Conséquence Logique

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Conséquence logique

Publié pour la première fois le 7 janvier 2005; révision de fond jeu.21 févr.2019

Un bon argument est celui dont les conclusions découlent de ses prémisses; ses conclusions sont les conséquences de ses prémisses. Mais en quel sens les conclusions découlent-elles des prémisses? Qu'est-ce qu'une conclusion est une conséquence de prémisses? Ces questions, à bien des égards, sont au cœur de la logique (en tant que discipline philosophique). Considérez l'argument suivant:

  1. Si nous facturons des frais élevés pour l'université, seuls les riches s'inscriront.

    Nous facturons des frais élevés pour l'université.

    Par conséquent, seuls les riches s'inscriront.

Il y a beaucoup de choses différentes que l'on peut dire à propos de cet argument, mais beaucoup conviennent que si nous n'équivoque pas (si les termes signifient la même chose dans les prémisses et la conclusion), alors l'argument est valide, c'est-à-dire que la conclusion découle déductivement de les locaux. Cela ne veut pas dire que la conclusion est vraie. Peut-être que les prémisses ne sont pas vraies. Cependant, si les prémisses sont vraies, alors la conclusion est également vraie, par logique. Cette entrée concerne la relation entre les prémisses et les conclusions dans les arguments valides.

Les analyses contemporaines du concept de conséquence - de la relation - la considèrent à la fois nécessaire et formelle, ces réponses étant souvent expliquées par des preuves ou des modèles (ou, dans certains cas, les deux). Notre objectif dans cet article est de fournir une brève caractérisation de certaines des notions qui jouent un rôle central dans les récits contemporains de conséquence logique.

Nous devons noter que nous ne soulignons que quelques-uns des aspects philosophiques de la conséquence logique, en laissant de côté presque tous les détails techniques et en laissant de côté un grand nombre de débats philosophiques sur le sujet. Notre justification pour faire autant est que l'on obtiendra les détails techniques, et les problèmes philosophiques particuliers qui les ont motivés, en examinant des logiques spécifiques - théories spécifiques des conséquences logiques (par exemple, logiques pertinentes, logiques sous-structurelles, logiques non monotones, dynamiques logiques, logiques modales, théories de quantification, etc.). (De plus, les débats sur presque toutes les caractéristiques de la structure du langage par rapport à la forme des phrases, des propositions, de la sensibilité au contexte, du sens, voire de la vérité - sont pertinents pour les débats sur la conséquence logique, ce qui rend une discussion exhaustive pratiquement impossible.) Notre objectif ici est simplement de toucher à quelques-uns des problèmes très fondamentaux qui sont au cœur des conséquences logiques.

  • 1. Conséquence déductive et inductive
  • 2. Conséquence formelle et matérielle
  • 3. Outils mathématiques: modèles et preuves

    • 3.1 Le compte rendu théorique des modèles de la conséquence logique
    • 3.2 Le récit théorique de la preuve de la conséquence logique
    • 3.3 Entre modèles et preuves
  • 4. Prémisses et conclusions
  • 5. Un ou plusieurs?
  • Bibliographie

    • Histoire de la conséquence logique
    • Développements du 20e siècle
    • Philosophie de la conséquence logique
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Conséquence déductive et inductive

Certains arguments sont tels que la vérité (conjointe) des prémisses est nécessairement suffisante pour la véracité des conclusions. Au sens de conséquence logique au cœur de la tradition actuelle, une telle «suffisance nécessaire» distingue la validité déductive de la validité inductive. Dans les arguments inductivement valides, la vérité (conjointe) des prémisses est très probablement (mais pas nécessairement) suffisante pour la vérité de la conclusion. Un argument inductivement valable est tel que, comme on le dit souvent, ses prémisses rendent sa conclusion plus vraisemblable ou plus raisonnable (même si la conclusion peut très bien être fausse étant donné la vérité commune des prémisses). L'argument

  1. Tous les cygnes observés jusqu'à présent étaient blancs.

    Smoothy est un cygne.

    Par conséquent, Smoothy est blanc.

n'est pas valable en déduction car les prémisses ne sont pas nécessairement suffisantes pour la conclusion. Smoothy pourrait bien être un cygne noir.

Des distinctions peuvent être établies entre différents arguments inductifs. Certains arguments inductifs semblent tout à fait raisonnables, et d'autres le sont moins. Il existe de nombreuses manières différentes de tenter d'analyser les conséquences inductives. Nous pourrions considérer dans quelle mesure les prémisses rendent la conclusion plus vraisemblable (une lecture probabiliste), ou nous pourrions vérifier si les circonstances les plus normales dans lesquelles les prémisses sont vraies rendent la conclusion vraie également. (Cela conduit à certains types d'inférence par défaut ou non monotone.) Le domaine des conséquences inductives est difficile et important, mais nous laisserons ce sujet ici et nous concentrerons sur la validité déductive.

(Voir les entrées sur la logique inductive et la logique non monotone pour plus d'informations sur ces sujets.)

La contrainte de nécessité n'est pas suffisante pour trancher la notion de validité déductive, car la notion de nécessité peut également être étoffée de plusieurs manières. Dire qu'une conclusion découle nécessairement des prémisses, c'est dire que l'argument est en quelque sorte sans exception, mais il existe de nombreuses façons différentes de préciser cette idée.

Un premier coup d'œil à la notion pourrait utiliser ce que nous appelons maintenant la nécessité métaphysique. Peut-être un argument est-il valide s'il est (métaphysiquement) impossible que les prémisses soient vraies et que la conclusion soit fausse, valide si-tenant a fixé les interprétations des prémisses et de la conclusion - dans tous les mondes possibles dans lesquels les prémisses tiennent, de même conclusion. Cette contrainte est vraisemblablement considérée comme une condition nécessaire à la conséquence logique (s'il se peut que les prémisses soient vraies et que la conclusion ne l'est pas, alors il ne fait aucun doute que la conclusion ne découle pas des prémisses); cependant, pour la plupart des raisons logiques, ce n'est pas une condition suffisante pour la validité. Beaucoup admettent l'existence de nécessités a posteriori, comme l'affirmation selon laquelle l'eau est H (_ 2) O. Si cette affirmation est nécessaire, alors l'argument:

  1. (x) est de l'eau.

    Par conséquent, (x) est H (_ 2) O.

est nécessairement la préservation de la vérité, mais il semble loin d'être valable par déduction. C'était une véritable découverte que l'eau est H (_ 2) O, qui a nécessité une enquête empirique importante. S'il peut y avoir de véritables découvertes d'arguments valables que nous n'avions pas reconnus auparavant comme tels, c'est une autre chose de penser que ces découvertes nécessitent une enquête empirique.

Une ligne alternative sur le type requis de nécessité se transforme en nécessité conceptuelle. Sur cette ligne, la conclusion de (3) n'est pas une conséquence de sa prémisse étant donné que ce n'est pas une vérité conceptuelle que l'eau est H (_ 2) O. Le concept eau et le concept (H_2O) choisissent la même propriété, mais cet accord est partiellement déterminé par le monde.

Une image similaire de la logique considère que la conséquence est une question de ce qui est analytiquement vrai, et ce n'est pas une vérité analytique que l'eau est H (_ 2) O. Le mot «eau» et la formule «H (_ 2) O» sont d'accord en extension (et nécessairement ainsi) mais ils ne sont pas d'accord dans le sens.

Si la nécessité métaphysique est une notion trop grossière pour déterminer la conséquence logique (puisqu'elle peut être considérée comme rendant trop d'arguments déductivement valides), un appel à la nécessité conceptuelle ou analytique peut sembler être une meilleure voie. Le problème, comme l'a soutenu Quine, est que la distinction entre les vérités analytiques et synthétiques (et de même, conceptuelles et non conceptuelles) n'est pas aussi simple que nous aurions pu le penser au début du XXe siècle. (Voir l'entrée sur la distinction analytique / synthétique.) En outre, de nombreux arguments semblent préserver la vérité sur la seule base de l'analyse:

  1. Peter est le fils du frère de la mère de Greg.

    Par conséquent, Peter est le cousin de Greg.

On peut comprendre que la conclusion découle des prémisses, sur la base de sa compréhension des concepts impliqués. Il ne faut rien savoir de l'identité de Peter, le cousin de Greg. Pourtant, beaucoup ont pensé que (4) n'est pas valable déductivement, malgré ses références en tant que préservation de la vérité sur des bases analytiques ou conceptuelles. Ce n'est pas aussi général qu'il pourrait l'être parce qu'il n'est pas aussi formel qu'il pourrait l'être. L'argument ne réussit qu'en raison des détails particuliers des concepts familiaux impliqués.

Une autre possibilité d'éliminer la notion distinctive de conséquence logique fondant la nécessité est la notion de priorité. Les arguments déductivement valides, quels qu'ils soient, peuvent être connus pour l'être sans recours à l'expérience, ils doivent donc être connaissables a priori. Une contrainte de priorité semble certainement exclure l'argument (3) comme déductivement valable, et à juste titre. Cependant, il ne suffira pas d'exclure l'argument (4). Si nous prenons des arguments comme (4) pour tourner non pas sur des questions de validité déductive mais sur autre chose, comme une définition connaissable a priori, alors nous devons chercher ailleurs une caractérisation de la conséquence logique.

2. Conséquence formelle et matérielle

La proposition la plus forte et la plus répandue pour trouver un critère plus étroit de conséquence logique est l'appel à la formalité. Le pas dans (4) de «Peter est le fils du frère de la mère de Greg» à «Peter est mon cousin» est une conséquence matérielle et non formelle, car pour faire le pas de la prémisse à la conclusion, nous avons besoin de plus que la structure ou forme des revendications concernées: nous devons également comprendre leur contenu.

Que pourrait signifier la distinction entre forme et contenu? Nous voulons dire que la conséquence est formelle si elle dépend de la forme et non de la substance des revendications en cause. Mais comment comprendre cela? Nous donnerons tout au plus un croquis, qui, encore une fois, peut être rempli de plusieurs manières.

La première étape évidente est de remarquer que toutes les présentations des règles de conséquence logique reposent sur des schémas. La syllogistique d'Aristote en est un fier exemple.

F er io: Non (F) est (G). Certains (H) sont (G). Par conséquent, certains (H) ne sont pas (F).

Les schémas d'inférence, comme celui ci-dessus, affichent la structure des arguments valides. Peut-être dire qu'un argument est formellement valide, c'est dire qu'il relève d'un schéma général dont chaque instance est valide, comme F er io.

Cela aussi est une spécification incomplète de la formalité. L'argument matériel (4) est une instance de:

  1. (x) est le fils du frère de la mère de (y).

    Par conséquent, (x) est le cousin de (y).

dont chaque instance est valide. Nous devons en dire plus pour expliquer pourquoi certains schémas sont considérés comme proprement formels (et donc un motif suffisant pour une conséquence logique) et d'autres pas. Une réponse générale articulera la notion de forme logique, qui est une question importante en soi (impliquant la notion de constantes logiques, entre autres). Au lieu d'explorer les détails des différents candidats pour la forme logique, nous mentionnerons différentes propositions sur le but de l'exercice.

À quoi bon exiger que la validité soit étayée par une notion de forme logique? Il y a au moins trois propositions distinctes pour la notion requise de formalité, et chacune fournit un type de réponse différent à cette question.

Nous pourrions considérer les règles formelles de la logique comme totalement neutres en ce qui concerne les caractéristiques particulières des objets. De ce point de vue, les lois de la logique doivent s'abstraire des caractéristiques particulières des objets. La logique est formelle en ce qu'elle est totalement générale. Une façon de caractériser ce qui est considéré comme une notion totalement générale consiste à utiliser des permutations. Tarski a proposé (1986) qu'une opération ou un prédicat sur un domaine comptait comme général (ou logique) s'il était invariant sous permutations d'objets. (Une permutation d'une collection d'objets attribue à chaque objet un objet unique dans cette collection, de sorte qu'aucun objet ne soit assigné plus d'une fois. Une permutation de ({a, b, c, d }) pourrait, pour exemple, assignez (b) à (a, d) à (b, c) à (c) et (a) à (d).) A (2) -place prédicat (R) est invariant sous permutation si pour toute permutation (p),chaque fois que (Rxy) tient, (Rp (x) p (y)) l'est aussi. Vous pouvez voir que la relation d'identité est invariante par permutation-si (x = y) alors (p (x) = p (y)) - mais la relation mère-de ne l'est pas. Nous pouvons avoir des permutations (p) telles que même si (x) est la mère de (y), (p (x)) n'est pas la mère de (p (y)). Nous pouvons aussi utiliser la permutation pour caractériser la logique pour plus de prédicats: nous pouvons dire qu'un connectif sententiel à une place '(bullet)' est invariant de permutation si et seulement si, pour tout (A), (p (bullet A)) est vrai si et seulement si (bullet p (A)) est vrai. Pour définir cela rigoureusement, il faut établir comment les permutations opèrent sur les phrases, et cela nous amène au-delà de la portée de cet article. Il suffit de dire qu'une opération telle que la négation passe le test de l'invariance, mais une opération telle que «JC croit que» échoue.(Rp (x) p (y)) est également valable. Vous pouvez voir que la relation d'identité est invariante par permutation-si (x = y) alors (p (x) = p (y)) - mais la relation mère-de ne l'est pas. Nous pouvons avoir des permutations (p) telles que même si (x) est la mère de (y), (p (x)) n'est pas la mère de (p (y)). Nous pouvons aussi utiliser la permutation pour caractériser la logique pour plus de prédicats: nous pouvons dire qu'un connectif sententiel à une place '(bullet)' est invariant de permutation si et seulement si, pour tout (A), (p (bullet A)) est vrai si et seulement si (bullet p (A)) est vrai. Pour définir cela rigoureusement, il faut établir comment les permutations opèrent sur les phrases, et cela nous amène au-delà de la portée de cet article. Il suffit de dire qu'une opération telle que la négation passe le test de l'invariance, mais une opération telle que «JC croit que» échoue.(Rp (x) p (y)) est également valable. Vous pouvez voir que la relation d'identité est invariante par permutation-si (x = y) alors (p (x) = p (y)) - mais la relation mère-de ne l'est pas. Nous pouvons avoir des permutations (p) telles que même si (x) est la mère de (y), (p (x)) n'est pas la mère de (p (y)). Nous pouvons aussi utiliser la permutation pour caractériser la logique pour plus de prédicats: nous pouvons dire qu'un connectif sententiel à une place '(bullet)' est invariant de permutation si et seulement si, pour tout (A), (p (bullet A)) est vrai si et seulement si (bullet p (A)) est vrai. Pour définir cela rigoureusement, il faut établir comment les permutations opèrent sur les phrases, et cela nous amène au-delà de la portée de cet article. Il suffit de dire qu'une opération telle que la négation passe le test de l'invariance, mais une opération telle que «JC croit que» échoue. Vous pouvez voir que la relation d'identité est invariante par permutation-si (x = y) alors (p (x) = p (y)) - mais la relation mère-de ne l'est pas. Nous pouvons avoir des permutations (p) telles que même si (x) est la mère de (y), (p (x)) n'est pas la mère de (p (y)). Nous pouvons aussi utiliser la permutation pour caractériser la logique pour plus de prédicats: nous pouvons dire qu'un connectif sententiel à une place '(bullet)' est invariant de permutation si et seulement si, pour tout (A), (p (bullet A)) est vrai si et seulement si (bullet p (A)) est vrai. Pour définir cela rigoureusement, il faut établir comment les permutations opèrent sur les phrases, et cela nous amène au-delà de la portée de cet article. Il suffit de dire qu'une opération telle que la négation passe le test de l'invariance, mais une opération telle que «JC croit que» échoue. Vous pouvez voir que la relation d'identité est invariante par permutation-si (x = y) alors (p (x) = p (y)) - mais la relation mère-de ne l'est pas. Nous pouvons avoir des permutations (p) telles que même si (x) est la mère de (y), (p (x)) n'est pas la mère de (p (y)). Nous pouvons aussi utiliser la permutation pour caractériser la logique pour plus de prédicats: nous pouvons dire qu'un connectif sententiel à une place '(bullet)' est invariant de permutation si et seulement si, pour tout (A), (p (bullet A)) est vrai si et seulement si (bullet p (A)) est vrai. Pour définir cela rigoureusement, il faut établir comment les permutations opèrent sur les phrases, et cela nous amène au-delà de la portée de cet article. Il suffit de dire qu'une opération telle que la négation passe le test de l'invariance, mais une opération telle que «JC croit que» échoue.

Une analyse étroitement liée de la formalité est que les règles formelles sont totalement abstraites. Ils s'abstiennent du contenu sémantique des pensées ou des revendications, pour ne laisser que la structure sémantique. Les termes «mère» et «cousin» entrent essentiellement dans l'argumentation (5). De ce point de vue, les expressions telles que les connecteurs propositionnels et les quantificateurs n'ajoutent pas de nouveau contenu sémantique aux expressions, mais au contraire ajoutent uniquement des moyens de combiner et de structurer le contenu sémantique. Des expressions comme «mère» et «cousin», en revanche, ajoutent un nouveau contenu sémantique.

Une autre façon de faire la distinction (ou peut-être d'établir une distinction différente) est de prendre les règles formelles de la logique comme des normes constitutives de la pensée, quel que soit son sujet. Il est plausible de soutenir que peu importe ce à quoi nous pensons, il est logique de joindre, de dissocier et de nier nos pensées pour faire de nouvelles pensées. Il peut également être judicieux de quantifier. Le comportement du vocabulaire logique peut donc être utilisé pour structurer et réguler tout type de théorie, et les normes régissant le vocabulaire logique s'appliquent de manière totalement universelle. Les normes d'argumentation valable, sur cette image, sont les normes qui s'appliquent à la pensée quel que soit le contenu particulier de cette pensée. [1]

3. Outils mathématiques: modèles et preuves

Les travaux techniques du XXe siècle sur la notion de conséquence logique se sont centrés sur deux outils mathématiques différents, la théorie de la preuve et la théorie des modèles. Chacun de ces éléments peut être considéré comme expliquant différents aspects du concept de conséquence logique, étayés par différentes perspectives philosophiques.

3.1 Le compte rendu théorique des modèles de la conséquence logique

Nous avons caractérisé la conséquence logique comme la préservation nécessaire de la vérité en vertu de la forme. Cette idée peut être expliquée formellement. On peut utiliser des structures mathématiques pour rendre compte de l'éventail des possibilités sur lesquelles la vérité doit être préservée. La formalité de la conséquence logique peut être expliquée formellement en donnant un rôle spécial au vocabulaire logique, considéré comme constituant les formes des phrases. Voyons comment la théorie des modèles s'occupe de ces deux tâches.

L'approche centrée sur le modèle de la conséquence logique considère que la validité d'un argument est l'absence de contre-exemple. Un contre-exemple à un argument est, en général, une manière de manifester la manière dont les prémisses de l'argument ne conduisent pas à une conclusion. Une façon de faire est de fournir un argument de la même forme pour lequel les prémisses sont clairement vraies et la conclusion est clairement fausse. Une autre façon de faire est de fournir une circonstance dans laquelle les prémisses sont vraies et la conclusion est fausse. Dans la littérature contemporaine, l'idée intuitive de contre-exemple est développée en théorie des modèles.

La structure exacte d'un modèle dépendra du type de langage utilisé (extensionnel / intensionnel, premier / supérieur, etc.). Un modèle pour un langage extensionnel du premier ordre se compose d'un ensemble non vide qui constitue le domaine, et d'une fonction d'interprétation, qui attribue à chaque terme non logique une extension sur le domaine - toute extension correspondant à son type sémantique (les constantes individuelles se voient attribuer des éléments du domaine, les symboles de fonction se voient attribuer des fonctions du domaine à lui-même, des prédicats de premier ordre à une place se voient attribuer des sous-ensembles du domaine, etc.).

La définition contemporaine de la théorie des modèles de la conséquence logique remonte à Tarski (1936). Il s'appuie sur la définition de la vérité dans un modèle donné par Tarski dans (1935). Tarski définit une phrase vraie dans un modèle de manière récursive, en donnant des conditions de vérité (ou de satisfaction) sur le vocabulaire logique. Une conjonction, par exemple, est vraie dans un modèle si et seulement si les deux conjonctures sont vraies dans ce modèle. Une phrase universellement quantifiée (forall xFx) est vraie dans un modèle si et seulement si chaque instance est vraie dans le modèle. (Ou, sur le compte Tarskien de la satisfaction, si et seulement si la phrase ouverte (Fx) est satisfaite par chaque objet du domaine du modèle. Pour plus de détails sur la façon dont cela est accompli, voir l'entrée sur les définitions de vérité de Tarski.) Maintenant, nous pouvons définir la conséquence logique comme la préservation de la vérité sur les modèles:un argument est valide si dans tout modèle dans lequel les prémisses sont vraies (ou dans toute interprétation des prémisses selon lesquelles elles sont vraies), la conclusion est vraie aussi.

La définition de la théorie des modèles est l'une des explications mathématiques les plus réussies d'un concept philosophique à ce jour. Il promet de saisir à la fois la nécessité de la conséquence logique - en regardant la vérité sur tous les modèles, et la formalité de la conséquence logique - en faisant varier les interprétations du vocabulaire non logique d'un modèle à l'autre: un argument est valide quel que soit le sens du vocabulaire non logique. Pourtant, les modèles ne sont que des ensembles, qui ne sont que des objets mathématiques. Comment rendent-ils compte de l'éventail des possibilités ou des circonstances requises? John Etchemendy (1990) propose deux perspectives pour comprendre les modèles. Dans l'approche représentationnelle, chaque modèle est considéré comme représentant un monde possible. Si un argument préserve la vérité sur les modèles, on nous garantit alors qu'il préserve la vérité sur les mondes possibles,et si nous acceptons l'identification de la nécessité avec la vérité dans tous les mondes possibles, nous avons la préservation nécessaire de la vérité de la conséquence logique. Le problème avec cette approche est qu'elle identifie la conséquence logique avec la conséquence métaphysique, et elle ne rend pas compte de la formalité de la conséquence logique. Sur l'approche représentationnelle, il n'y a aucune base pour une distinction entre le vocabulaire logique et non logique, et il n'y a aucune explication de pourquoi les interprétations du vocabulaire non logique sont variées au maximum. La deuxième perspective sur les modèles est offerte par l'approche interprétative, par laquelle chaque modèle attribue des extensions au vocabulaire non logique du monde réel: ce qui varie d'un modèle à l'autre, ce n'est pas le monde représenté mais la signification des termes. Ici, le souci est que la nécessité n'est pas capturée. Par exemple, sur la division habituelle du vocabulaire en logique et non logique, l'identité est considérée comme un terme logique et peut être utilisée pour former des déclarations sur la cardinalité du domaine (par exemple, `` il y a au moins deux choses '') qui sont vraies à chaque réinterprétation, mais ne sont peut-être pas nécessairement vraies. Selon cette approche, il n'y a aucune base pour considérer des modèles avec des domaines autres que l'univers de ce qui existe réellement, et en particulier, il n'y a aucune explication de l'utilisation par la théorie des modèles de domaines de tailles différentes. Chaque approche, telle que décrite ici, est imparfaite en ce qui concerne notre analyse de la conséquence logique comme nécessaire et formelle. L'approche interprétative, en ne regardant que le monde réel, ne tient pas compte de la nécessité, et l'approche représentationnelle ne tient pas compte de la formalité (pour plus de détails, voir Etchemendy 1990,Sher 1996 et Shapiro 1998, et pour des améliorations, voir Etchemendy 2008). Une réponse possible à Etchemendy serait de mélanger les perspectives représentationnelles et interprétatives, en considérant chaque modèle comme représentant un monde possible sous une réinterprétation du vocabulaire non logique (Shapiro 1998, voir aussi Sher 1996 et Hanson 1997 pour des réponses alternatives).

L'un des principaux défis posés par la définition théorique du modèle de la conséquence logique est de faire la distinction entre le vocabulaire logique et non logique. Le vocabulaire logique est défini dans tous les modèles par les clauses récursives (telles que celles mentionnées ci-dessus pour la conjonction et le quantificateur universel), et en ce sens sa signification est fixe. Le choix du vocabulaire logique détermine la classe de modèles considérée lors de l'évaluation de la validité, et donc il détermine la classe des arguments logiquement valides. Maintenant, alors que chaque langue formelle est généralement définie avec un choix d'un vocabulaire logique, on peut demander une caractérisation plus raisonnée du vocabulaire logique. Tarski a laissé ouverte la question d'une distinction de principe dans son 1936, et n'a donné que les lignes d'une position relativiste,par lequel différents choix du vocabulaire logique peuvent être admissibles. D'autres ont proposé des critères de logique, exigeant que les constantes logiques soient convenablement formelles, générales ou neutres sur le sujet (pour les références et les détails, voir l'entrée sur les constantes logiques). Notez qu'un choix du vocabulaire logique est un cas particulier de fixation de contraintes sur la classe de modèles à utiliser. Il a été suggéré que l'accent mis sur les critères du vocabulaire logique passe à côté de ce point, et que plus généralement la question est de savoir quelles contraintes sémantiques devraient être adoptées, limitant les modèles admissibles pour un langage (Sagi 2014a, Zinke 2017). Notez qu'un choix du vocabulaire logique est un cas particulier de fixation de contraintes sur la classe de modèles à utiliser. Il a été suggéré que l'accent mis sur les critères du vocabulaire logique passe à côté de ce point, et que plus généralement la question est de savoir quelles contraintes sémantiques devraient être adoptées, limitant les modèles admissibles pour un langage (Sagi 2014a, Zinke 2017). Notez qu'un choix du vocabulaire logique est un cas particulier de fixation de contraintes sur la classe de modèles à utiliser. Il a été suggéré que l'accent mis sur les critères du vocabulaire logique passe à côté de ce point, et que plus généralement la question est de savoir quelles contraintes sémantiques devraient être adoptées, limitant les modèles admissibles pour un langage (Sagi 2014a, Zinke 2017).

Un autre défi auquel fait face le compte de la théorie des modèles est dû aux limites de sa base de la théorie des ensembles. Rappelez-vous que les modèles sont des ensembles. Le souci est que la préservation de la vérité sur les modèles pourrait ne pas garantir la préservation de la vérité nécessaire - de plus, elle pourrait même ne pas garantir la préservation de la vérité matérielle (préservation de la vérité dans le monde réel). La raison en est que chaque domaine de modèle est un ensemble, mais le monde réel contient vraisemblablement tous les ensembles, et comme une collection qui comprend tous les ensembles est trop `` grande '' pour être un ensemble (elle constitue une classe appropriée), le monde réel n'est pris en compte par aucun modèle (voir Shapiro 1987).

Une façon de traiter ce problème est d'employer des moyens externes, tels que la théorie de la preuve, à l'appui de la définition de la théorie des modèles. Ceci est fait par Georg Kreisel dans son «argument de compression», que nous présentons dans la section 3.3. L'argument de Kreisel dépend essentiellement du fait que la langue en question dispose d'un système de preuve solide et complet. Une autre option consiste à utiliser les principes de réflexion de la théorie des ensembles. De manière générale, les principes de réflexion stipulent que tout ce qui est vrai de l'univers des ensembles l'est déjà dans un segment initial de celui-ci (qui est toujours un ensemble). Si les principes de réflexion sont acceptés, alors au moins en ce qui concerne le langage pertinent, on peut affirmer qu'un argument est valable si et seulement s'il n'y a pas de modèle de contre-ensemble (voir Kreisel 1967, Shapiro 1987, Kennedy & Väänänen 2017).

Enfin, l'explication de la conséquence logique en termes de vérité dans les modèles est généralement préférée par les «réalistes», qui considèrent que la vérité des phrases est indépendante de ce qui peut être connu. Expliquer la conséquence logique en termes de vérité dans les modèles est assez proche d'expliquer la conséquence logique en termes de vérité, et l'analyse de la vérité dans un modèle est parfois considérée comme une explication de la vérité en termes de correspondance, une notion typiquement réaliste.. Certains, cependant, considèrent la conséquence logique comme ayant une composante épistémique indispensable, liée à la manière dont nous établissons la conclusion sur la base des prémisses. Les «anti-réalistes», qui évitent de prendre la vérité (ou du moins la correspondance-vérité) comme une notion explicative, préféreront généralement expliquer la conséquence logique en termes de preuve - vers laquelle nous nous tournerons ensuite.

3.2 Le récit théorique de la preuve de la conséquence logique

Sur l'approche de la conséquence logique centrée sur la preuve, la validité d'un argument revient à prouver les conclusions à partir des prémisses. La nature exacte des preuves est un gros problème, mais l'idée est assez simple (du moins si vous avez été exposé à un système de preuve ou autre). Les preuves sont constituées de petites étapes, les principes d'inférence primitifs du système de preuve. Le XXe siècle a vu de très nombreux types de systèmes de preuve, des soi-disant preuves de Hilbert, avec des règles simples et des axiomes complexes, aux systèmes de déduction naturelle, avec peu (voire pas) d'axiomes et de très nombreuses règles.

L'approche centrée sur la preuve met en évidence les aspects épistémiques de la conséquence logique. Une preuve n'atteste pas seulement la validité de l'argument: elle fournit les étapes par lesquelles nous pouvons établir cette validité. Et donc, si un raisonneur a des motifs pour les prémisses d'un argument et qu'il infère la conclusion via une série d'applications de règles d'inférence valides, il obtient ainsi des motifs pour la conclusion (voir Prawitz 2012). On peut aller plus loin et souscrire à l'inférentialisme, le point de vue selon lequel le sens des expressions est déterminé par leur rôle dans l'inférence. L'idée est que notre utilisation d'une expression linguistique est régie par des règles, et la maîtrise des règles suffit pour comprendre l'expression. Cela nous donne une restriction préliminaire sur ce que peuvent être les valeurs sémantiques des expressions:ils ne peuvent faire aucune distinction non prise en compte par les règles. On peut alors aller encore plus loin et rejeter toute sorte de sens qui va au-delà des règles en adoptant le slogan wittgensteinien postérieur «le sens est usage». Ce point de vue est favorisé par les anti-réalistes sur le sens, puisque le sens sur ce point de vue est pleinement expliqué par ce qui est connaissable.

La condition de nécessité sur la conséquence logique obtient une nouvelle interprétation dans l'approche centrée sur la preuve. La condition peut être reformulée ainsi: dans un argument valable, la vérité de la conclusion découle de la vérité des prémisses par nécessité de la pensée (Prawitz 2005). Analysons cette formulation. La vérité est comprise de manière constructive: les phrases sont vraies en vertu de preuves potentielles pour elles, et les faits décrits par des phrases vraies sont donc conçus comme construits en termes de preuves potentielles. (Notez que l'on peut complètement renoncer à la référence à la vérité, et plutôt parler d'assertibilité ou d'acceptation de phrases.) Or, la nécessité de la pensée par laquelle un argument est valide s'explique par le sens des termes impliqués, qui nous oblige à accepter le vérité de la conclusion étant donné la vérité des lieux. Signification des expressions,à leur tour, sont compris à travers les règles qui régissent leur utilisation: les conditions de vérité habituelles cèdent la place aux conditions de preuve des formules contenant une expression.

On peut ainsi fournir une sémantique théorique de la preuve pour un langage (Schroeder-Heister 1991). Lors de la présentation de son système de déduction naturelle, Gentzen a fait remarquer que les règles d'introduction des expressions logiques représentent leurs «définitions» et que les règles d'élimination sont les conséquences de ces définitions (Gentzen 1933). Par exemple, la règle d'introduction pour la conjonction dicte qu'une conjonction (A / amp B) peut être déduite des deux conjonctifs (A) et (B), et cette règle capture la signification du connectif. Inversement, la règle d'élimination de la conjonction dit qu'à partir de (A / amp B) on peut déduire à la fois (A) et (B). Les règles de quantification universelles nous disent qu'à partir de la revendication universellement quantifiée (forall xFx) nous pouvons déduire n'importe quelle instance (Fa), et nous pouvons déduire (forall xFx) à partir de l'instance (Fa),à condition qu'aucune autre hypothèse n'ait été faite concernant le nom (a). Sous certaines conditions, on peut montrer que la règle d'élimination est validée par la règle d'introduction.

L'un des principaux défis de l'approche centrée sur la preuve est de faire la distinction entre les règles qui déterminent véritablement le sens et celles qui ne le sont pas. Certaines règles pour les connecteurs, si elles sont ajoutées à un système, conduiraient à la trivialité. Prior (1960) a proposé les règles suivantes pour un connecteur «(tonk)». Sa règle d'introduction dit que de (A) on peut déduire (A / tonk B), et sa règle d'élimination dit que de (A / tonk B) on peut déduire (B). Avec l'introduction de ces règles, le système devient trivial tant qu'au moins une chose est prouvable, puisque de toute hypothèse (A) on peut tirer n'importe quelle conclusion (B). Certaines contraintes doivent être posées sur les règles d'inférence, et une grande partie de la littérature ultérieure s'est intéressée à ces contraintes (Belnap 1962, Dummett 1991, Prawitz 1974).

Pour rendre les notions de preuve et de validité plus systématisées, Prawitz a introduit la notion de preuve canonique. Une phrase peut être prouvée de plusieurs manières différentes, mais c'est la preuve directe ou canonique qui est constitutive de sa signification. Une preuve canonique est une preuve dont la dernière étape est l'application d'une règle d'introduction, et ses sous-preuves immédiates sont canoniques (à moins qu'elles n'aient des variables libres ou des hypothèses non déchargées - pour plus de détails, voir Prawitz 2005). Une preuve canonique est conçue comme donnant une preuve directe de la phrase prouvée, car elle établit la vérité de la phrase par la règle constitutive du sens de ses connecteurs. Pour en savoir plus sur les preuves canoniques et les façons dont d'autres preuves peuvent leur être réduites, voir l'entrée sur la sémantique de la théorie de la preuve.

Nous avons indiqué comment la condition de nécessité peut être interprétée dans l'approche centrée sur la preuve. La condition de formalité peut également être prise en compte. Notez que dans la perspective actuelle également, il y a une division du vocabulaire en logique et non logique. Cette division peut être utilisée pour définir des substitutions d'un argument. Une substitution d'un argument est un argument obtenu à partir de l'original en remplaçant les termes non logiques par des termes de la même catégorie syntaxique de manière uniforme. Une définition de validité qui respecte la condition de formalité impliquera qu'un argument est valide si et seulement si toutes ses substitutions sont valides, et dans le présent contexte, c'est une exigence qu'il y ait une preuve de toutes ses substitutions. Cette condition est satisfaite dans tout système de preuve où les règles ne sont données que pour le vocabulaire logique. Bien entendu, dans l'approche centrée sur la preuve également, il est question de distinguer le vocabulaire logique (voir l'entrée sur les constantes logiques).

Enfin, il convient de noter qu'une sémantique théorique de preuve peut être donnée pour la logique classique ainsi que pour une variété de logiques non classiques. Cependant, en raison de l'attitude épistémique anti-réaliste qui est à la base de l'approche centrée sur la preuve, ses partisans ont généralement préconisé la logique intuitionniste (voir Dummett 1991).

Pour plus d'informations sur la perspective centrée sur la preuve et sur la sémantique de la théorie de la preuve, voir l'entrée sur la sémantique de la théorie de la preuve.

3.3 Entre modèles et preuves

Les perspectives de la théorie de la preuve et de la théorie des modèles ont été considérées comme fournissant des comptes rendus rivaux de conséquence logique. Cependant, on peut également considérer la «conséquence logique» et la «validité» comme l'expression de concepts de cluster: «Un certain nombre de notions différentes et étroitement liées portent ces noms. Ils invoquent des questions de modalité, de sens, d'efficacité, de justification, de rationalité et de forme »(Shapiro 2014). On peut également noter que la division entre les perspectives de la théorie du modèle et de la théorie de la preuve est moderne, et elle n'a été rendue possible que lorsque des outils d'investigations métamathématiques ont été développés. La Begriffsschrift de Frege, par exemple, qui est antérieure au développement de ces outils, est formulée comme un système de preuve axiomatique, mais les significations des connecteurs sont données via des conditions de vérité.

Une fois qu'il y a deux analyses différentes d'une relation de conséquence logique, on peut s'interroger sur les interactions possibles, et nous le ferons ensuite. On peut également se demander quelles sont les caractéristiques générales d'une telle relation indépendamment de son analyse en tant que théorie de la preuve ou théorique du modèle. Une manière de répondre à cette question remonte à Tarski, qui a introduit la notion d'opérations de conséquence. Pour nos besoins, nous ne notons que certaines caractéristiques de ces opérations. Soit (Cn (X)) les conséquences de (X). (On peut penser à l'opérateur (Cn) comme dérivant d'une relation de conséquence antérieure qui, en prenant (X) comme ensemble 'entrée (ou prémisse)', vous dit ce qui découle de (X). Mais on peut aussi voir le «processus» à l'envers, et une idée clé est que les relations de conséquence et les opérations correspondantes sont, en fait, interdéfinissables. Voir l'entrée sur la logique propositionnelle algébrique pour plus de détails.) Parmi certaines des conditions minimales que l'on pourrait imposer à une relation de conséquence, on trouve les deux suivantes (de Tarski):

  1. (X) est un sous-ensemble de (Cn (X)).
  2. (Cn (Cn (X)) = Cn (X)).

Si vous considérez (X) comme un ensemble de revendications, la première condition vous indique que les conséquences d'un ensemble de revendications incluent les revendications elles-mêmes. La seconde condition exige que les conséquences de (X) soient simplement les conséquences des conséquences de (X). Ces deux conditions peuvent être motivées par une réflexion sur les approches de la théorie du modèle et de la théorie de la preuve; et il existe d'autres conditions similaires. (Pour une discussion générale, voir l'entrée sur la logique propositionnelle algébrique.) Mais comme pour de nombreuses questions fondamentales (par exemple, `` quelles sont les caractéristiques essentielles des relations de conséquence en général? ''), Même ces conditions minimales sont controversées en philosophie de la logique. Par exemple, certains pourraient considérer la condition (2) comme répréhensible au motif que, pour des raisons d'imprécision (ou plus),les relations de conséquence importantes sur les langues naturelles (aussi formalisées soient-elles) ne sont généralement pas transitives comme le montre (2). (Voir Tennant 1994, Cobreros et al 2012, et Ripley 2013, pour les motivations philosophiques contre les conséquences transitives.) Mais nous laissons ces questions pour une discussion plus avancée.

Alors que le fossé philosophique entre les réalistes et les anti-réalistes reste vaste, les comptes rendus des conséquences centrés sur la preuve et le modèle ont été unis (au moins en ce qui concerne l'extension) dans de nombreux cas. Les grands théorèmes de justesse et d'exhaustivité pour différents systèmes de preuve (ou, sous l'autre angle, pour différentes sémantiques de la théorie des modèles) montrent que, dans un sens important, les deux approches coïncident souvent, du moins en extension. Un système de preuve est solide par rapport à une sémantique de la théorie du modèle si chaque argument qui a une preuve dans le système est valide en théorie du modèle. Un système de preuve est complet par rapport à une sémantique de la théorie du modèle si chaque argument valide en théorie du modèle a une preuve dans le système. Si la solidité est une condition principale de tout système de preuve digne de ce nom, l'exhaustivité ne peut pas toujours être attendue. Certes,ces définitions sont biaisées vers la perspective de la théorie du modèle: la sémantique de la théorie du modèle fixe la norme à ce qui est «sain» et «complet». En laissant de côté les questions terminologiques, si un système de preuve est à la fois solide et complet par rapport à une sémantique de la théorie des modèles (comme, de manière significative, dans le cas de la logique des prédicats du premier ordre), alors le système de preuve et la sémantique de la théorie des modèles s'accordent sur lesquels les arguments sont valides.alors le système de preuve et la sémantique de la théorie des modèles s'accordent sur les arguments valides.alors le système de preuve et la sémantique de la théorie des modèles s'accordent sur les arguments valides.

Les résultats d'exhaustivité peuvent également soutenir l'adéquation du compte rendu théorique du modèle, comme dans «l'argument de compression» de Kreisel. Nous avons noté une faiblesse du compte de la théorie des modèles: tous les modèles sont des ensembles, et il se peut donc qu'aucun modèle ne représente le monde réel. Kreisel a montré que si nous avons un système de preuve qui est «intuitivement sain» et qui est complet par rapport à la sémantique de la théorie des modèles, nous ne manquerons aucun modèle: chaque argument intuitivement valable aura un contre-modèle. Soit (L) un langage de premier ordre. Soit (Val) l'ensemble des arguments intuitivement valides dans (L). Kreisel considère que la validité intuitive est la préservation de la vérité dans toutes les structures (que ce soit des ensembles ou non). Son analyse privilégie l'analyse modale des conséquences logiques - mais notez que la faiblesse à laquelle nous nous attaquons est que la prise en compte des structures théoriques des ensembles peut ne pas suffire. Soit (V) l'ensemble des validités de la théorie des modèles dans (L): arguments qui préservent la vérité sur les modèles. Soit (D) l'ensemble des arguments déductivement valides, par un système de preuve accepté pour la logique du premier ordre. Or, un tel système de preuve est «intuitivement sain», ce qui signifie que ce qui est déductivement valide par le système l'est intuitivement. Cela nous donne (D / subseteq Val). Et évidemment, d'après les définitions que nous avons données, (Val / subseteq V), puisqu'un argument qui préserve la vérité sur toutes les structures conservera la vérité sur les ensembles-structures. Soit (D) l'ensemble des arguments déductivement valides, par un système de preuve accepté pour la logique du premier ordre. Or, un tel système de preuve est «intuitivement sain», ce qui signifie que ce qui est déductivement valide par le système l'est intuitivement. Cela nous donne (D / subseteq Val). Et évidemment, d'après les définitions que nous avons données, (Val / subseteq V), puisqu'un argument qui préserve la vérité sur toutes les structures conservera la vérité sur les ensembles-structures. Soit (D) l'ensemble des arguments déductivement valides, par un système de preuve accepté pour la logique du premier ordre. Or, un tel système de preuve est «intuitivement sain», ce qui signifie que ce qui est déductivement valide par le système l'est intuitivement. Cela nous donne (D / subseteq Val). Et évidemment, d'après les définitions que nous avons données, (Val / subseteq V), puisqu'un argument qui préserve la vérité sur toutes les structures conservera la vérité sur les ensembles-structures.

Par le résultat d'exhaustivité pour la logique du premier ordre, nous avons: (V) ⊆ (D). En mettant les trois inclusions ensemble (le «squeeze»), on obtient que les trois ensembles doivent être égaux, et en particulier: (V = Val). De cette façon, nous avons prouvé que s'il existe une structure qui est un contre-exemple à un argument du premier ordre, alors il y en a une théorique des ensembles.

Une autre arène pour l'interaction entre les perspectives théorique de la preuve et théorique du modèle concerne la définition du vocabulaire logique. Par exemple, on peut avoir une vision inférentialiste «modérée» qui définit les significations des connecteurs logiques à travers leur sémantique (c'est-à-dire les conditions de vérité) mais exige que la signification d'un connectif soit déterminée par des règles d'inférence. Carnap a montré que les règles d'inférence classiques permettent des interprétations non standard des expressions logiques (Carnap 1943). De nombreux travaux récents dans le domaine ont été consacrés à la nature exacte et à l'étendue du problème de catégoricité de Carnap (Raatikainen 2008, Murzi et Hjortland 2009, Woods 2012, Garson 2013, Peregrin 2014, Bonnay et Westerståhl 2016. Voir aussi l'entrée sur les connecteurs de phrases dans logique formelle).

Enfin, nous devons noter que si la théorie des modèles et la théorie de la preuve sont les principaux prétendants à l'explication de la conséquence logique, il existe des cadres alternatifs pour la sémantique formelle tels que la sémantique algébrique, la sémantique de la théorie des jeux et la sémantique dynamique (voir Wansig 2000).

4. Prémisses et conclusions

Il y a également eu une dissidence, même à l'époque d'Aristote, quant à la «forme» de la conséquence logique. En particulier, il n'y a pas de consensus établi sur le nombre de prémisses ou de conclusions appropriées pour «relier» la relation de conséquence.

Dans le syllogistique d'Aristote, un syllogisme relie deux ou plusieurs prémisses et une seule conclusion. En fait, Aristote se concentre sur des arguments avec exactement deux prémisses (la prémisse principale et la prémisse mineure), mais rien dans sa définition n'interdit les arguments avec trois prémisses ou plus. Sûrement, de tels arguments devraient être autorisés: si, par exemple, nous avons un syllogisme de deux prémisses (A) et (B) à une conclusion (C), et nous en avons un autre des prémisses (C) et (D) à la conclusion (E), alors dans un certain sens, l'argument plus long des prémisses (A, B) et (D) à la conclusion (E) est un bon une. On le trouve en enchaînant les deux arguments plus petits. Si les deux arguments originaux sont formellement valides, alors l'argument le plus long de trois prémisses l'est également. D'un autre côté, sur une lecture commune de la définition d'Aristote du syllogisme,- les arguments à première vue sont exclus - mais cela semble arbitraire, car même les propres inférences de «conversion» d'Aristote sont ainsi exclues.

Pour ces raisons, beaucoup ont pris la relation de conséquence logique pour associer une collection arbitraire (peut-être infinie) de prémisses à une seule conclusion. Ce compte a l'avantage supplémentaire d'avoir le cas particulier d'une collection vide de locaux. Les arguments à la conclusion d'aucune prémisse sont ceux dans lesquels la conclusion est vraie par la logique seule. Ces «conclusions» sont des vérités logiques (parfois des tautologies) ou, dans l'approche centrée sur la preuve, des théorèmes.

Il y a peut-être une raison de permettre à la notion de conséquence logique de s'appliquer encore plus largement. Dans la théorie de la preuve de Gentzen pour la logique classique, une notion de conséquence est définie comme se situant entre plusieurs prémisses et plusieurs conclusions. L'argument d'un ensemble (X) de prémisses à un ensemble (Y) de conclusions est valide si la vérité de chaque membre de (X) garantit (au sens pertinent) la vérité d'un membre de (Y). Il ne fait aucun doute que cela est formellement perspicace, mais l'applicabilité philosophique du sens de la conséquence logique à prémisse multiple et à conclusion multiple reste une question philosophique ouverte. En particulier, les anti-réalistes qui considèrent que la conséquence logique est définie en termes de preuve (comme Michael Dummett) rejettent une analyse de conclusion multiple de conséquence logique. Pour un anti-réaliste,qui considère qu'une bonne inférence se caractérise par la manière dont le mandat est transmis de la prémisse à la conclusion, il semble qu'une analyse à conclusions multiples de conséquence logique soit hors de question. Dans un argument à conclusions multiples de (A) à (B, C), tout mandat que nous avons pour (A) ne transmet pas nécessairement à (B) ou (C): la seule conclusion nous sommes garantis de dessiner est la disjonction (B) ou (C), il semble donc que pour une analyse des conséquences en termes de garantie, nous devons comprendre un vocabulaire logique (dans ce cas, la disjonction) afin de comprendre la relation de conséquence. Ceci est inacceptable si nous espérons utiliser la conséquence logique comme outil pour définir ce vocabulaire logique. Aucun problème de ce type ne semble se poser dans une seule conclusion. (Toutefois,voir Restall (2005) pour une défense des conséquences de conclusions multiples pour les anti-réalistes; et voir Beall (2011) pour une défense de certaines logiques sous-classiques à conclusions multiples au service de solutions non classiques au paradoxe.)

Une autre ligne dans laquelle la notion a été élargie (ou dans laquelle certains ont cherché à l'élargir) implique des travaux récents sur la logique sous-structurelle. La proposition ici est que nous pouvons envisager de nous passer de certaines des règles standard régissant la manière dont les prémisses (ou les conclusions) d'un argument peuvent être combinées. Les règles structurelles traitent de la forme ou de la structure d'un argument dans le sens de la manière dont les prémisses et les conclusions sont rassemblées, et non de la manière dont ces déclarations sont construites. La règle structurelle de l'affaiblissement, par exemple, stipule que si un argument d'une collection de locaux (X) à une conclusion (C) est valide, alors l'argument de (X) avec une autre prémisse (A) à la conclusion (C) est également valide. Cette règle a semblé problématique à certains (principalement au motif que la prémisse supplémentaire (A) n'a pas besoin d'être utilisée dans la dérivation de la conclusion (C) et donc que (C) ne découle pas de la locaux (X, A) dans le sens approprié). Les logiques pertinentes sont conçues pour respecter cette pensée, et se passer de la règle structurelle de l'affaiblissement. (Pour le tableau de la théorie de la preuve, voir Negri et von Plato (2001).)

D'autres règles structurelles sont également mises en cause. Une autre application possible de la logique sous-structurelle se trouve dans l'analyse de paradoxes tels que le paradoxe de Curry. Un mouvement crucial dans le raisonnement dans le paradoxe de Curry et d'autres paradoxes comme il semble exiger l'étape de réduire deux applications d'une hypothèse à une seule (qui est ensuite déchargée). Selon certains, cette étape est problématique, et donc, ils doivent distinguer un argument de (A) à (B) et un argument de (A, A) à (B). La règle de la contraction est rejetée.

Dans d'autres exemples encore, l'ordre dans lequel les locaux sont utilisés est important et un argument de (A, B) à (C) doit être distingué d'un argument de (B, A) à (C). (Pour plus de détails, consultez l'entrée sur les logiques sous-structurelles.) Il ne fait aucun doute que les systèmes formels de logiques sous-structurelles sont élégants et intéressants, mais le cas de l'importance philosophique et de l'applicabilité des logiques sous-structurelles n'est pas clos.

5. Un ou plusieurs?

Nous n'avons abordé que quelques aspects centraux de la notion de conséquence logique, laissant d'autres questions, débats et, en particulier, des détails à émerger de récits particuliers (récits bien représentés dans cette encyclopédie). Mais même un rapide coup d'œil à la section des liens connexes (ci-dessous) attestera d'un assez grand nombre de théories logiques différentes, de récits différents de ce qui (logiquement) découle de quoi. Et cette observation soulève une question sur laquelle nous terminerons: y a-t-il une notion de conséquence logique qui est la cible de toutes ces théories, ou y en a-t-il plusieurs?

Nous convenons tous qu'il existe de nombreuses techniques formelles différentes pour étudier la conséquence logique, et de très nombreux systèmes formels différents qui proposent chacun des relations de conséquence logique différentes. Mais étant donné un argument particulier, la question de savoir si elle est déductivement valable est-elle une affaire de tout ou rien? L'orthodoxie, le monisme logique, répond par l'affirmative. Il existe une relation de conséquence déductive et différents systèmes formels font un meilleur ou un pire travail de modélisation de cette relation. (Voir, par exemple, Priest 1999 pour une défense du monisme.) Le contextualiste logique ou relativiste dit que la validité d'un argument dépend du sujet ou du cadre de référence ou d'un autre contexte d'évaluation. (Par exemple, une utilisation de la loi du milieu exclu pourrait être valable dans un manuel de mathématiques classiques,mais pas dans un manuel de mathématiques intuitionniste, ou dans un contexte où l'on raisonne sur la fiction ou des matières vagues.) Le pluraliste logique, par contre, dit que d'un seul et même argument, dans un seul et même contexte, il y a parfois différentes choses que l'on devrait dire en ce qui concerne sa validité. Par exemple, peut-être devrait-on dire que l'argument d'une collection contradictoire de prémisses à une conclusion sans rapport est valable en ce sens qu'en vertu de sa forme, il n'est pas vrai que les prémisses sont vraies et la conclusion fausse (donc c'est valable dans un sens précis), mais que néanmoins, dans un autre sens, la forme de l'argument ne garantit pas que la vérité des prémisses mène à la vérité de la conclusion. Le moniste ou le contextualiste soutient que dans le cas d'un seul argument, une seule réponse doit être trouvée à la question de sa validité. Le pluraliste nie cela. Le pluraliste soutient que la notion de conséquence logique elle-même peut être rendue plus précise de plusieurs manières, tout comme l'idée originale d'un «bon argument» bifurque en validité déductive et inductive (voir Beall et Restall 2000 pour une défense du pluralisme).

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    Ce livre et le précédent résument le travail dans une logique pertinente dans la tradition Anderson – Belnap. Certains chapitres de ces livres ont d'autres auteurs, tels que Robert K. Meyer et Alasdair Urquhart.

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