étiquetée '.89' va à un cercle avec Q3 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 0' ''
cercle avec P4 avec une ligne étiquetée '.11' à un cercle avec Q2 qui a une ligne étiquetée '10 / 11 'à' $ 5M 'et une ligne étiquetée' 1/11 'à' $ 0 '. Une deuxième ligne de P1 étiquetée '.89' va à un cercle avec Q3 qui a une ligne étiquetée '1' à '$ 0' ''

(ré)

figure 3

Le résultat de ceci, par conséquence commune, est alors que (P_1 / succeq P_2) iff (P_3 / succeq P_4). [4]

Le triangle des probabilités illustre bien l'incompatibilité des préférences d'Allais avec SEU. En effet, les segments reliant (P_1) et (P_2), d'une part, et (P_3) et (P_4) d'autre part, sont parallèles, de sorte qu'un maximiseur d'UE, dont les courbes d'indifférence sont également parallèle, serait incapable de présenter les préférences modales, puisqu'aucune paire de courbes d'indifférence ne pourrait être, au besoin, telle que l'on traverse le segment ([P_1, P_2]) par le bas tandis que l'autre croise ([P_3, P_4]) d'en haut:

Similaire à la figure 1 sauf pas de lignes diagonales et le côté vertical est étiqueté «P (x 1)» et l'horizontale «P (x 3)». De plus, un court segment vertical commence au sommet de l'angle droit et est étiqueté «P 1» en bas et «P 2» en haut. Un autre court segment vertical qui semble avoir la même longueur est à droite reliant la ligne horizontale du triangle à son hypoténuse; il est étiqueté «P 3» en bas et «P 4» en haut
Similaire à la figure 1 sauf pas de lignes diagonales et le côté vertical est étiqueté «P (x 1)» et l'horizontale «P (x 3)». De plus, un court segment vertical commence au sommet de l'angle droit et est étiqueté «P 1» en bas et «P 2» en haut. Un autre court segment vertical qui semble avoir la même longueur est à droite reliant la ligne horizontale du triangle à son hypoténuse; il est étiqueté «P 3» en bas et «P 4» en haut

Figure 4

En plus de ce qui précède, qui est devenu connu sous le nom de problème de la conséquence commune, un autre problème, le problème de la proportion commune, a été suggéré par Allais (1953a: 529-530). La difficulté concernait cette fois une autre conséquence de l'indépendance, qui nous dit que l'ordre de préférence entre deux mélanges à pondération identique partageant une loterie à composants communs n'est pas affecté par une modification du poids du mélange:

Ratio commun Pour tous les actes (f, g, h) et (lambda, / gamma / in (0,1]):

) begin {split} lambda P_f + (1- / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h \\ / textrm {iff} gamma P_f + (1- / gamma) P_h / succeq / gamma P_g + (1- / gamma) P_h. / end {split})

Une présentation des paires d'options pertinentes ne sera pas donnée ici. Notons simplement que, là encore, les choix problématiques se révèlent impliquer deux paires d'options dont les segments respectifs correspondants dans le triangle des probabilités sont parallèles. [5]

Un certain nombre d'études expérimentales dans les années 60 et 70 ont par la suite confirmé la robustesse des effets découverts par Allais. Slovic & Tversky (1974), par exemple, rapportent que 17 des 29 (59%) des sujets de leur étude montrent les préférences d'Allais dans leur enquête sur le problème des conséquences communes. Voir MacCrimmon & Larson (1979) pour un résumé utile de ce travail et d'autres premiers travaux et d'autres données qui leur sont propres.

Depuis la fin des années 70, un nombre considérable de généralisations de SEU ont été conçues pour tenir compte des schémas de préférence problématiques. Un bref aperçu de ces derniers est fourni dans la sous-section suivante.

2.2 Réponses théoriques

2.2.1 Sophistication probabiliste

Une part importante des réponses aux phénomènes de type Allais a impliqué des généralisations de SEU qui restent suffisamment conservatrices pour préserver l'exigence de ce que Machina & Schmeidler (1992) appellent la «sophistication probabiliste»: que les préférences sur les actes se réduisent à des préférences sur les loteries et que celles-ci obéissent à leur tour à l'ordre faible du mélange, à la continuité du mélange et à la domination stochastique, sinon à l'indépendance. [6]Machina & Schmeidler offrent une caractérisation axiomatique des préférences probabilistiquement sophistiquées qui renonce à la condition Sure-Thing de Savage, qui joue un rôle critique dans la dérivation de l'indépendance, et conserve le reste de ses conditions. Cependant, étant donné que le principe Sure-Thing joue également un rôle important pour garantir l'existence d'une distribution de probabilité appropriée sur l'ensemble des événements, ils renforcent la condition de probabilité comparative faible comme suit:

Probabilité comparative forte Pour tous les résultats (x_1, x_2, x_3, x_4), actes (f, g) et événements disjoints (A, B): if (x_1 / succ x_2) et (x_3 / succ x_4), puis (x_1Ax_2Bf / succeq x_2Ax_1Bf) iff (x_3Ax_4Bg / succeq x_4Ax_3Bg).

où (x_1Ax_2Bf) désigne l'acte qui donne (x_1) pour tout (s / dans A), résultat (x_2) pour tout (s / dans B) et (f (s)) pour tous les autres (s). Ils offrent ensuite un compte rendu modifié en conséquence de la correspondance proposée entre la probabilité qualitative subjective et les relations de préférence, en proposant que, si (x_1 / succ x_2), alors (A / unrhd B) iff (x_1Ax_2Bf / succeq x_2Ax_1Bf).

2.2.2 Modèles avec entre-deux

Parmi les modèles de préférences probabilistes sophistiquées qui ne satisfont pas à l'Indépendance et, plus précisément, n'imposent pas la propriété de parallélisme des courbes d'indifférence, un nombre satisfait encore un principe plus faible qui impose la linéarité, à savoir:

Entre-deux Pour tous les actes (f) et (g) et (lambda / in [0,1]): if (P_f / sim P_g), alors (P_f / sim / lambda P_f + (1- / lambda) P_g).

C'est notamment le cas de Weighted Utility (WU) (Chew & MacCrimmon 1979; Chew 1983), qui propose que les sommations de la formule d'utilité attendue soient chacune multipliées par un poids correspondant, de sorte que les préférences entre loteries soient représentables par le plus général fonctionnel

) tag {2} U (f) = / sum / limits_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i) Bigg (w (x_i) / / sum / limits_ {i = 1} ^ {n} w (x_i) P_f (x_i) Bigg))

où (w) est une fonction à valeur réelle positive sur (mathcal {X}). Si (w) est constant, on récupère la fonctionnelle EU. L'incorporation de poids tient compte des préférences d'Allais en permettant aux courbes d'indifférence de «se dérouler» à partir d'une seule intersection située dans le quadrant au sud-ouest du triangle de probabilité. Ces courbes deviennent plus raides, et représentent donc un plus grand degré d'aversion au risque, au fur et à mesure que l'on se déplace vers le nord-ouest, en direction de loteries de plus en plus préférées. Une intersection convenablement placée permet aux courbes d'indifférence de croiser à la fois ([P_1, P_2]) par le bas et ([P_3, P_4]) par le haut, selon les besoins. [7]

2.2.3 Modèles sans entre-deux

Il existe cependant des preuves substantielles que la linéarité des courbes d'indifférence n'est plus empiriquement adéquate que leur parallélisme (voir Camerer & Ho 1994 pour une enquête) et un certain nombre de modèles de préférences probabilistes sophistiquées abandonnent également l'entre-deux. Le plus connu d'entre eux est sans aucun doute l'utilitaire Rank Dependent Utility (RDU), dont une version a été proposée pour la première fois par Quiggin (1982). [8] Pour présenter la proposition sous forme fonctionnelle, on supposera que les indices associés à chaque résultat dans (mathcal {X}) indiquent un ordre croissant de préférence, de sorte que (x_1 / preceq x_2 / preceq / ldots / preceq x_n) et donc (bigcup / limits_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) est l'événement donné qui (f) donne un résultat au moins aussi préférable comme (x_i). RDU propose:

) tag {3} U (f) = u (x_1) + / sum / limits_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) w / Bigg (P / bigg (bigcup / limits_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} bigg) Bigg))

où (w: [0,1] mapsto [0,1]) est une fonction de pondération de probabilité strictement croissante, telle que (w (0) = 0) et (w (1) = 1). En d'autres termes: l'utilité d'une loterie est égale à la somme des contributions d'utilité marginale des résultats, chacune multipliée par la probabilité pondérée d'obtenir un résultat au moins aussi préférable (la contribution marginale de (x_1) est (u (x_1)) et son multiplicateur associé est (w / big (P ({ mathcal {S} }) big) = w (1) = 1)). Si (w) est la fonction d'identité, de sorte que (w / circ P = P), il s'avère que l'on récupère l'utilité fonctionnelle attendue. Sinon, un choix approprié de (w) permet de récupérer les préférences d'Allais. Pour voir comment, supposons par simplicité que (u (0) = 0). On a alors (P_1 / succ P_2) ssi

[u (1) w (1)> u (1) w (0,99) + / big (u (5) -u (1) big) w (0,1))

et (P_4 / succ P_3) ssi (u (5) w (0,1)> u (1) w (0,11)). Cela implique que les préférences seront récupérées en ayant (w) tel que (w (1) -w (0.99)> w (0.11) -w (0.1)), de sorte qu'une différence de probabilité de (0,01) a un impact plus important à l'extrémité supérieure de l'échelle de probabilité qu'à l'extrémité relativement inférieure. [9]

Il convient de noter que RDU est lui-même un cas particulier de ce qui est peut-être l'alternative la plus connue à SEU, la théorie cumulative des perspectives de Kahneman & Tversky (Tversky & Kahneman 1992), qui a valu à Kahneman un prix Nobel d'économie en 2002. Ce modèle généralise RDU en introduisant un point de référence, résultat qui partitionne l'ensemble des résultats en sous-ensembles positifs et négatifs, selon qu'ils lui sont strictement préférés ou strictement écartés. Deux fonctions de transformation de probabilité, (w ^ +) et (w ^ -), sont alors impliquées dans la fonctionnelle de préférence: (w ^ +) pour déterminer les contributions d'utilité des résultats négatifs et (w ^ -) jouant un rôle analogue par rapport à celui des positifs. La RDU est récupérée lorsque (w ^ +) est le dual de (w ^ +).

Si la RDU ne satisfait pas l'indépendance, elle satisfait à un affaiblissement de ce principe appelé «indépendance ordinale» (Green & Jullien 1988). Ce principe se présente comme une contrainte sur les fonctions de distribution cumulative (cdf) correspondant à différentes loteries, qui renvoient, pour chaque (x_i), la probabilité d'obtenir un résultat qui n'est pas meilleur que (x_i) (ie, un résultat (x_j), avec (j / leq i)). Le cdf correspondant à (P_f) sera noté (F). Nous avons alors

Indépendance ordinale Pour tous les actes (f, f ', g) et (g') et sous-ensembles (A) de (mathcal {X}): Si (P_f / succeq P_g), et

  1. pour tout (x / in A), (F (x) = G (x)) et (F '(x) = G' (x))
  2. pour tout (x / notin A), (F (x) = F '(x)) et (G' (x) = G '(x))

puis (P_ {f '} succeq P_ {g'}). [dix]

La contrainte peut plus utilement être posée comme suit: En comparant deux actes, on ignore les valeurs de leurs CDF respectifs sur l'ensemble des résultats sur lesquels ils sont d'accord. On vérifie facilement que les préférences d'Allais sont cohérentes avec ce principe. Compte tenu de la sophistication probabiliste, l'indépendance ordinale peut elle-même être dérivée d'une contrainte sur les préférences sur les actes appelée «indépendance comonotonique», présentée dans la sous-section 3.2.1 ci-dessous. Wakker (2010) propose une introduction à la RDU et à la théorie de la perspective cumulative, ainsi qu'aux traitements connexes des problèmes abordés dans la section suivante.

3. La question de la croyance probabiliste

3.1 Le paradoxe des trois couleurs d'Ellsberg

Dans un autre défi classique à SEU, Ellsberg (1961) a demandé aux sujets d'envisager une configuration dans laquelle une urne contient 30 boules rouges et 60 boules noires ou jaunes dans des proportions relatives inconnues et de rapporter leurs préférences entre divers paris sur la couleur d'une balle tirée à aléatoire de l'urne. Les préférences obtenues étaient celles qui se situaient entre (f_1) et (g_1) ci-dessous, d'une part, et (f_2) et (g_2), d'autre part:

(overbrace { phantom {30 balles}} ^ { textrm {30 balles}}) (overbrace { phantom {45630 balles}} ^ { textrm {60 balles}})
r b y
(f_1) 100 $ 0 $ 0 $
(g_1) 0 $ 100 $ 0 $
(f_2) 100 $ 0 $ 100 $
(g_2) 0 $ 100 $ 100 $

Ellsberg a rapporté qu'une majorité de sujets présentaient les préférences (f_1 / succ g_1), mais (g_2 / succ f_2), un exemple d'un phénomène qui est devenu connu sous le nom d'aversion à l'ambiguïté: une préférence relative pour parier sur événements de probabilité connue plutôt qu'inconnue («ambiguë»).

Si l'on admet que les résultats sont correctement caractérisés uniquement en termes de changements associés du niveau de richesse, ces «préférences d'Ellsberg» sont en contradiction directe avec le principe Sure-Thing de Savage. Ces préférences violent également le principe de forte probabilité comparée de Machina & Schmeidler, sur l'hypothèse naturelle que les sujets préfèrent strictement le résultat ($ 100) au résultat ($ 0). Et en effet, il est facile de voir que les préférences d'Ellsberg sont incompatibles avec la sophistication probabiliste. Plus précisément, ils sont incompatibles avec le fait que (i) les préférences du décideur sur les actes sont réductibles à des préférences sur les loteries correspondantes sur les résultats,généré par une attribution de probabilités subjectives à l'ensemble des événements et (ii) il ou elle commande partiellement ces loteries par dominance stochastique de premier ordre. Pour comprendre pourquoi, supposons que ces conditions soient respectées. Notez d'abord que (P_ {g_1}) dominerait stochastiquement (P_ {f_1}) si et seulement si (P ({b }) geq P ({r })) et que (P_ {f_2}) dominerait stochastiquement (P_ {g_2}) si et seulement si (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) impliquerait que (P_ {g_1}) ne domine pas stochastiquement (P_ {f_1}), et donc que (P ({r })> P ({ b })). Mais (g_2 / succ f_2) impliquerait que (P_ {f_2}) ne domine pas stochastiquement (P_ {g_2}), et donc que (P ({b })> P ({r })). Contradiction. Notez d'abord que (P_ {g_1}) dominerait stochastiquement (P_ {f_1}) si et seulement si (P ({b }) geq P ({r })) et que (P_ {f_2}) dominerait stochastiquement (P_ {g_2}) si et seulement si (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) impliquerait que (P_ {g_1}) ne domine pas stochastiquement (P_ {f_1}), et donc que (P ({r })> P ({ b })). Mais (g_2 / succ f_2) impliquerait que (P_ {f_2}) ne domine pas stochastiquement (P_ {g_2}), et donc que (P ({b })> P ({r })). Contradiction. Notez d'abord que (P_ {g_1}) dominerait stochastiquement (P_ {f_1}) si et seulement si (P ({b }) geq P ({r })) et que (P_ {f_2}) dominerait stochastiquement (P_ {g_2}) si et seulement si (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) impliquerait que (P_ {g_1}) ne domine pas stochastiquement (P_ {f_1}), et donc que (P ({r })> P ({ b })). Mais (g_2 / succ f_2) impliquerait que (P_ {f_2}) ne domine pas stochastiquement (P_ {g_2}), et donc que (P ({b })> P ({r })). Contradiction. Mais (g_2 / succ f_2) impliquerait que (P_ {f_2}) ne domine pas stochastiquement (P_ {g_2}), et donc que (P ({b })> P ({r })). Contradiction. Mais (g_2 / succ f_2) impliquerait que (P_ {f_2}) ne domine pas stochastiquement (P_ {g_2}), et donc que (P ({b })> P ({r })). Contradiction.

Des preuves empiriques considérables ont confirmé les observations informelles d'Ellsberg et les phénomènes connexes (à commencer par Becker & Brownson 1964 et y compris des études classiques telles que Slovic & Tversky 1974 et MacCrimmon & Larsson 1979; voir le classique Camerer & Weber 1992, ainsi que le plus récent -date Trautmann & van de Kuilen 2015, pour plus de détails) et la littérature contient maintenant un nombre substantiel de généralisations de SEU qui peuvent les accommoder.

3.2 Réponses théoriques

3.2.1 «Probabilités» non additives

Un affaiblissement important de SEU qui est capable d'accommoder les cas d'Ellsberg est l'utilité attendue de Choquet (CEU), initialement proposé par Schmeidler (1989). Le concept clé dans sa représentation des préférences est celui d'une capacité: une fonction (v: / mathcal {E} mapsto [0,1]), telle que (v (varnothing) = 0), (v (mathcal {S}) = 1) et, pour tout (A, B / in / mathcal {E}), (A / subseteq B) implique (v (A) leq v (B)). On peut considérer cela comme une sorte de fonction de «probabilité» non additive, puisque la propriété d'additivité, selon laquelle (v (A / cup B) = v (A) + v (B)) pour les événements disjoints (A) et (B), ne tient pas. Comme pour la présentation de RDU, la convention ici est que les indices associés aux résultats indiquent une préférence croissante, de sorte que, encore une fois,(bigcup / limits_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) est l'événement donné qui (f) produit un résultat au moins aussi préférable que (x_i). CEU propose:

) tag {4} U (f) = u (x_1) + / sum / limits_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) v / Bigg (bigcup / limits_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} Bigg))

Sur cette suggestion, alors un acte est évalué par la somme des contributions d'utilité marginale des résultats, chacune multipliée par la capacité de l'événement étant donné que cet acte donnerait un résultat au moins aussi préférable. Il y a ici des similitudes formelles évidentes avec RDU et, en fait, cette dernière peut être considérée comme le cas particulier de CEU dans lequel les capacités du décideur sont dérivées de ses degrés probabilistes de croyance par une fonction de pondération probabiliste ((v = w / circ P)). [11]

En revenant aux préférences d'Ellsberg dans le problème des trois couleurs, il est facile de voir que (f_1 / succ g_1) iff (v ({r })> v ({b })) et (g_2 / succ f_2) iff (v ({b, y })> v ({r, y })). Ces inégalités ne peuvent évidemment pas être satisfaites simultanément dans des cas particuliers où (c) est additif et en fait, dans de tels cas, CEU se réduit à SEU. Dans le cas plus général, il n'y a pas de problème: soit (v), par exemple, tel que:

) begin {aligné} v ({r }) & = v ({r, y }) = v ({b, y }) = / nicefrac {1} {3} / v ({b }) & = v ({y }) = 0 \\ v ({b, y }) & = / nicefrac {2} {3}. / end {aligné})

Gilboa (1987) et Wakker (1989) ont tous deux fourni des axiomatisations de la proposition dans un cadre Savage. La principale caractéristique de ceux-ci est la restriction effective du principe Sure-Thing de Savage à des types particuliers d'ensembles d'actes:

Comonotonic Sure-Thing Pour tous les actes (f, g, h, h ') et tout événement (A): if (fAh), (gAh), (fAh') et (fAh ') sont comonotoniques, alors (fAh / succeq gAh) iff (fAh' / succeq gAh ').

où deux actes (f) et (g) sont comonotoniques ssi, il n'y a pas deux états (s_1) et (s_2), tels que (f (s_1) succ f (s_2)) mais (g (s_2) succ g (s_1)), ou encore si (f) et (g) donnent des ordres d'états par désirabilité de conséquence associée qui sont conjointement cohérents (Chew & Wakker 1996). De toute évidence, les préférences d'Ellsberg sont parfaitement compatibles avec cet affaiblissement du principe Sure-Thing, puisque les actes en cause ne sont pas comonotoniques. Par exemple, (f_1 (r) succ f_1 (b)) mais (f_2 (b) succ f_2 (r)). [12]

3.2.2 A priori multiples

La capacité qui a été utilisée ci-dessus pour illustrer la cohérence de CEU avec les préférences de style Ellsberg a une propriété remarquable: elle est convexe, ce qui signifie qu'elle est telle que, pour tout (A, B / in / mathcal {E}), [v (A / cup B) + v (A / cap B) geq v (A) + v (B).)

Il a été montré par Schmeidler (1986) que, si la convexité des capacités est imposée, la CEU devient un cas particulier d'une approche connue sous le nom de Maxmin Expected Utility (MEU) (Gilboa & Schmeidler 1989), qui représente le décideur comme maximisant le minimum attendu utilitaire sur un ensemble non vide de fonctions de probabilité (Gamma) sur (mathcal {X}), de sorte que:

) tag {5} U (f) = / inf / limits_ {P / in / Gamma} Big (sum / limits_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) label {eq: MEU})

La connexion spécifique est la suivante: un maximiseur CEU par rapport à une capacité convexe (v) est un maxminer EU sur le soi-disant noyau de (v), défini comme l'ensemble des fonctions de probabilité qui attribuent, pour chaque événement, une probabilité au moins aussi grande que la capacité attribuée à cet événement par (v): ({P / in / mathcal {P}: P (A) geq v (A), / forall A / in / mathcal {E} }).

Maintenant, une interprétation courante, mais non obligatoire, de (Gamma) est qu'il correspond à l'ensemble des attributions de probabilités objectives que le décideur considère comme cohérentes avec ses preuves. Compte tenu du résultat qui vient d'être signalé, cela invite à son tour à interpréter les capacités comme des estimations inférieures des probabilités objectives. Plus spécifiquement, un optimiseur de CEU dont la capacité est convexe peut être interprété comme considérant possible toutes et uniquement les affectations de probabilités objectives qui sont cohérentes avec les estimations inférieures données par cette capacité. Cette interprétation de la capacité dans l'exemple particulier en question est évidemment particulièrement tentante, car (nicefrac {1} {3}) et (nicefrac {2} {3}) constituent des bornes inférieures plausibles sur le décideur estimations des probabilités de ({r }) et ({b, y }),respectivement.

Si l'on interprète (Gamma) de cette façon, assouplir CEU avec des capacités convexes en MEU devient une option intéressante, car cela permet non seulement de modéliser les préférences d'Ellsberg, mais aussi de prendre en compte les préférences des décideurs dont les points de vue sur les probabilités objectives ne peuvent pas simplement être capturées en termes d'estimations inférieures (par exemple, celles qui impliquent des engagements à certains faits sur les ratios de probabilités). Pour des raisons d'espace, les détails du traitement axiomatique de la MEU sont omis ici. [13]

Pourtant, MEU reste plutôt restrictif, car il impose une forme assez radicale d'aversion à l'ambiguïté. Une généralisation populaire du modèle, (alpha-) MEU (Ghirardato et al.2004), propose que les préférences imposées par MEU ne se situent qu'à une extrémité d'un spectre d'aversion possible contre l'ambiguïté, capturé par l'affaiblissement suivant de ((ref {eq: MEU})):

) tag {6} U (f) = / alpha / inf / limits_ {P / in / Gamma} Big (sum / limits_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) + (1- / alpha) sup / limits_ {P / in / Gamma} Big (sum / limits_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big))

où (alpha / dans [0,1]). Avec (alpha = 1), on récupère la MEU très averse à l'ambiguïté. Avec (alpha = 0), nous avons des préférences fortement ambiguës. Le paramètre (alpha) est donc en un sens interprétable comme une mesure de l'aversion à l'ambiguïté. [14], [15]

Tout comme avec MEU, cependant, (alpha) - MEU restreint son attention aux utilitaires extrêmes attendus (dans ce cas, le meilleur et le pire des cas). Une classe populaire de propositions permet de prendre en compte la gamme complète des utilitaires attendus à travers (Gamma), en complétant le modèle a priori multiple avec une distribution de probabilité d'ordre supérieur (mu). Une forme fonctionnelle bien connue, qui figure notamment dans le «Smooth Model» de Klibanoff et al. (2005), consiste à prendre l'espérance, relative à (mu), des utilités attendues pondérées, par rapport aux membres de (Gamma):

) tag {7} U (f) = / sum / limits_ {P / in / Gamma} mu (P) Phi / Big (sum / limits_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Grand))

Un (Phi) concave l'emportera sur les utilitaires peu attendus, ce qui se traduira par des préférences relativement peu ambiguës.

4. La question de l'ordre faible

4.1 Transitivité

Si tous les modèles mentionnés ci-dessus imposent une transitivité aux préférences, il existe une longue histoire d'enquêtes sur d'éventuelles violations du principe, tant en ce qui concerne le choix sous certitude que le choix sous risque. Concernant ce dernier, dans une première étude classique, Tversky (1969), a suggéré des violations systématiques significatives de la transitivité de la préférence stricte, qui est entraînée par celle de la préférence faible, par rapport à une série de loteries (P_1) - (P_5), chacun offrant une chance (p_i) de recevoir un prix (x_i) et une chance complémentaire de ne rien recevoir:

(pi) (x_i)
(P_1) (nicefrac {7} {24}) $ (5)
(P_2) (nicefrac {8} {24}) $ (4,75)
(P_3) (nicefrac {9} {24}) $ (4,5)
(P_4) (nicefrac {10} {24}) $ (4,25)
(P_5) (nicefrac {11} {24}) $ (4)

Tversky a pris ses données pour suggérer qu'un nombre important de sujets étaient enclins à exprimer des préférences strictes pour chaque loterie par rapport à son successeur immédiat, mais une préférence stricte pour la dernière loterie par rapport à la première. Il a proposé que ces sujets classent les loteries adjacentes par simple gain car les différences dans les probabilités de gagner étaient à peine perceptibles, mais ont pris en compte la probabilité de gagner dans la comparaison entre (P_1) et (P_5), puisque la différence de les valeurs étaient importantes. Bien que les résultats de Tversky aient été reproduits plus tard, il convient de noter qu'il existe une controverse en cours autour du niveau de soutien empirique de la préférence intransitive (voir Regenwetter et al.2011 pour une revue de la littérature récente).

Des intransibilités d'un genre quelque peu différent sont également prédites par la théorie du regret de Loomes & Sugden (1982, 1987). [16] L'idée directrice derrière cette proposition est que l'appréciation d'un résultat donné dans un état donné est une question essentiellement comparative. Elle est déterminée par le regret (ou la joie) associé à la pensée que les actes alternativement disponibles auraient conduit, dans les mêmes circonstances, à un ensemble particulier de résultats alternatifs. Dans le cas particulier des alternatives binaires, cette intuition se traduit par la fonction de préférence dépendante du menu suivante:

) tag {8} label {eqn: RT} U _ { {f, g }} (f) = / sum / limits_ {s / in / mathcal {S}} P / big ({s } big) M / big (f (s), g (s) big))

où (M: / mathcal {X} times / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) est une fonction d'utilité comparative qui augmente dans son premier argument et non décroissante dans son second. Dans leur discussion du cadre, Loomes & Sugden présentent les choses de manière équivalente comme suit:

) tag {9} label {eqn: RT '} f / succeq g / text {iff} sum / limits_ {s / in / mathcal {S}} P / big ({s } big) Psi / big (f (s), g (s) big) geq 0)

où (Psi / big (f (s), g (s) big)) est défini comme (M / big (f (s), g (s) big) -M / big (g (s), f (s) big)). Cette quantité correspond donc au solde net de regret / joie associé au choix de (f) sur (g) dans les états (s). Selon les propriétés de (Psi), les décideurs peuvent être caractérisés comme étant «neutres aux regrets», «averses aux regrets» ou même «recherchant des regrets». La neutralité des regrets correspond au cas où, pour tout (x_1, x_2, x_3 / in / mathcal {X}),) Psi (x_1, x_3) = / Psi (x_1, x_2) + / Psi (x_2, x_3).)

Dans ces conditions, le comportement de choix est cohérent avec SEU. L'aversion au regret correspond à la situation dans laquelle (Psi) satisfait à l'exigence de convexité suivante: pour (x_1 / succ x_2 / succ x_3),) Psi (x_1, x_3)> / Psi (x_1, x_2) + / Psi (x_2, x_3).)

Loomes & Sugden (1982) ont montré que, du moins sous l'hypothèse de l'indépendance probabiliste des loteries concernées, ce type de disposition peut prédire à la fois les effets de la conséquence commune et du ratio commun: la théorie du regret n'entraîne pas l'indépendance. [17]

Pour avoir une idée des violations de la transitivité prédites par la théorie du regret, voici un exemple dû à Loomes & Sugden 1987. Supposons la convexité de (Psi) et considérons le problème de décision suivant, où (x_1 / prec x_2 / prec x_3) et (P (A_i) = / nicefrac {1} {3}):

(A_1) (A_2) (A_3)
(F) (x_1) (x_2) (x_3)
(g) (x_3) (x_1) (x_2)
(h) (x_2) (x_3) (x_1)

Selon la théorie du regret, (f / succ g) iff

) Psi (x_1, x_3) + / Psi (x_2, x_1) + / Psi (x_3, x_2)> 0.)

La convexité de (Psi) garantira que cette inégalité est vraie. Par un raisonnement similaire, on peut alors établir que (g / succ h) et (h / succ f). [18]

L'exemple ci-dessus démontre également clairement que la théorie du regret autorise les violations de la neutralité de l'État, puisque les différents actes produisent les mêmes distributions de probabilité sur les résultats. Loomes & Sugden (1987) montrent en outre que les violations de la dominance stochastique sont autorisées par leur modèle. Cependant, en dépit de ces écarts par rapport à l'orthodoxie, il convient de noter que la théorie du regret conserve un certain nombre d'autres conséquences fortes de SEU, y compris le principe Sure-Thing, ainsi que l'interdépendance pour les distributions probabilistiquement indépendantes. Une axiomatisation instructive d'une généralisation de ((ref {eqn: RT})) à des menus finis est proposée dans Sugden 1993. Voir Bleichrodt & Wakker 2015 pour un aperçu clair du cadre et de sa relation avec les données expérimentales.

4.2 Exhaustivité

Bien que la question arrive en dernier dans ce catalogue de défis empiriques à SEU, les premiers doutes concernant l'adéquation empirique de l'hypothèse d'exhaustivité ont été émis par les architectes mêmes du cadre, y compris von Neumann & Morgenstern (1947: 630) et Savage (1954: 21).). Par exemple, von Neumann & Morgenstern écrivent:

Il est très douteux que l'idéalisation de la réalité qui traite ce postulat comme un postulat valide soit appropriée ou même commode.

On a prétendu que le défaut d'exhaustivité découle à la fois (i) du caractère incomplet des jugements de probabilité comparative ou (ii) du caractère incomplet des préférences entre les résultats. Les deux sources d'incomplétude peuvent être traitées dans des modèles «multi-a priori multi-utilité attendue», qui offrent ce que l'on pourrait appeler une représentation «surévaluationniste» des préférences sur les actes, comme suit:

[f / succeq g / text {iff, pour tout} langle P, u / rangle / in / Phi, / sum / limits_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) geq / somme / limites_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ g) u (x_i))

où (Phi) est un ensemble de paires de fonctions de probabilité et d'utilité. Pour des raisons d'espace, les détails axiomatiques sont laissés de côté. Le lecteur intéressé est renvoyé au traitement général récent donné par Galaabaatar et Karni (2013), qui relient leurs résultats à d'importants travaux antérieurs de Bewley (1986), Seidenfeld et al. (1995), Ok et al. (2012) et Nau (2006), entre autres.

5. Théorie de la décision descriptive vs normative

S'il a été assez immédiatement reconnu qu'Allais avait démontré une lacune empirique de SEU, il est important de noter que ses ambitions ont quelque peu dépassé cette réalisation. Il a en outre suggéré que ses découvertes permettaient également de douter de l'adéquation normative de la théorie. Selon lui, deux types de considérations peuvent être mis sur la table dans l'évaluation d'une théorie du choix rationnel. Le premier est une démonstration que la théorie découle par déduction de, ou se trouve en conflit logique avec, divers principes généraux d'une position épistémique sûre. Le second est un ensemble de preuves expérimentales concernant

la conduite de personnes qui, on a des raisons à d'autres égards [(«c'est-à-dire sur des critères qui sont libres de toute référence à toute considération de choix aléatoire.»)] de croire, d'agir rationnellement. (Allais 1953b: 34) [19]

Cependant, il n'a trouvé aucune preuve adéquate du premier type qui pourrait être mobilisée pour soutenir quelque chose d'aussi fort que SEU. Il a rejeté, par exemple, l'argument du «succès à long terme» de Marschak (1951) pour la maximisation de l'utilité attendue dans les situations de risque (Allais 1953b: 70-73). Il a accordé l'existence d'une exigence de «cohérence» selon laquelle

un homme sera réputé agir rationnellement (a) s'il poursuit des fins qui sont mutuellement cohérentes (c'est-à-dire non contradictoires), (b) s'il emploie des moyens qui conviennent à ces fins. (Allais 1953b: 78)

Mais cette exigence, a-t-il affirmé, impliquait simplement que les préférences sur les loteries soient faiblement ordonnées et satisfassent la dominance stochastique. Cela a laissé des données sur le comportement de choix pour se prononcer sur les engagements ultérieurs de SEU. Selon lui, ces données étayaient clairement la permissibilité rationnelle de violer l'indépendance.

Savage n'a pas explicitement discuté de la force probante des préférences collectives de ses pairs par rapport aux cas d'Allais. Il fit cependant des commentaires sur la portée de ses propres préférences personnelles, qu'Allais lui avait notoirement obtenues lors d'un symposium de Paris en 1952 et qui se trouvaient en violation des recommandations du SEU. Reconnaissant qu'il aurait été irrationnel pour lui de maintenir à la fois ces préférences et un engagement à l'adéquation normative de ses axiomes, il a rapporté qu'une «réflexion» plus poussée l'a poussé à réviser les premières, jugeant celles-ci comme étant dans l'erreur, à égalité avec une incohérence logique dans les croyances. Ce fait, affirmait-il, lui permettait de conserver ses engagements normatifs (voir Savage 1952: 101-103). [20]Puisqu'il est facile de supposer que Savage a pris ses propres inclinations pour être représentatives de celles de la population en général, ses commentaires ont été largement utilisés pour suggérer implicitement une voie expérimentale alternative pour tester les théories du choix rationnel. (Voir Slovic & Tversky 1974 et Jallais & Pradier 2005. C'est également le point de vue d'Ellsberg, qui propose, dans le ch.1 de sa thèse de doctorat de 1961, réimprimée sous le titre Ellsberg 2001, une discussion intéressante sur les questions d'intérêt présent, avec Zappia 2016 fournissant une discussion philosophique récente.). Cette procédure impliquerait de déterminer non pas si certains décideurs présentent des schémas de préférence proscrits par la théorie, mais s'ils présentent encore de tels schémas après réflexion sur leur conflit avec les axiomes de base de la théorie.

Un certain nombre d'études visent à tester l'adéquation normative de l'UES selon les lignes proposées. MacCrimmon (1968) a signalé des violations, dans un échantillon de dirigeants d'entreprise expérimentés, d'un large éventail de conséquences de l'UES, dont un certain nombre ont persisté après que les sujets aient notamment reçu des considérations à la fois soutenant et sapant ces principes. Les principes par rapport auxquels les préférences offensantes ont été corrigées par la suite comprenaient notamment la transitivité et la dominance stochastique. Les préférences de type Allais ou Ellsberg étaient cependant beaucoup plus résistantes, un fait confirmé dans une étude ultérieure de Slovic et Tversky (1974). Un autre type de résilience des préférences, non envisagé par Savage, a été plus récemment étudié par van de Kuilen & Wakker (2006). Ils ont étudié les effets de la rétroaction sur les résultats des décisions sur la prévalence des effets de conséquence communs dans les séquences de choix, constatant cependant une réduction significative des violations des SEU.

Malgré une longue tradition de mise en œuvre des théories du choix rationnel sur divers problèmes philosophiques [21], la question de la pertinence potentielle de la théorie de la décision descriptive par rapport à son équivalent normatif ne semble pas avoir suscité beaucoup d'intérêt dans la communauté philosophique.. Le défi d'Allais à Savage a été largement ignoré dans la littérature philosophique. [22]

Cela dit, une bonne part de l'attention philosophique a été consacrée à la question connexe du lien entre les normes de raisonnement et les schémas d'inférence observés. Une ligne de pensée influente qui s'y trouve, qui semble pertinente aux affirmations d'Allais, trouve son origine dans la discussion de Goodman sur la justification du raisonnement inductif. De son point de vue,

[l] a tâche de formuler des règles qui définissent la différence entre les inférences inductives valides et invalides ressemble beaucoup à la tâche de définir tout terme avec un usage établi. (Goodman 1965: 66)

Tout comme les analyses sémantiques peuvent être approuvées sur la base d'une bonne systématisation d'un ensemble d'intuitions concernant l'applicabilité de termes particuliers dans des situations particulières, affirme Goodman, les théories normatives du raisonnement peuvent également être justifiées par leur bonne adéquation avec «les… inférences particulières nous faisons et sanctionnons en fait »(Goodman 1965: 63): aucune autre considération n'est requise pour être en mesure d'approuver un principe particulier comme étant rationnellement contraignant.

La discussion de Goodman est brève et, à notre lecture du moins, laisse en suspens un certain nombre de questions. Devrions-nous admettre comme pertinentes des considérations au-delà des schémas d'inférence observés, telles que les propriétés de convergence à long terme vers la vérité, et ainsi de suite? À qui se réfère «nous» lorsque Goodman parle des «inférences… particulières que nous faisons et sanctionnons»? Experts? La population humaine dans son ensemble? Devrions-nous circonscrire la classe des inférences pertinentes aux jugements que l'on pourrait vouloir qualifier de «considérés»? Ce sont des questions importantes à régler. En effet,une certaine combinaison de réponses à ceux-ci - impliquant que la justification des théories normatives du raisonnement repose entièrement sur leur capacité à systématiser les dispositions inférentielles «immédiates et non guidées» observées dans la population générale - a notoirement conduit Cohen (1981) à approuver l'affirmation surprenante selon laquelle, puisque les modèles normatifs et descriptifs sont issus du même ensemble de données, les preuves comportementales sont en principe incapables d'établir l'irrationalité humaine. Pour une discussion plus approfondie de ce sujet général, voir par exemple Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) et Thagard (1982).voir par exemple Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) et Thagard (1982).voir par exemple Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) et Thagard (1982).[23]

Bien que ni Allais ni Goodman n'établissent le lien, une justification potentielle de la pertinence probante des données expérimentales dans la construction de la théorie normative peut peut-être être recherchée dans la littérature sur le théorème du jury de Condorcet et les résultats associés. [24]Ce théorème nous dit que, dans certaines conditions, la probabilité qu'un verdict majoritaire, concernant une question particulière, dans un groupe de (n) personnes peu fiables votant oui / non sur une question particulière converge vers 1 comme (n) tend vers l'infini, convergeant plus rapidement plus les fiabilités individuelles sont grandes. De plus, la fiabilité majoritaire atteint des niveaux significatifs, même avec une fiabilité individuelle très limitée, pour des groupes de taille assez modeste. Bien entendu, la question de l'intérêt ne correspond pas tout à fait à ce modèle spécifique: si l'expression des préférences d'Allais peut être interprétée comme un «vote» contre l'adéquation normative de l'indépendance, l'expression de préférences en accord avec ce principe peut difficilement être interprétée comme un vote en sa faveur.

Enfin, alors que cette section s'est concentrée sur la question de l'incidence de la théorie de la décision descriptive sur son homologue normatif, il convient de noter qu'il y a eu une discussion sur la direction inverse de l'influence. Tant Guala (2000) que Starmer (2005) ont soutenu que le développement des théories descriptives du choix a été guidé par une tendance à retenir un noyau de principes considérés comme normativement adéquats. Dans le cas de la prise de décision sous risque, il s'agit essentiellement de la composante de transitivité de l'ordre faible et de la dominance stochastique, qui sont satisfaites selon la grande majorité des théories non SEU développées à ce jour. [25]Starmer prétend trouver un argument justifiant cette pratique dans un article bien connu de Friedman et Savage (1952). Cette ligne de pensée, que Starmer conteste, part de l'hypothèse que de véritables principes de rationalité seraient évidents en tant que tels pour la plupart des sujets et que les décideurs se comporteront en conséquence en conséquence.

6. Lectures complémentaires

Bien que la littérature philosophique sur le sujet reste plutôt rare, les résumés de premier ordre ne manquent pas dans les littératures d'économie et de psychologie. Pour une présentation détaillée des résultats techniques mentionnés dans la section 1, voir Fishburn (1970: Ch. 14) ou Kreps un peu moins détaillé (1988: Ch. 9). Ch. 3 de Joyce (1999) est également utile ici. En ce qui concerne la littérature sur l'indépendance en particulier, discutée dans la section 2, voir Machina (1987), Starmer (2000) et Weber & Camerer (1987). En ce qui concerne spécifiquement la question de la croyance probabiliste, discutée dans la section 3, voir Camerer et Weber (1992), Etner et al. (2012), Gilboa & Marinacci (2013), Machina & Siniscalchi (2014), et Trautmann & van de Kuilen (2015). Un certain nombre d'enquêtes plus larges couvrent à la fois les questions ci-dessus et d'autres. Il s'agit notamment de Camerer (1995) et de l'excellent Sugden (2004). Enfin, pour un compte rendu historique clair et détaillé du développement de la littérature expérimentale sur la prise de décision, voir Heukelom (2014).

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  • Decision Theory Forum, sur Google Groupes; comprend des publications régulières de grands théoriciens de la décision, y compris des annonces de conférence et autres.

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