Le Paradoxe De La Connaissance De Fitch

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Le paradoxe de la connaissance de Fitch

Publié pour la première fois le 7 octobre 2002; révision de fond jeu.22 août 2019

Le paradoxe de la connaissabilité de Fitch (aka le paradoxe de la connaissabilité ou le paradoxe de Church-Fitch) concerne toute théorie engagée dans la thèse selon laquelle toutes les vérités sont connaissables. Des exemples historiques de telles théories incluent sans doute l'antiréalisme sémantique de Michael Dummett (c'est-à-dire l'idée que toute vérité est vérifiable), le constructivisme mathématique (c'est-à-dire l'idée que la vérité d'une formule mathématique dépend des constructions mentales que les mathématiciens utilisent pour prouver ces formules), Le réalisme interne de Hilary Putnam (c'est-à-dire l'idée que la vérité est ce que nous croirions dans des circonstances épistémiques idéales), la théorie pragmatique de la vérité de Charles Sanders Peirce (c'est-à-dire que la vérité est ce sur quoi nous serions d'accord à la limite de l'enquête), le positivisme logique (c'est-à-dire la vue que le sens donne par des conditions de vérification), l'idéalisme transcendantal de Kant (ie,que toute connaissance est connaissance des apparences) et l'idéalisme de George Berkeley (c'est-à-dire qu'être, c'est être perceptible).

Le concept opérationnel de «connaissabilité» reste insaisissable mais il est censé se situer quelque part entre assimiler la vérité sans information à ce que Dieu saurait et assimiler naïvement la vérité à ce que les humains savent réellement. Assimiler la vérité à ce que Dieu connaîtrait n'améliore pas l'intelligibilité, et l'assimiler à ce que les humains savent réellement ne permet pas d'apprécier l'objectivité et la découvrabilité de la vérité. La voie médiane, ce que nous pourrions appeler un antiréalisme modéré, peut être caractérisée logiquement quelque part dans le cadre du principe de connaissabilité:

) tag {Principe K} forall p (p / rightarrow / Diamond Kp),)

qui dit, formellement, pour toutes les propositions (p), si (p) alors il est possible de savoir que (p).

Le grand problème de la voie du milieu est le paradoxe de Fitch. C'est la preuve qui montre (dans une logique modale normale augmentée de l'opérateur de connaissance) que «toutes les vérités sont connaissables» implique «toutes les vérités sont connues»:

) tag {K Paradox} forall p (p / rightarrow / Diamond Kp) vdash / forall p (p / rightarrow Kp).)

En tant que telle, la preuve fait le travail intéressant de réduire l'anti-réalisme modéré en idéalisme naïf.

Quel est le paradoxe? Timothy Williamson (2000b) dit que le paradoxe de la connaissabilité n'est pas un paradoxe; c'est un «embarras» - un embarras pour diverses marques d'antiréalisme qui ont longtemps négligé un simple contre-exemple. Il note que c'est «un affront» à diverses théories philosophiques, mais pas au bon sens. D'autres ne sont pas d'accord. Le paradoxe n'est pas que la preuve Fitch menace rapidement la voie du milieu. C'est que la preuve Fitch, utilisant des ressources modales épistémiques minimales, s'effondre de la voie médiane dans la voie naïve. Le paradoxe, tel qu'articulé dans Kvanvig (2006) et Brogaard et Salerno (2008), est que l'antiréalisme modéré ne semble pas être exprimable comme une thèse distincte, logiquement plus faible que l'idéalisme naïf. C'est intéressant et gênant indépendamment de l'attitude pour ou contre l'antiréalisme modéré.

  • 1. Bref historique
  • 2. Le paradoxe de la connaissance
  • 3. Révisions logiques

    • 3.1 Révision épistémique
    • 3.2 Révision intuitionniste
    • 3.3 Problèmes pour la révision intuitionniste
    • 3.4 Le paradoxe de l'indécision de la connaissance
    • 3.5 Révision paraconsistante
  • 4. Restrictions sémantiques

    • 4.1 Situations et opérations rigides
    • 4.2 Problèmes pour les situations
    • 4.3 Erreurs modales et déclarations non rigides
    • 4.4 Problèmes de non-rigidité
  • 5. Restrictions syntaxiques

    • 5.1 Déclarations cartésiennes
    • 5.2 Déclarations de base
    • 5.3 Problèmes pour les restrictions syntaxiques
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Bref historique

La littérature sur le paradoxe de la connaissabilité émerge en réponse à une preuve publiée pour la première fois par Frédéric Fitch dans son article de 1963, «A Logical Analysis of Some Value Concepts». Le théorème 5, comme on l'appelait là-bas, menace d'effondrer un certain nombre de différences modales et épistémiques. Que l'ignorance soit l'échec de connaître une certaine vérité. Ensuite, le théorème 5 réduit un engagement à l'ignorance contingente en un engagement à l'ignorance nécessaire. Car il montre que l'existence de vérités en fait inconnues entraîne l'existence de vérités nécessairement inconnues. Officiellement,

) tag {Théorème 5} existe p (p / wedge / neg Kp) vdash / existe p (p / wedge / neg / Diamond Kp).)

L'inverse du théorème 5 est trivial (puisque la vérité implique la possibilité), donc Fitch s'efforce principalement d'effacer toute différence logique entre l'existence de l'ignorance contingente et l'existence de l'inconnaissabilité nécessaire.

C'est cependant le contre-positif du théorème 5 qui est généralement appelé le paradoxe:

) tag {K Paradox} forall p (p / rightarrow / Diamond Kp) vdash / forall p (p / rightarrow Kp).)

Cela nous dit que si une vérité peut être connue, il s'ensuit que chaque vérité est en fait connue.

La première version de la preuve a été transmise à Fitch par un arbitre anonyme en 1945. En 2005, nous avons découvert qu'Alonzo Church était cet arbitre (Salerno 2009b). Ses rapports sont publiés dans leur intégralité dans Church (2009). Fitch n'a apparemment pas pris le résultat pour paradoxal. Il a publié la preuve en 1963 pour éviter une sorte d '«erreur conditionnelle» qui menaçait son analyse du désir éclairé de la valeur. L'analyse dit en gros: (x) est précieux pour (s) juste au cas où il y aurait une vérité (p) telle que (s) connue (p) alors elle voudrait (X). L'existence de vérités inconnaissables explique finalement pourquoi il limite les variables propositionnelles à des propositions connaissables. Car une vérité inconnaissable fournit un antécédent impossible dans le contrefactuel de Fitch, et finalement banalise l'analyse. La théorie de la valeur de Fitch n'étant pas le contexte dans lequel le paradoxe est largement discuté, nous n'en dirons pas plus ici.

Redécouvert dans Hart et McGinn (1976) et Hart (1979), le résultat a été considéré comme une réfutation du vérificationnisme, l'idée que toutes les déclarations significatives (et donc toutes les vérités) sont vérifiables. Après tout, si l'on accepte le principe de connaissabilité, (forall p (p / rightarrow / Diamond Kp)), elle s'engage dans l'affirmation absurde que toutes les vérités sont connues. Mackie (1980) et Routley (1981), entre autres à l'époque, soulignent les difficultés de cette position générale mais conviennent finalement que le résultat de Fitch est une réfutation de l'affirmation selon laquelle toutes les vérités sont connaissables et que diverses formes de vérificationnisme sont en péril pour raisons connexes. Depuis le début des années quatre-vingt, cependant, des efforts considérables ont été déployés pour analyser la preuve comme étant paradoxale. Pourquoi après tout devrait-il être qu'une théorie épistémique de la vérité réduit les connaissances possibles en connaissances réelles? Intuitivement, cette vérité doit être comprise en termes de capacités épistémiques d'agents non omniscients est au moins une position cohérente - une position distincte et plus plausible que la thèse selon laquelle toutes les vérités sont connues. De plus, il a été jugé étrange que des versions sophistiquées de la théorie épistémique de la vérité fassent l'objet d'une déduction aussi rapide. Par conséquent, la preuve de Church-Fitch est connue sous le nom de paradoxe de la connaissabilité.il a été jugé étrange que des versions sophistiquées de la théorie épistémique de la vérité soient la proie d'une déduction aussi rapide. Par conséquent, la preuve de Church-Fitch est connue sous le nom de paradoxe de la connaissabilité.il a été jugé étrange que des versions sophistiquées de la théorie épistémique de la vérité soient la proie d'une déduction aussi rapide. Par conséquent, la preuve de Church-Fitch est connue sous le nom de paradoxe de la connaissabilité.

Il n'y a pas de consensus quant à savoir si et où la preuve va mal. Nous utilisons cette entrée pour présenter la preuve et explorer une gamme de traitements proposés.

2. Le paradoxe de la connaissance

Le raisonnement de Fitch consiste à quantifier en position de phrase. Nos variables propositionnelles (p) et (q) prendront des déclarations déclaratives comme substituants. Soit (K) l'opérateur épistémique «il est connu de quelqu'un à un moment donné». Soit (Diamond) l'opérateur modal 'il est possible que'.

Supposons le principe de connaissabilité (KP) - que toutes les vérités sont connaissables par quelqu'un à un moment donné:

) tag {KP} forall p (p / rightarrow / Diamond Kp).)

Et supposons que collectivement nous ne soyons pas omniscients, qu'il y ait une vérité inconnue:

) tag {NonO} existe p (p / wedge / neg Kp).)

Si cette revendication existentielle est vraie, alors une instance en est une:

) tag {1} p / wedge / neg Kp.)

Considérons maintenant l'instance de KP substituant la ligne 1 à la variable (p) dans KP:

) tag {2} (p / wedge / neg Kp) rightarrow / Diamond K (p / wedge / neg Kp))

Il s'ensuit trivialement qu'il est possible de connaître la conjonction exprimée à la ligne 1:

) tag {3} Diamond K (p / wedge / neg Kp))

Cependant, on peut montrer indépendamment qu'il est impossible de connaître cette conjonction. La ligne 3 est fausse.

Le résultat indépendant présuppose deux principes épistémiques très modestes: premièrement, connaître une conjonction implique de connaître chacun des conjoints. Deuxièmement, la connaissance implique la vérité. Respectivement,) begin {align} tag {A} K (p / wedge q) & / vdash Kp / wedge Kq \\ / tag {B} Kp & / vdash p / end {align})

Deux principes modaux modestes sont également présupposés: premièrement, tous les théorèmes sont nécessaires. Deuxièmement, (neg p) implique nécessairement que (p) est impossible. Respectivement,

) begin {align} tag {C} & / text {If} vdash p, / text {then} vdash / Box p. \\ / tag {D} & / Box / neg p / vdash / neg / Diamond p. / end {align})

Considérez le résultat indépendant:

) begin {align} tag {4} K (p / wedge / neg Kp) & / quad / text {Hypothèse [pour la réduction]} / \ tag {5} Kp / wedge K / neg Kp & / quad / text {de 4, par (A)} / \ tag {6} Kp / wedge / neg Kp & / quad / text {de 5, en appliquant (B) à la conjonction droite} / \ tag {7} neg K (p / wedge / neg Kp) & / quad / text {de 4-6, par reductio,} & / quad / quad / text {décharge de l'hypothèse 4} / \ tag {8} Box / neg K (p / wedge / neg Kp) & / quad / text {from 7, by (C)} / \ tag {9} neg / Diamond K (p / wedge / neg Kp) & / quad / text {from 8, par (D)} end {align})

La ligne 9 contredit la ligne 3. Ainsi, une contradiction découle de KP et NonO. L'avocat de l'opinion selon laquelle toutes les vérités sont connaissables doit nier que nous ne sommes pas omniscients:

) tag {10} neg / existe p (p / wedge / neg Kp).)

Et il en découle que toutes les vérités sont réellement connues:

) tag {11} forall p (p / rightarrow Kp).)

L'allié du point de vue que toutes les vérités sont connaissables (par quelqu'un à un moment donné) est forcé de façon absurde d'admettre que chaque vérité est connue (par quelqu'un à un moment donné).

3. Révisions logiques

Dans cette section, nous examinons les possibilités de traiter le raisonnement de Fitch comme invalide. Le raisonnement épistémique de Fitch est-il en ordre? La logique de la connaissabilité est-elle une logique classique? Plus précisément: le principe de la connaissabilité comporte-t-il des considérations spéciales qui justifient la révision de la logique classique? Si oui, cette révision logique invalide-t-elle le raisonnement de Fitch? Et si le raisonnement est invalide, existe-t-il des paradoxes étroitement liés qui menacent le principe de connaissabilité sans violer les normes logiques pertinentes?

3.1 Révision épistémique

Le problème avec le raisonnement de Fitch ne concerne ni l'une ni l'autre des inférences épistémiques A ou B. Bien que certains aient soutenu que connaître une conjonction n'implique pas de connaître les conjonctures (Nozick 1981), Williamson (1993) et Jago (2010) ont montré que des versions de le paradoxe n'exige pas cette hypothèse distributive. Et les questions sur la factivité de (K) peuvent être désamorcées assez rapidement, car des paradoxes connexes émergent en remplaçant l'opérateur factif «On sait que» par un opérateur non factif, tel que «On croit rationnellement que» (Mackie 1980: 92; Edgington 1985: 558–559; Tennant 1997: 252–259; Wright 2000: 357).

Des discussions approfondies et intéressantes sur les opérateurs épistémiques et / ou les analogues temporels dans le contexte du paradoxe de Fitch apparaissent dans de nombreux articles. Burgess (2009) considère les analogues temporels. van Benthem (2004; 2009), van Ditmarsh et al. (2012), Berto et al. (à paraître) et Holliday (2018) explorent le problème dans des cadres épistémiques dynamiques. Palczewski (2007), Kelp et Pritchard (2009), Chase et al. (2018) et Heylen (à paraître) considèrent des notions non factives de connaissance et de connaissabilité. Linsky (2009), Paseau (2008), Jago (2010), Carrara et al. (2011) et Rosenblatt (2014) débattent des perspectives de typage des connaissances.

3.2 Révision intuitionniste

Williamson (1982) soutient que la preuve de Fitch n'est pas une réfutation de l'anti-réalisme, mais plutôt une raison pour l'anti-réaliste d'accepter la logique intuitionniste. Grâce à une lecture vérifiatrice (ou constructiviste) de la négation et de la quantification existentielle, la logique intuitionniste ne valide ni l'élimination de la double négation,) neg / neg p / vdash p,)

ni la règle d'échange de quantificateurs suivante:

) neg / forall x / P [x] vdash / existe x / neg / P [x].)

Sans l'élimination de la double négation, on ne peut pas tirer la conclusion de Fitch «toutes les vérités sont connues» (à la ligne 11) de «il n'y a pas une vérité qui soit inconnue» (ligne 10). Considérez la ligne 10,) neg / existe p (p / wedge / neg Kp).)

De cela, nous pouvons tirer intuitionistiquement

) forall p / neg (p / wedge / neg Kp).)

Mais remarquez sans double négation élimination,

) neg (p / wedge / neg Kp))

n'implique pas

[p / rightarrow Kp.)

Supposer

) neg (p / wedge / neg Kp))

et supposons (p) pour une introduction conditionnelle. Et supposons (neg Kp) pour la réduction. On peut joindre (p) avec (neg Kp) pour obtenir

[p / wedge / neg Kp)

Cela contredit notre hypothèse principale. Donc, par reductio, (neg / neg Kp). Sans élimination de la double négation, nous ne pouvons pas conclure (Kp), et donc, ne pouvons pas introduire le conditionnel

[p / rightarrow Kp)

L'intuitionniste s'engage cependant, par introduction conditionnelle, à

[p / rightarrow / neg / neg Kp.)

Il y a un débat sur la question de savoir si cette conséquence est suffisamment gênante, mais l'anti-réaliste intuitionniste se réconforte dans le fait qu'elle n'est pas engagée dans l'affirmation manifestement absurde que toutes les vérités sont connues. Une discussion très intéressante sur les espoirs et les rêves de l'antréalisme intuitionniste dans ce contexte apparaît dans Murzi (2010; 2012), Murzi et al. (2009) et Zardini (2015).

3.3 Problèmes pour la révision intuitionniste

Puisque le raisonnement de Fitch est intuitionniste valable jusqu'à la ligne 10, l'anti-réaliste intuitionniste doit accepter qu'aucune vérité n'est inconnue: (neg / exists p (p / wedge / neg Kp)). On peut soutenir que cela est suffisamment nuisible, car il semble que l'anti-réaliste ne puisse pas donner foi au truisme selon lequel (individuellement et collectivement) nous ne sommes pas omniscients. Williamson répond que l'anti-réaliste intuitionniste peut naturellement exprimer notre non-omniscience comme «toutes les vérités ne sont pas connues»:

) tag {12} neg / forall p (p / rightarrow Kp))

Cette affirmation est classiquement, mais pas intuitionniste, équivalente à la thèse de non-omniscience,) existe p (p / wedge / neg Kp).)

En effet, dans la logique intuitionniste, la règle d'échange de quantificateurs, (neg / forall x / P [x] vdash / existe x / neg / P [x],) n'est pas valable sans restriction. Il est important de noter que l'expression de la non-omniscience à la ligne (12, / neg / forall p (p / rightarrow Kp)), n'est que classiquement, et non intuitivement, incompatible avec la ligne (10, / neg / existe p (p / coin / neg Kp)). Ainsi, l'anti-réaliste intuitionniste peut constamment exprimer le truisme que nous sommes non-omniscient (avec la ligne 12) tout en acceptant la conséquence intuitionniste dérivée à la ligne 10. En effet, l'anti-réaliste admet à la fois qu'aucune vérité n'est inconnue et que toutes les vérités ne sont pas connues. La satisfiabilité de cette affirmation sur des bases intuitionnistes est démontrée par Williamson (1988, 1992).

3.4 Le paradoxe de l'indécision de la connaissance

On dit qu'un problème plus profond demeure pour l'anti-réaliste intuitionniste. Le paradoxe de Fitch repose sur l'hypothèse qu'il existe des vérités inconnues. Mais considérons l'hypothèse plus faible d'un point de vue intuitionniste selon laquelle il y a des déclarations indécises, c'est-à-dire que certains (p), tels que (p) est inconnu et (neg p) est inconnu. Officiellement,) tag {Und} existe p (neg Kp / wedge / neg K / neg p))

Si (Und) est vrai, alors une instance en est une:

) tag {i} neg Kp / wedge / neg K / neg p.)

Et notez que la conclusion intuitionistiquement acceptable à la ligne (10, / neg / existe p (p / wedge / neg Kp)), est intuitionistiquement équivalente à la revendication universelle,) tag {ii} forall p (neg Kp / rightarrow / neg p).)

Dériver (neg Kp / rightarrow / neg p) et (neg K / neg p / rightarrow / neg / neg p) de (ii), et appliquer les conjoints de (i), respectivement, nous donne le contradiction (neg p / coin / neg / neg p). L'anti-réaliste intuitionniste est obligé d'admettre absurdement qu'il n'y a pas de déclarations indécises:

) tag {iii} neg / existe p (neg Kp / wedge / neg K / neg p))

L'argument ci-dessus est donné par Percival (1990: 185). Puisqu'il est intutionistiquement acceptable, il est censé montrer que l'anti-réaliste intuitionniste est toujours en difficulté.

En réponse, l'anti-réaliste peut à nouveau utiliser la stratégie de Williamson pour réviser la logique et reconstruire une expression du truisme épistémique. N'embrassez que les conséquences intuitionnistes de KP (dans ce cas, qu'il n'y a pas d'énoncés indécis), et exprimez le truisme sur l'indécision en affirmant que toutes les déclarations ne sont pas décidées:

) tag {iv} neg / forall p (Kp / vee K / neg p).)

La réinterprétation de l'intuition d'indécision à la ligne (iv) nous donne une affirmation qui est classiquement, mais pas intuitionniste, équivalente à Und. Et donc, ce n'est que classiquement, et non intuitivement, incompatible avec l'inférence de la ligne (iii).

Les paradoxes d'indécision liés à la connaissance sont discutés dans Wright (1987: 311), Williamson (1988: 426) et Brogaard et Salerno (2002: 146-148). Les paradoxes d'indécision donnent à l'anti-réaliste une raison encore plus grande de revoir la logique classique en faveur de la logique intuitionniste. Lorsqu'elle est accompagnée d'une reconstruction de nos intuitions épistémiquement modestes, l'espace logique de l'anti-réalisme est récupéré.

Tout cela suggère que l'anti-réalisme intuitionniste est cohérent. Mais l'approche est-elle bien motivée? La révision de la logique classique ou la reconstruction intelligente de nos intuitions épistémiques sont-elles ad hoc?

Le prétendu droit des anti-réalistes d'abandonner la logique classique au profit de la logique intuitionniste a été défendu indépendamment. L'argument trouve ses racines dans Dummett (1976 et ailleurs). Des interprétations plus récentes de l'argument antiréaliste en faveur de la révision logique apparaissent dans Wright (1992: Chp. 2), Tennant (1997: Chp. 7) et Salerno (2000). Les détails et le succès ou l'échec des arguments pour la révision logique est un sujet pour une autre fois. Pour l'instant, il suffit de souligner que la menace du paradoxe de Fitch n'est pas la seule motivation de l'anti-réaliste pour favoriser une logique non classique.

Qu'en est-il de la reconstruction de nos intuitions épistémiques? Est-ce bien motivé? Selon Kvanvig (1995), ce n'est pas le cas. Pourquoi devrions-nous admettre que les traitements intuitionnistes de la non-omniscience et de l'indécision sont meilleurs que nos traitements initiaux de bon sens? Et comment l'anti-réaliste peut-il expliquer la banalité apparente de ces traitements de bon sens? Ces questions n'ont pas reçu de réponse.

De plus, certaines des conséquences intuitionnistes du KP sont considérées comme suffisamment graves. Même si «il n'y a pas de vérités inconnues» ou «il n'y a pas d'énoncés indécis» sont tolérables d'un point de vue intuitionniste, ce qui suit ne semble pas être: Si (p) est inconnu alors (neg p). Formellement, (neg Kp / rightarrow / neg p). Cette affirmation découle intuitionistiquement de (p / rightarrow / neg / neg Kp), que nous avons déjà établi comme une conséquence intuitionniste de KP. Mais (neg Kp / rightarrow / neg p) semble être faux pour le discours empirique. Pourquoi le fait que personne ne sache jamais (p) suffirait-il à la fausseté de (p)? Voir Percival (1990) et Williamson (1988) pour de plus amples discussions sur ce problème et sur les problèmes connexes entourant l'application de l'anti-réalisme intuitionniste au discours empirique. DeVidi et Solomon (2001) ne sont pas d'accord. Ils soutiennent que les conséquences intuitionnistes ne sont pas inacceptables pour quiconque s'intéresse à une théorie épistémique de la vérité - en fait, elles sont au cœur d'une théorie épistémique de la vérité.

Pour ces raisons, un appel à la logique intuitionniste, en lui-même, est généralement considéré comme insatisfaisant face aux paradoxes de la connaissabilité. Les exceptions incluent Burmüdez (2009), Dummett (2009), Rasmussen (2009) et Maffezioli, Naibo & Negri (2013).

3.5 Révision paraconsistante

Un autre défi à la logique du paradoxe de Fitch est mentionné dans Routley (1981) et défendu par Beall (2000). L'idée est que la logique correcte de la connaissabilité est paraconsistante. Dans une logique paraconsistante, les contradictions ne banalisent pas une théorie, car elles ne «explosent» pas. Autrement dit, dans une logique paraconsistante, l'inférence de (p / wedge / neg p) à une conclusion arbitraire (r) n'est pas valide. En raison de cette considération, certaines contradictions sont permises et considérées comme possibles.

Beall soutient que (1) la preuve de Fitch repose sur l'hypothèse que, pour toutes les déclarations (p), la contradiction (Kp / wedge / neg Kp) est impossible et (2) nous avons des preuves indépendantes pour penser (Kp / wedge / neg Kp), pour certains (p). La preuve indépendante réside dans le paradoxe du connaissant (à ne pas confondre avec le paradoxe de la connaissabilité). La version pertinente du paradoxe du connaissant peut être démontrée en considérant la phrase autoréférentielle suivante:

) tag {(k)} k / text {est inconnu.})

Supposons pour le bien de l'argument que (k) est connu. Alors, en supposant que la connaissance implique la vérité, (k) est vrai. Mais (k) dit que (k) est inconnu. Donc (k) est inconnu. Par conséquent, (k) est à la fois connu et inconnu. Mais alors notre hypothèse (c'est-à-dire que (k) est connu) est fausse, et cela est prouvé. Et, en admettant qu'un mensonge prouvé est connu pour être faux, il s'ensuit que l'on sait que (k) est inconnu. C'est-à-dire que l'on sait que (k). Mais nous avons déjà montré que si l'on sait que (k) alors (k) est à la fois connu et inconnu. Il est donc prouvé que (k) est à la fois connu et inconnu. Il est prouvé que la description complète de nos connaissances comprend à la fois (K (k)) et (neg K (k)). C'est le paradoxe du connaisseur.

Beall suggère que le connaissant nous donne des preuves indépendantes pour penser (Kp / wedge / neg Kp), pour certains (p), que la description complète de la connaissance humaine a la particularité intéressante d'être incohérente. Avec une logique paraconsistante, on peut accepter cela sans trivialité. Et donc il est suggéré de devenir paraconsistant et d'embrasser (Kp / wedge / neg Kp) comme une vraie conséquence du principe de connaissabilité. Beall conclut que le raisonnement de Fitch, sans une réponse appropriée au connaissant, est inefficace contre le principe de la connaissabilité. Car le raisonnement de Fitch repose prétendument sur l'hypothèse que, pour tout (p), il est impossible que (Kp / wedge / neg Kp).

Notez que notre présentation du raisonnement de Fitch ne fait aucune mention explicite de l'hypothèse que (Kp / wedge / neg Kp) est impossible. Nous essayons donc ici de déterminer exactement où le raisonnement de Fitch va mal sur le compte ci-dessus. Il est affirmé à la ligne 9 (dans la première section de cette entrée) que (K (p / wedge / neg Kp)) est impossible. Bien entendu (K (p / wedge / neg Kp)) entraîne la contradiction (Kp / wedge / neg Kp). Et donc, si le raisonnement est que (K (p / wedge / neg Kp)) est impossible parce que les contradictions sont impossibles, alors Beall attaquerait directement l'argument présenté ici. Mais notez que l'argument ici est subtilement différent. Ça va comme ça. (K (p / wedge / neg Kp)) entraîne la contradiction (Kp / wedge / neg Kp). Donc, par reductio, (K (p / wedge / neg Kp)) est faux. Par nécessité,il s'ensuit que (K (p / wedge / neg Kp)) est nécessairement faux. Selon la logique paraconsistante, le paraconsististe peut s'opposer à l'utilisation de la réductio, ou peut s'opposer à d'autres inférences. L'affirmation selon laquelle (K (p / wedge / neg Kp)) est impossible (à la ligne 9) est déduite de cette affirmation que (K (p / wedge / neg Kp)) est nécessairement fausse. Cela peut troubler le paraconsistentiste. À la lumière d'une personne vivant avec contradiction, il ne s'ensuit pas qu'une déclaration incohérente soit impossible même si elle est nécessairement fausse. Après tout, pour cette raison, une déclaration nécessairement fausse peut être à la fois fausse et vraie dans un monde, auquel cas la déclaration est à la fois nécessairement fausse et possible. Si tel est le cas, l'inférence de (Box / neg p) à (neg / Diamond p) a des contre-exemples et ne peut pas être utilisée pour déduire (neg / Diamond K (p / wedge / neg Kp)) de (Box / neg K (p / wedge / neg Kp)).

Les idées de Beall tournent sur un certain nombre de choses: (1) la force de la preuve indépendante de véritables contradictions épistémiques, (2) l'adéquation des résolutions proposées au paradoxe du connaissant, (3) la question de savoir si le raisonnement de Fitch est inefficace sans un résolution au connaisseur et (4) une interprétation pour (Box) et (Diamond) qui invalide l'inférence pertinente (de (Box / neg p) à (neg / Diamond p)) tout en restant fidèle au rôle joué par (Diamond) dans le principe de la connaissabilité. Nous laissons ces problèmes pour un débat plus approfondi. Mais comparez avec Wansing (2002), où une logique modale pertinente constructive paraconsistante avec une forte négation est proposée pour bloquer le paradoxe.

Des développements plus récents de l'approche paraconsistent apparaissent dans Beall (2009) et Priest (2009).

4. Restrictions sémantiques

Le reste des propositions sont des stratégies de restriction. Ils réinterprètent KP en restreignant son quantificateur universel. En effet, les stratégies de restriction invalident le raisonnement de Fitch en interdisant les instances de substitution de KP qui conduisent au paradoxe. Dans cette section, nous examinons les raisons sémantiques de la restriction du quantificateur universel dans KP.

4.1 Situations et opérations rigides

Edgington (1985) propose un diagnostic de la situation théorique du paradoxe de Fitch. Elle affirme que le problème réside dans l’incapacité de faire la distinction entre «savoir dans une situation que (p)» et «savoir que (p) est le cas dans une situation». Dans ce dernier cas, la situation est (au moins en partie) celle sur laquelle porte la connaissance. Dans le premier cas, la situation est celle dans laquelle la connaissance est acquise. Par exemple, je peux savoir dans ma situation réelle que je souffrirais dans une situation contrefactuelle où ma dent est tirée. Il est important de noter que la situation dans laquelle la connaissance a lieu peut être différente de la situation sur laquelle porte ma connaissance. Dans une situation dans laquelle ma dent n'est pas tirée, je peux savoir des choses qui concernent une situation dans laquelle ma dent est tirée.

Quelles sont les situations? L'exemple ci-dessus semble suggérer que les situations sont des mondes. Mais les situations peuvent être moins complètes que les mondes. Autrement dit, ils n'ont pas besoin d'avoir des valeurs de vérité fixées pour des déclarations qui ne sont pas pertinentes pour le contexte. Prenons un exemple de Linstöm: je peux savoir dans une situation de perception donnée (s) que John (l'un des participants à un jeu de cartes) a la meilleure main et qu'aucun des participants ne le sait. Dans ce cas, ma connaissance est d'une situation (s ^ *), le jeu de cartes, mais mes connaissances sont acquises dans une situation différente (s), ma situation perceptive. La situation (s ^ *) n'est pas seulement déterminée, mais ses informations pertinentes sont limitées, par le contexte du jeu de cartes. Et (s) est fixé et limité par le contexte de la situation perceptive. Edgington préfère parler de situations plutôt que de mondes,parce que la connaissance de situations non réelles, contrairement à la connaissance de mondes non réels, ne nécessite pas la connaissance d'une quantité infinie de détails.

En expliquant la distinction théorique de situation entre 'savoir en' et 'connaître', nous pouvons réinterpréter le principe de connaissabilité: pour chaque énoncé (p) et situation (s), si (p) est vrai dans (s) alors il y a une situation (s ^ *) dans laquelle on sait que (p) est vrai dans (s). Edgington exige de la connaissabilité la thèse la moins générale: si (p) est vrai dans une situation réelle (s) alors il y a une situation possible (s ^ *) dans laquelle on sait que (p) est vrai dans (s). Appelez cela E-knowability ou EKP:

) tag {EKP} A p / rightarrow / Diamond K / A p,)

où A est l'opérateur d'actualité qui peut être lu 'Dans une situation réelle', et (Diamant) est l'opérateur de possibilité à lire 'Dans une situation possible'.

Comme nous le voyons, EKP restreint le principe de connaissabilité aux vérités réelles, en disant que (p) n'est réellement vrai que s'il y a une situation possible dans laquelle on sait que (p) est réellement vrai.

La suggestion importante est la suivante. Tout comme il peut y avoir une connaissance réelle de ce qui est contrefactuellement le cas, il peut y avoir une connaissance contrefactuelle de ce qui est réellement le cas. En fait, à la lumière de la preuve de Fitch, la connaissance électronique nécessite l'existence d'une telle connaissance non réelle. Voyons pourquoi.

Les vérités réelles de la forme (p / wedge / neg Kp) devront être E-connaissables. Mais (p / wedge / neg Kp) ne peut pas être connu pour être réellement le cas. Le raisonnement ici est exactement analogue au raisonnement de Fitch.

La leçon est la suivante. Puisque, pour certains (p, p / wedge / neg Kp) est réellement le cas, E-knowability nous engage à savoir que (p / wedge / neg Kp) est réellement le cas. Puisque cette connaissance ne peut pas être réelle, la connaissance électronique nécessite une connaissance non réelle de ce qui est réellement le cas. La connaissance électronique nie alors l'hypothèse suivante: étant donné une déclaration (p), si l'on sait que (p) dans (s), alors dans (s) on sait que (p). D'après l'analyse d'Edgington, c'est exactement cette hypothèse implicite qui égare le raisonnement de Fitch. Le paradoxe est bloqué sans lui.

4.2 Problèmes pour les situations

Puisque l'opérateur d'actualité désigne de manière rigide des situations réelles, la valeur de vérité des énoncés de la forme (A p) ne variera pas selon les situations possibles. '(A p)' implique 'dans chaque situation (A p)'. Ainsi, comme Edgington le sait, si (A p) alors il est nécessaire que (A p). Cela pose en soi un problème pour EKP. La critique est que l'approche d'Edgington n'est pas assez générale. Quiconque est susceptible d'approuver le principe de la connaissabilité est susceptible de penser qu'il détient toutes les vérités, pas seulement les vérités nécessaires impliquant l'opérateur d'actualité. L'EKP semble être une thèse très limitée ne spécifiant pas une contrainte épistémique sur la vérité contingente (Williamson 1987a).

D'autres critiques émergent lorsque nous essayons de dire quelque chose d'information sur ce qui constitue une connaissance non réelle de ce qui est réellement le cas. S'il existe une telle connaissance non réelle, il y a une pensée non réelle sur une situation réelle. Ainsi, le penseur non réel a en quelque sorte un concept de situation réelle. Mais comment est-il possible pour un penseur non réel d'avoir un concept qui concerne spécifiquement des situations dans ce monde réel? Il ne suffira pas au penseur d'exprimer la pensée «en fait (p)», car «en fait» ne désignera de manière rigide que des situations dans son propre monde. De plus, comme il n'y a pas de lien de causalité entre le monde réel (w_1) et le monde non réel pertinent (w_2), il est difficile de savoir comment la pensée non réelle dans (w_2) peut concerner uniquement (w_1) (Williamson, 1987a: 257–258). Par conséquent,on ne sait pas comment il pourrait y avoir des connaissances non réelles sur ce qui est réellement le cas.

Bien sûr, la connaissance réelle du non-réel n'est pas meilleure pour distinguer les mondes. Le problème particulier pour le connaissant non réel est que le contenu de sa pensée doit être précisément le contenu que nous saisissons lorsque nous considérons la vérité de (A p). Étant dans le monde réel, nous sommes en mesure de distinguer ce monde de manière unique. Lorsque nous considérons la vérité de (A p), notre contexte fixe spécifiquement le contenu de A. Donc, si c'est vraiment (A p) qui est connaissable par un connaisseur non réel, alors ce doit être (A p) qu'elle saisit - c'est-à-dire que ce doit être le même concept que nous saisissons. Mais comment cela est possible est précisément le problème.

Des critiques connexes et supplémentaires de la proposition d'Edgington apparaissent dans Wright (1987), Williamson (1987b; 2000b) et Percival (1991). Des développements formels sur la proposition, y compris des points qui répondent à certaines de ces préoccupations, apparaissent dans Rabinowicz et Segerberg (1994), Lindström (1997), Rückert (2003), Edgington (2010), Fara (2010), Proietti et Sandu (2010), et Schlöder (à paraître).

4.3 Erreurs modales et déclarations non rigides

Kvanvig (1995) accuse Fitch d'une erreur modale. L'erreur est une substitution illicite dans un contexte modal. Considérez une erreur modale familière. Pour toutes les personnes (x), il existe un monde possible dans lequel (x) n'est pas l'inventeur des lunettes à double foyer. (Même Ben Franklin, le véritable inventeur des verres bifocaux, ne les aurait peut-être pas inventés.) Par conséquent, il existe un monde possible dans lequel l'inventeur des verres bifocaux n'est pas l'inventeur des verres bifocaux. Nous pouvons représenter l'argument formellement. Laissez nos quantificateurs s'étendre sur les personnes, et soit '(i)' le désignateur non rigide 'l'inventeur des bifocaux'. Considérez l'argument:

) begin {align *} & / forall x / Diamond / neg (x = i) & / quad / text {Par conséquent,} & / Diamond / neg (i = i) end {align *})

Bien que n'importe qui n'ait pas été l'inventeur des verres bifocaux, il ne s'ensuit pas (en fait c'est faux) qu'il est possible que l'inventeur des verres bifocaux ne soit pas identique à l'inventeur des verres bifocaux. Après tout, il faut que l'inventeur du bifocale soit l'inventeur du bifocale.

La leçon est que nous ne pouvons pas nous substituer sans restriction à des contextes modaux. La substitution dans des contextes modaux, pourrions-nous dire, n'est autorisée que si les termes de substitution sont des désignateurs rigides. Dans le cas du résultat de Fitch, nos termes sont des phrases. Le principe de connaissabilité, (forall p (p / rightarrow / Diamond Kp)), nous permet apparemment de substituer n'importe quelle phrase à (p). Mais notez que notre quantificateur a une large portée par rapport à (Diamond). Nous nous attendrions à ce que les leçons de la logique modale quantifiée se retrouvent dans la logique modale propositionnelle quantifiée. Si tel est le cas, alors nous ne pouvons pas remplacer (p) une instruction qui ne désigne pas de manière rigide.

Sur le diagnostic de Kvanvig, le problème avec le raisonnement de Fitch est que lorsqu'il a substitué la conjonction (p / wedge / neg Kp) pour (p) dans KP (à la ligne 2 du résultat), il ne s'est pas arrêté pour déterminer si (p / wedge / neg Kp) est rigide. Kvanvig soutient que (p / wedge / neg Kp) n'est pas rigide. Le résultat de Fitch est donc fallacieux en raison d'une substitution illicite dans un contexte modal. Mais nous pouvons reconstruire (p / wedge / neg Kp) comme rigide. Et quand nous le faisons, le paradoxe s'évapore.

Kvanvig propose que les expressions quantifiées ne soient pas rigides. La raison qu'il donne est que les quantificateurs désignent différents objets dans différents mondes possibles. «Tout le monde dans la classe de Jon's Logic doit passer la finale» parle de différents élèves dans différents mondes possibles. Si Sussie avait pris le cours, l'expression aurait été à son sujet. Mais elle a décidé de ne pas suivre le cours, donc en fait il ne s'agit pas d'elle. (Kp) est une abréviation pour "quelqu'un sait à un moment donné que (p)". Ainsi, (Kp) est quantifié implicitement. Explicitement, il lit (existe x / existe t (Kxpt),) qui dit qu'il y a un être (x) et un temps (t) tels que (x) sache que (p) à (t). Par conséquent, pour ce compte, l'expression quantifiée que (Kp) abrège est non rigide.(existe x / existe t (Kxpt)) concerne des êtres et des temps différents dans différents contextes modaux. Par exemple, l'expression (existe x / existe t (Kxpt)) concerne les êtres et les temps réels. Mais intégré dans un contexte modal, par exemple, (Diamond / existe x / existe t (Kxpt),) l'expression concerne des êtres et des temps possibles. Il dit: "Il y a un monde possible dans lequel il y a un être (x) et un temps (t) tels que (x) sache que (p) en (t))."

Considérons maintenant l'instance pertinente de la thèse de non-omniscience de Fitch: (p / wedge / neg Kp). Non abrégé, il lit, (p / wedge / neg / existe x / existe t (Kxpt),) qui dit que (p) est vrai mais personne ne sait jamais que (p). L'expression quantifiée est, de ce point de vue, un désignateur non rigide. Prononcé dans le monde réel, il s'agit d'êtres et de temps réels. Mais, soutient-on, enchâssée dans la portée d'un opérateur de possibilité, la désignation varie pour concerner des êtres et des temps possibles. Quand Fitch a substitué la vraie conjonction, (p / wedge / neg / exists x / exists t (Kxpt),) pour (p) dans le principe de connaissabilité, il a substitué (p) un désignateur non rigide, modifiant ainsi la référence de la conjonction et perpétrant une erreur modale.

Alternativement, suggère Kvanvig, nous pouvons caractériser (Kp) de manière rigide pour dire: 'il y a un être réel (x) et un temps réel (t) tel qu'il est connu par (x) en (t) que (p). ' Puisque cette expression désigne de manière rigide (c'est-à-dire qu'elle fait référence au monde réel quel que soit le contexte modal dans lequel elle apparaît), elle peut se substituer à (p) dans le principe de connaissabilité. La conjonction réinterprétée ne change pas sa désignation lorsqu'elle est intégrée dans la portée de (Diamond). De plus, à cette lecture de la conjonction, le paradoxe se dissout. Il est possible de savoir que la conjonction réinterprétée est vraie. Il n'y a pas de contradiction à supposer qu'un être possible à un moment donné sait que (p) est vrai mais jamais connu d'un être réel à un moment réel. Le paradoxe se dissout.

Une discussion plus approfondie des erreurs modales et des déclarations non rigides apparaît dans Brogaard et Salerno (2008) et Kennedy (2014).

4.4 Problèmes de non-rigidité

Williamson (2000b) défend le raisonnement de Fitch contre l'accusation de Kvanvig. Il suggère que Kvanvig n'a aucune raison de penser que la conjonction de Fitch (p / coin / neg / existe x / existe t (Kxpt)) ne désigne pas de manière rigide. La raison invoquée par Williamson est la suivante. Une expression est non rigide si, lorsqu'elle est prononcée dans un contexte fixe, elle varie sa référence en fonction des circonstances dans lesquelles elle est évaluée. Mais Kvanvig ne donne aucune raison convaincante de penser que la conjonction de Fitch, telle qu'énoncée dans un contexte fixe, varie sa référence de cette manière. Au mieux, Kvanvig a montré que la conjonction varie sa référence lorsqu'elle est prononcée dans différents contextes, car son argument est qu'une phrase quantifiée, lorsqu'elle est prononcée dans différents mondes, concernera différents objets. Pour penser que cela suffit pour la non-rigidité, Williamson se plaint,est de confondre non-rigidité et indexicalité. Surtout, l'indexicalité n'implique pas de non-rigidité. Par exemple, «je suis fatigué» parle de moi et continue de l'être lorsque j'évalue sa valeur de vérité dans des circonstances contrefactuelles. La phrase aurait pu être fausse. Si j'avais suffisamment dormi, je ne serais pas fatigué. Prononcé dans un contexte fixe, «je» désigne de manière rigide, même s'il s'agit d'un indexical. Autrement dit, même si cela avait été prononcé dans un contexte différent par quelqu'un d'autre, cela aurait été à propos de quelqu'un d'autre que moi. De manière analogue, même si les expressions quantifiées sont indexicales, il ne s'ensuit pas qu'elles ne soient pas rigides. Et donc, même si la conjonction de Fitch est une expression indexicale, on ne nous a pas donné de raison de penser qu'elle est non rigide. Si cela est correct,alors nous n'avons aucune raison de penser que Fitch a commis l'erreur modale en question.

Kvanvig (2006) répond et développe d'autres thèmes intéressants dans le Knowability Paradox, qui est la seule monographie à ce jour consacrée à ce sujet.

5. Restrictions syntaxiques

Les stratégies de restriction précédentes impliquaient des raisons sémantiques pour limiter la quantification universelle. Dans ces cas, KP était limité à la lumière de considérations sur les situations, les mondes possibles ou la désignation rigide. Un autre type de stratégie de restriction est syntaxique. Elle limite la portée de la quantification universelle aux formules qui ont une certaine forme logique ou se situent dans une certaine relation de prouvabilité. Plus généralement, [p / rightarrow / Diamond Kp, / text {où} p / text {a la propriété logique} F.)

(F) devrait alors être une propriété logique qui restreint le quantificateur d'une manière raisonnée.

5.1 Déclarations cartésiennes

Tennant (1997) se concentre sur la propriété d'être cartésien: une déclaration (p) est cartésienne si et seulement si (Kp) n'est pas incontestablement incohérente. En conséquence, il restreint le principe de la connaissabilité aux énoncés cartésiens. Appelez ce principe de connaissance restreinte T-knowability ou TKP:

) tag {TKP} p / rightarrow / Diamond Kp, / text {où} p / text {est cartésien.})

Remarquez que la connaissance-T est libre des paradoxes dont nous avons discuté. Il est libre du paradoxe de Fitch et du paradoxe d'indécision qui y est associé. Pour les deux résultats, remplacez la conjonction problématique Fitch, (p / wedge / neg Kp), pour la variable dans (p / rightarrow / Diamond Kp), en nous donnant ((p / wedge / neg Kp) rightarrow / Diamant K (p / coin / neg Kp)). Autrement dit, ils exigent que (p / wedge / neg Kp) soit connaissable si vrai (ligne 2 du résultat de Fitch). Mais (p / wedge / neg Kp) n'est pas cartésien, puisque (K (p / wedge / neg Kp)) est manifestement incohérent (entraînant la contradiction à la ligne 6 du résultat de Fitch). En effet, TKP offre la restriction la plus tolérante nécessaire pour interdire la substitution gênante. Car il interdit seulement de substituer les déclarations dont il est logiquement impossible de connaître.

5.2 Déclarations de base

Dummett (2001) convient que l'erreur du théoricien de la connaissabilité consiste à fournir une couverture, plutôt qu'un principe de connaissabilité restreint. Et il convient que la restriction doit être syntaxique. Dummett limite le principe de la connaissance aux déclarations «de base» et caractérise la vérité de manière inductive à partir de là. Pour Dummett,) begin {array} {ll} p & / text {iff} Diamond Kp, / text {où} p / text {est basique.} / p / text {et} q & / text {iff} p / wedge q; \\ p / text {ou} q & / text {iff} p / vee q; \\ / text {si} p / text {alors} q & / text {iff} p / rightarrow q; \\ / text {ce n'est pas le cas que} p & / text {iff} neg p; \\ F) text {Quelque chose}] & / text {iff} existe x F [x]; \\ F) text {Tout}] & / text {iff} forall x F [x], / end {tableau})

où la constante logique sur le côté droit de chaque clause biconditionnelle est comprise comme soumise aux lois de la logique intuitionniste.

Le principe de connaissabilité de Dummett ou DKP, comme celui de Tennant, n'est pas menacé par les paradoxes de la connaissabilité, et pour la même raison. Elle restreint la classe des déclarations soumises à la connaissance. Pour le cas de Dummett, la conjonction problématique de Fitch, (p / wedge / neg Kp), étant composée, et donc non basique, ne peut pas remplacer la variable dans (p / rightarrow / Diamond Kp). Le paradoxe est par conséquent évité.

5.3 Problèmes pour les restrictions syntaxiques

Les mérites relatifs de ces deux restrictions sont évalués par Tennant (2002). La restriction de Tennant est la moins exigeante des deux, car elle interdit uniquement la substitution des déclarations qui sont logiquement inconnaissables, et donc, uniquement celles qui sont responsables des paradoxes. La restriction de Dummett, par comparaison, empêche non seulement la substitution de ces propositions, mais aussi la substitution de propositions logiquement complexes qui sont clairement connaissables. Tennant souligne également que si le principe de connaissabilité est la principale motivation anti-réaliste pour réviser la logique classique, restreindre ce principe aux déclarations de base peut saper les arguments contre un traitement classique des déclarations complexes.

Les principales objections aux stratégies de restriction relèvent de deux camps. Dans le premier camp, nous trouvons la charge qu'une restriction syntaxique donnée sur le principe de la connaissabilité n'est pas fondée sur des principes. Du second camp surgissent des formulations de paradoxes de type Fitch qui ne sont pas évités par les restrictions syntaxiques sur la vérité connaissable.

Dès le premier camp, Hand et Kvanvig (1999) protestent que le TKP n'a pas été restreint de manière raisonnée - en fait, qu'on ne nous a donné aucune raison valable, autre que la menace de paradoxe, de restreindre le principe aux déclarations cartésiennes. (Une affirmation analogue peut être faite au DKP de Dummett.) Tennant (2001b) répond à Hand et Kvanvig avec une discussion générale sur l'admissibilité des restrictions dans la pratique de l'analyse conceptuelle et de la clarification philosophique. En établissant des analogies entre sa propre restriction et d'autres qui sont clairement admissibles, il soutient que la restriction cartésienne n'est pas ad hoc. Il souligne également que TKP, plutôt que le KP illimité, sert de point de discorde le plus intéressant entre le réaliste sémantique et l'anti-réaliste. Le réaliste pense qu'il est possible que la vérité soit en principe inconnaissable. Le raisonnement de Fitch, au mieux, nous montre qu'il y a une inconnaissabilité structurelle, c'est-à-dire une inconnaissabilité qui est fonction de seules considérations logiques. Mais y a-t-il un type plus substantiel d'inconnaissabilité, par exemple, l'inconnaissabilité qui est fonction de la reconnaissance-transcendance du sujet non logique? Un réaliste décriant la nature ad hoc du TKP (ou DKP) ne parvient pas à engager le théoricien de la connaissabilité au cœur du débat sur le réalisme.l'inconnaissabilité qui est fonction de la reconnaissance-transcendance du sujet non logique? Un réaliste décriant la nature ad hoc du TKP (ou DKP) ne parvient pas à engager le théoricien de la connaissabilité au cœur du débat sur le réalisme.l'inconnaissabilité qui est fonction de la reconnaissance-transcendance du sujet non logique? Un réaliste décriant la nature ad hoc du TKP (ou DKP) ne parvient pas à engager le théoricien de la connaissabilité au cœur du débat sur le réalisme.

D'autres plaintes selon lesquelles la stratégie de restriction de Tennant n'est pas fondée sur des principes figurent dans DeVidi et Kenyon (2003) et Hand (2003). Hand offre un moyen de restreindre la connaissance de manière raisonnée.

Ces préoccupations peuvent être levées en remarquant des versions du paradoxe qui ne violent pas les restrictions proposées sur le principe de la connaissabilité. Williamson (2000a) nous demande de considérer le paradoxe suivant. Soit (p) la phrase décidable "Il y a un fragment de poterie romaine à cet endroit." Désignons (n) de manière rigide le nombre de livres actuellement sur mon bureau. Soit (E) le prédicat «est pair». Williamson construit la conjonction, [p / wedge (Kp / rightarrow En),)

et soutient qu'il est cartésien. Le savoir, apparemment, n'entraîne pas de contradiction. S'il a raison, nous pouvons lui appliquer TKP, en donnant

((p / wedge (Kp / rightarrow En)) rightarrow / Diamond K (p / wedge (Kp / rightarrow En)))

De plus, si (p) est vrai et (Kp) est faux, alors la conjonction de Williamson est vraie. Alors,

((p / wedge / neg Kp) rightarrow (p / wedge (Kp / rightarrow En)))

Les lignes (1) et (2) donnent

((p / wedge / neg Kp) rightarrow / Diamond K (p / wedge (Kp / rightarrow En)))

En acceptant les modestes ressources épistémiques trouvées dans le raisonnement de Fitch, on peut prouver le théorème suivant:

(K (p / wedge (Kp / rightarrow En)) rightarrow En)

Voici pourquoi. Une conjonction n'est connue que si ses conjoints sont connus. Donc, si (K (p / wedge (Kp / rightarrow En))), alors (Kp). Et seules les vérités peuvent être connues. Donc, si (K (p / wedge (Kp / rightarrow En))), alors (Kp / rightarrow En). Bien sûr, (Kp) et (Kp / rightarrow En) impliquent conjointement (En). Donc le théorème 4 est valide, si les ressources épistémiques de Fitch le sont. Maintenant, 4 est un théorème, et c'est le cas dans tous les mondes possibles. Donc son conséquent est possible si son antécédent est possible:

(Diamond K (p / wedge (Kp / rightarrow En)) rightarrow / Diamond En)

Des lignes 3 et 5 nous dérivons

((p / wedge / neg Kp) rightarrow / Diamond En)

Puisque (n) désigne de manière rigide, il n'est pas contingent que (n) soit pair. Il s'ensuit alors que la ligne 6 donne

((p / wedge / neg Kp) rightarrow En)

Un argument analogue remplaçant «impair» par «pair» nous donne

((p / wedge / neg Kp) rightarrow / neg En)

Mais alors nous avons une contradiction reposant sur la conjonction de TKP et Fitch, (p / wedge / neg Kp). Le résultat implique des substitutions de (p / wedge (Kp / rightarrow En)) et (p / wedge (Kp / rightarrow / neg En)) pour (p) dans TKP, mais Williamson soutient que ni l'un ni l'autre ne viole le Restriction cartésienne. Paradoxe regagné.

Tennant (2001a) conteste l'affirmation de Williamson selon laquelle (p / wedge (Kp / rightarrow En)) est cartésien. Dans le cas où (n) est impair, (En) exprime un mensonge nécessaire (par exemple, «13 est pair»). Mais alors, la ligne 4 nous dit que (K (p / wedge (Kp / rightarrow En))) implique quelque chose qui est nécessairement faux. Et si la fausseté de «13 est pair» est une question de nécessité logique, alors (p / wedge (Kp / rightarrow En)) ne peut pas être connu de manière cohérente et n'est donc pas cartésien. Par conséquent, lorsque (n) est impair, la première partie de la preuve de Williamson (impliquant le prédicat «est pair») viole en fait la restriction cartésienne. En revanche, la conjonction de Williamson est cartésienne lorsque (En) est vrai. Mais, de manière analogue, si la vérité de (En) est une question de nécessité logique,alors (p / wedge (Kp / rightarrow / neg En)) ne peut pas être connu de manière cohérente et n'est donc pas cartésien. Par conséquent, lorsque (n) est pair, la deuxième partie de la preuve de Williamson (impliquant le prédicat «est impair») viole la restriction cartésienne. Quoi qu'il en soit, soutient Tennant, Williamson n'a pas montré que TKP était un traitement inadéquat du paradoxe de Fitch.

Le débat se poursuit dans Williamson (2009) et Tennant (2010).

Brogaard et Salerno (2002) développent d'autres paradoxes de type Fitch contre les stratégies de restriction. Notez que le principe de connaissance de Dummett est biconditionnel: (p / leftrightarrow / Diamond Kp), où (p) est basique. Tennant (2002) convient que le principe de connaissabilité devrait préserver la nature factive de (Diamond) K. Ainsi, Brogaard et Salerno partent du principe de connaissance renforcée suivant:

) begin {align} tag {SKP} p / leftrightarrow / Diamond Kp, \, & / text {où} p / text {satisfait la} & / text {condition syntaxique pertinente} end {align}]

De plus, en attendant une discussion plus approfondie de la logique de (K), il n'est pas invraisemblable que le théoricien de la connaissabilité intuitionniste veuille valider le principe KK:

) tag {KK} Box (Kp / rightarrow KKp).)

Le principe dit, nécessairement, si (p) est connu, alors on sait que (p) est connu. Une autre ressource est utilisée, à savoir le principe de clôture qui dit que l'antécédent d'un conditionnel nécessaire n'est possible que si le conséquent est possible.

Si ces engagements sont accordés, on peut tirer le résultat de Fitch sans violer la restriction cartésienne de Tennant:

) begin {array} {lll} 1. & p / wedge / neg Kp & / text {Hypothèse (conjonction Fitch)} / 2. & Kp / rightarrow KKp & / text {from KK} / 3. & p / rightarrow / Diamond Kp & / text {de SKP (de gauche à droite)} / 4. & / Diamond Kp & / text {de 1 et 3} / 5. & / Diamond KKp & / text {de 4 et 2, par fermeture} / 6. & / Diamond KKp / rightarrow Kp & / text {de SKP (de droite à gauche)} / 7. & Kp & / text {de 5 et 6} / 8. & Kp / wedge / neg Kp & / text {de 1 et 7} end {array})

SKP est appliqué aux lignes 3 et 6 à (p) et (Kp), respectivement. Et ces substituants ne violent pas la restriction cartésienne. Ni (Kp), ni (KKp), ne sont auto-contradictoires. Néanmoins, l'anti-réaliste est forcé, absurdement, d'admettre qu'aucune vérité n'est inconnue.

On peut soutenir que ce résultat menace également le principe de connaissance restreinte de Dummett. Mais cela dépend si nous avons appliqué le principe uniquement aux déclarations de base. (p) est basique, mais la caractérisation de la vérité par Dummett sous-détermine le statut de (Kp). Peut-être est-ce basique, puisque (Kp) n'est pas vraiment complexe fonctionnellement. Néanmoins, le problème ne peut être résolu sans une discussion sur (K).

Brogaard et Salerno démontrent d'autres paradoxes contre les stratégies de restriction. Ces résultats supplémentaires ne présupposent pas un engagement envers le principe KK. Ils reposent en fin de compte sur l'interprétation de (Diamond) par le théoricien de la connaissabilité. Lorsque (Diamond) est une possibilité métaphysique ou régie par une logique au moins aussi forte que S4, le principe de la forte connaissabilité (restreint de manière appropriée), et pris comme une thèse nécessaire, implique qu'il n'y a pas de vérités inconnues. Lorsque (Diamond) est une possibilité épistémique et que le principe de la connaissabilité est traité comme une thèse nécessaire connue, le principe de la connaissabilité implique que, nécessairement, il n'y a pas d'énoncés indécis. Contrairement aux paradoxes d'indécision de Wright (1987), Williamson (1988) et Percival (1990),le raisonnement fourni par Brogaard et Salerno ne viole pas la restriction cartésienne de Tennant. Une réponse à Brogaard et Salerno apparaît dans Rosenkranz (2004). Une discussion plus approfondie de la restriction cartésienne apparaît dans Brogaard et Salerno (2006, 2008). Tennant (2009) est un développement ultérieur et une défense de la stratégie cartésienne. Une défense de la stratégie de restriction apparaît dans Fischer (2013).

Une grande partie de ce qui a été écrit sur le paradoxe de la connaissabilité se présente sous la forme de tentatives pour exprimer la forme pertinente d'anti-réalisme sans paradoxe. Les propositions incluent Chalmers (2012), Dummett (2009), Edgington (2010), Fara (2010), Hand (2009, 2010), Jenkins (2005), Kelp et Pritchard (2009), Linsky (2009), Hudson (2009), Restall (2009), Tennant (2009), Alexander (2013), Dean et Kurokawa (2010), Proietti (2016).

Chalmers (2002, 2012: chap. 2), par exemple, défend l'idée que, avec suffisamment d'informations qualitatives sur le monde, nous pourrions en principe connaître la valeur de vérité de toute affirmation. Plus précisément, sa thèse de scrutabilité dit, si (D) est une description qualitative complète du monde, alors pour tout (T), il est connaissable a priori que (D) (matériellement) implique (T). Surtout, le paradoxe de la connaissabilité ne menace pas l'affirmation selon laquelle les vraies conjonctions de Fitch sont dérivables a priori d'une description complète du monde.

Dummett considère que (forall p (p / rightarrow / neg / neg Kp)) est la meilleure expression de sa marque d'anti-réalisme et embrasse ses conséquences intuitionnistes à bras ouverts. Edgington défend son principe de connaissabilité (c'est-à-dire, si en fait (p), alors il est possible de savoir qu'en fait (p)) en plaçant le cas pour une certaine connaissabilité trans-mondaine-spécifiquement, dans les cas où le simple connaisseur possible partage l'histoire causale pertinente avec le monde réel. Hand défend l'anti-réalisme en soulignant la distinction entre un type de vérification et ses performances symboliques, et soutient que l'existence d'un type de vérification n'implique pas son performabilité. La leçon à tirer est que l'anti-réaliste devrait penser à la vérité moins en termes de performabilité des procédures de vérification et plus en termes d'existence de types de vérification. Et Linsky régimente les principes épistémiques et le raisonnement avec une théorie des types. Les débats entourant la caractérisation appropriée de l'anti-réalisme sémantique vont bien au-delà de la portée de cette entrée. Quant à la preuve de la connaissabilité elle-même, il n'y a toujours pas de consensus sur la question de savoir si et où cela va mal.

Les discussions de niche sur le paradoxe qui ne s'intègrent pas bien dans l'une des sections ci-dessus comprennent le nouveau paradoxe du bonheur de Salerne (2018); L'argument de Kvanvig (2010) selon lequel le paradoxe menace le christianisme lui-même en raison de sa doctrine de l'incarnation du Christ; et l'argument de Cresto (2017) selon lequel le paradoxe de la connaissabilité soulève des doutes sur le principe de réflexion en tant qu'exigence de rationalité.

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Autres ressources Internet

  • Page de documentation d'archives (répertorie les documents inédits entre 1945 et 1963 sur le paradoxe de Fitch)
  • Nouveaux essais sur le paradoxe de la connaissance (page du sommaire)

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