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Programme de Hilbert

Publié pour la première fois le 31 juillet 2003; révision de fond ven 24 mai 2019

Au début des années 1920, le mathématicien allemand David Hilbert (1862–1943) a présenté une nouvelle proposition pour la fondation des mathématiques classiques qui est devenue connue sous le nom de programme de Hilbert. Il appelle à une formalisation de toutes les mathématiques sous forme axiomatique, avec la preuve que cette axiomatisation des mathématiques est cohérente. La preuve de cohérence elle-même devait être effectuée en utilisant uniquement ce que Hilbert appelait des méthodes «finitaires». Le caractère épistémologique particulier du raisonnement finitaire donne alors la justification requise des mathématiques classiques. Bien que Hilbert n'ait proposé son programme sous cette forme qu'en 1921, diverses facettes de celui-ci sont enracinées dans les travaux fondamentaux de son histoire remontant aux environs de 1900, date à laquelle il a pour la première fois souligné la nécessité de donner une preuve de cohérence directe de l'analyse. Les travaux sur le programme ont considérablement progressé dans les années 1920 grâce aux contributions de logiciens tels que Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann et Jacques Herbrand. Ce fut aussi une grande influence sur Kurt Gödel, dont les travaux sur les théorèmes d'incomplétude étaient motivés par le programme de Hilbert. Le travail de Gödel est généralement considéré comme montrant que le programme de Hilbert ne peut pas être exécuté. Il a néanmoins continué à être une position influente dans la philosophie des mathématiques et, à commencer par les travaux de Gerhard Gentzen dans les années 1930, les travaux sur les programmes de Hilbert relativisés ont été au cœur du développement de la théorie de la preuve.dont les travaux sur les théorèmes d'incomplétude ont été motivés par le programme de Hilbert. Le travail de Gödel est généralement considéré comme montrant que le programme de Hilbert ne peut pas être exécuté. Il a néanmoins continué à être une position influente dans la philosophie des mathématiques et, à commencer par les travaux de Gerhard Gentzen dans les années 1930, les travaux sur les programmes de Hilbert relativisés ont été au cœur du développement de la théorie de la preuve.dont les travaux sur les théorèmes d'incomplétude ont été motivés par le programme de Hilbert. Le travail de Gödel est généralement considéré comme montrant que le programme de Hilbert ne peut pas être exécuté. Il a néanmoins continué à être une position influente dans la philosophie des mathématiques et, à commencer par les travaux de Gerhard Gentzen dans les années 1930, les travaux sur les programmes de Hilbert relativisés ont été au cœur du développement de la théorie de la preuve.

  • 1. Développement historique du programme de Hilbert

    • 1.1 Premiers travaux sur les fondations
    • 1.2 L'influence de Principia Mathematica
    • 1.3 Le finitisme et la recherche de preuves de cohérence
    • 1.4 L'impact des théorèmes d'incomplétude de Gödel
  • 2. Le point de vue finitaire

    • 2.1 Objets finitaires et épistémologie finitiste
    • 2.2 Propositions finitairement significatives et raisonnement finitaire
    • 2.3 Opérations finitaires et preuve finale
  • 3. Formalisme, réductionnisme et instrumentalisme
  • 4. Programme de Hilbert et théorèmes d'incomplétude de Gödel
  • 5. Programmes Hilbert révisés
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Développement historique du programme de Hilbert

1.1 Premiers travaux sur les fondations

Le travail de Hilbert sur les fondements des mathématiques a ses racines dans son travail sur la géométrie des années 1890, culminant dans son manuel influent Foundations of Geometry (1899) (voir 19e siècle Geometry). Hilbert croyait que la bonne façon de développer tout sujet scientifique exigeait rigoureusement une approche axiomatique. En fournissant un traitement axiomatique, la théorie serait développée indépendamment de tout besoin d'intuition, et elle faciliterait une analyse des relations logiques entre les concepts de base et les axiomes. La recherche de l'indépendance et, surtout, de la cohérence des axiomes est d'une importance fondamentale pour un traitement axiomatique. Pour les axiomes de la géométrie, la cohérence peut être prouvée en fournissant une interprétation du système dans le plan réel, et donc,la cohérence de la géométrie se réduit à la cohérence de l'analyse. Le fondement de l'analyse, bien sûr, nécessite lui-même une axiomatisation et une preuve de cohérence. Hilbert a fourni une telle axiomatisation dans (1900b), mais il est apparu très vite que la cohérence de l'analyse se heurtait à des difficultés importantes, notamment parce que la manière privilégiée de fonder l'analyse dans les travaux de Dedekind reposait sur des hypothèses douteuses proches de celles qui conduisent aux paradoxes de la théorie des ensembles et au paradoxe de Russell dans les fondements de Frege de l'arithmétique.en particulier parce que la manière privilégiée de fournir une base d'analyse dans le travail de Dedekind reposait sur des hypothèses douteuses semblables à celles qui conduisent aux paradoxes de la théorie des ensembles et au paradoxe de Russell dans la fondation de l'arithmétique de Frege.en particulier parce que la manière privilégiée de fournir une base d'analyse dans le travail de Dedekind reposait sur des hypothèses douteuses semblables à celles qui conduisent aux paradoxes de la théorie des ensembles et au paradoxe de Russell dans la fondation de l'arithmétique de Frege.

Hilbert s'est ainsi rendu compte qu'une preuve d'analyse de cohérence directe, c'est-à-dire non basée sur la réduction à une autre théorie, était nécessaire. Il a proposé le problème de trouver une telle preuve comme le deuxième de ses 23 problèmes mathématiques dans son discours au Congrès international des mathématiciens en 1900 (1900a) et a présenté une esquisse d'une telle preuve dans son discours de Heidelberg (1905). Plusieurs facteurs ont retardé le développement ultérieur du programme fondamental de Hilbert. L'une était peut-être la critique de Poincaré (1906) contre ce qu'il considérait comme une utilisation vicieusement circulaire de l'induction dans la preuve de cohérence esquissée de Hilbert (voir Steiner 1975, Annexe). Hilbert s'est également rendu compte que les investigations axiomatiques nécessitaient un formalisme logique bien élaboré. A l'époque, il s'appuyait sur une conception de la logique basée sur la tradition algébrique, en particulier sur l'œuvre de Schröder,ce qui n'était pas particulièrement adapté comme formalisme pour l'axiomatisation des mathématiques. (Voir Peckhaus 1990 sur le développement précoce du programme de Hilbert.)

1.2 L'influence de Principia Mathematica

La publication de Principia Mathematica de Russell et Whitehead a fourni la base logique requise pour une nouvelle attaque sur les questions fondamentales. À partir de 1914, l'élève de Hilbert Heinrich Behmann et d'autres ont étudié le système de Principia (voir Mancosu 1999 sur le rôle de Behmann dans l'école de Hilbert). Hilbert lui-même retourna au travail sur les questions fondamentales en 1917. En septembre 1917, il prononça une allocution à la Société mathématique suisse intitulée «Axiomatic Thought» (1918a). Il s'agit de sa première contribution publiée aux fondements mathématiques depuis 1905. Il y insiste à nouveau sur l'exigence de preuves de cohérence pour les systèmes axiomatiques: «La principale exigence de la théorie des axiomes doit aller plus loin [que d'éviter simplement les paradoxes connus], à savoir,pour montrer que dans chaque domaine de connaissance, les contradictions basées sur le système axiome sous-jacent sont absolument impossibles. Il pose à nouveau la preuve de la cohérence de l'arithmétique (et de la théorie des ensembles) comme les principaux problèmes ouverts. Dans ces deux cas, il ne semble y avoir rien de plus fondamental disponible auquel la cohérence pourrait être réduite autre que la logique elle-même. Et Hilbert pensa alors que le problème avait été essentiellement résolu par le travail de Russell en Principia. Néanmoins, d'autres problèmes fondamentaux de l'axiomatique sont restés non résolus, y compris le problème de la «décidabilité de chaque question mathématique», qui remonte également à l'adresse de Hilbert en 1900.il ne semble y avoir rien de plus fondamental disponible auquel la cohérence pourrait être réduite autre que la logique même. Et Hilbert pensa alors que le problème avait été essentiellement résolu par le travail de Russell en Principia. Néanmoins, d'autres problèmes fondamentaux de l'axiomatique sont restés non résolus, y compris le problème de la «décidabilité de chaque question mathématique», qui remonte également à l'adresse de Hilbert en 1900.il ne semble y avoir rien de plus fondamental disponible auquel la cohérence pourrait être réduite autre que la logique même. Et Hilbert pensa alors que le problème avait été essentiellement résolu par le travail de Russell en Principia. Néanmoins, d'autres problèmes fondamentaux de l'axiomatique sont restés non résolus, y compris le problème de la «décidabilité de chaque question mathématique», qui remonte également à l'adresse de Hilbert en 1900.

Ces problèmes non résolus d'axiomatique ont conduit Hilbert à consacrer des efforts importants à travailler sur la logique dans les années suivantes. En 1917, Paul Bernays le rejoint comme assistant à Göttingen. Dans une série de cours de 1917 à 1921, Hilbert, avec l'aide de Bernays et Behmann, apporta de nouvelles contributions significatives à la logique formelle. Le cours de 1917 (Hilbert, 1918b), en particulier, contient un développement sophistiqué de la logique du premier ordre et forme la base du manuel de Hilbert et Ackermann, Principles of Theoretical Logic (1928) (voir Ewald et Sieg 2013, Sieg 1999, et Zach 1999, 2003).

1.3 Le finitisme et la recherche de preuves de cohérence

Dans les années qui suivirent, cependant, Hilbert en vint à rejeter la solution logiciste de Russell au problème de cohérence pour l'arithmétique. Dans le même temps, les mathématiques intuitionnistes de Brouwer gagnent du terrain. En particulier, l'ancien élève d'Hilbert, Hermann Weyl, s'est converti à l'intuitionnisme. L'article de Weyl «La nouvelle crise fondamentale des mathématiques» (1921) a été répondu par Hilbert lors de trois conférences à Hambourg au cours de l'été 1921 (1922b). Ici, Hilbert a présenté sa propre proposition de solution au problème de la fondation des mathématiques. Cette proposition intégrait les idées de Hilbert de 1904 concernant les preuves de cohérence directe, sa conception des systèmes axiomatiques, ainsi que les développements techniques dans l'axiomatisation des mathématiques dans le travail de Russell ainsi que les développements ultérieurs réalisés par lui et ses collaborateurs. Ce qui était nouveau, c'était la manière dont Hilbert voulait donner à son projet de cohérence la signification philosophique nécessaire pour répondre aux critiques de Brouwer et Weyl: le point de vue finitaire.

Selon Hilbert, il y a une partie privilégiée des mathématiques, la théorie des nombres élémentaire de contenu, qui ne repose que sur «une base purement intuitive de signes concrets». Alors que le fonctionnement avec des concepts abstraits était considéré comme «inadéquat et incertain», il existe un domaine

objets discrets extra-logiques, qui existent intuitivement comme expérience immédiate avant toute pensée. Si l'inférence logique doit être certaine, alors ces objets doivent pouvoir être complètement examinés dans toutes leurs parties, et leur présentation, leur différence, leur succession (comme les objets eux-mêmes) doivent exister pour nous immédiatement, intuitivement, comme quelque chose qui ne peut être réduit à autre chose. (Hilbert 1922b, 202; le passage est répété presque textuellement dans Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 et Hilbert 1931b, 267)

Ces objets étaient, pour Hilbert, des signes. Le domaine de la théorie contentuelle des nombres est constitué des nombres finitaires, c'est-à-dire des séquences de traits. Celles-ci n'ont aucune signification, c'est-à-dire qu'elles ne représentent pas des objets abstraits, mais elles peuvent être opérées (par exemple, concaténées) et comparées. La connaissance de leurs propriétés et relations est intuitive et sans intermédiaire par inférence logique. La théorie contentuelle des nombres développée de cette manière est sûre, selon Hilbert: aucune contradiction ne peut survenir simplement parce qu'il n'y a pas de structure logique dans les propositions de la théorie contentuelle des nombres.

Les opérations intuitives-contentuelles avec des signes forment la base de la métamathématique de Hilbert. Tout comme la théorie contentuelle des nombres opère avec des séquences de traits, la métamathématique opère avec des séquences de symboles (formules, preuves). Les formules et les preuves peuvent être manipulées syntaxiquement, et les propriétés et les relations des formules et des preuves sont également basées sur une capacité intuitive sans logique qui garantit la certitude de la connaissance des formules et des preuves obtenues par de telles opérations syntaxiques. Les mathématiques elles-mêmes, cependant, fonctionnent avec des concepts abstraits, par exemple, des quantificateurs, des ensembles, des fonctions, et utilisent l'inférence logique basée sur des principes tels que l'induction mathématique ou le principe du milieu exclu. Ces «formations conceptuelles» et ces modes de raisonnement avaient été critiqués par Brouwer et d'autres au motif qu'ils présupposaient des totalités infinies comme données, ou qu'ils impliquaient des définitions imprédicatives (considérées par les critiques comme vicieusement circulaires). L'objectif de Hilbert était de justifier leur utilisation. À cette fin, il a souligné qu'elles peuvent être formalisées dans des systèmes axiomatiques (comme celui de Principia ou ceux développés par Hilbert lui-même), et les propositions et preuves mathématiques se transforment ainsi en formules et dérivations d'axiomes selon des règles de dérivation strictement circonscrites. Les mathématiques, selon Hilbert, «deviennent un inventaire de formules prouvables». De cette manière, les preuves des mathématiques sont soumises à une enquête métamathématique et contentuelle. Le but du programme de Hilbert est alors de donner un contenu,preuve métamathématique qu'il ne peut y avoir de dérivation d'une contradiction, c'est-à-dire de dérivations formelles d'une formule (A) et de sa négation (neg A).

Cette esquisse des objectifs du programme a été étoffée par Hilbert et ses collaborateurs au cours des 10 années suivantes. Sur le plan conceptuel, le point de vue fini et la stratégie pour une preuve de cohérence ont été élaborés par Hilbert (1928); Hilbert (1923); Hilbert (1926) et Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), dont l'article de Hilbert «Sur l'infini» (1926) fournit l'élaboration la plus détaillée du point de vue finitaire. Outre Hilbert et Bernays, un certain nombre d'autres personnes ont participé aux travaux techniques du programme. Dans des conférences données à Göttingen (Hilbert et Bernays, 1923; Hilbert, 1922a), Hilbert et Bernays ont développé le (varepsilon) - calcul comme formalisme définitif pour les systèmes d'axiomes pour l'arithmétique et l'analyse. Hilbert y a également présenté son approche pour donner des preuves de cohérence en utilisant sa méthode dite de substitution (varepsilon). Ackermann (1924) a tenté d'étendre l'idée de Hilbert à un système d'analyse. La preuve était cependant erronée (voir Zach 2003). John von Neumann, alors en visite à Göttingen, a donné une preuve de cohérence corrigée pour un système du (varepsilon) - formalisme (qui, cependant, n'incluait pas l'axiome d'induction) en 1925 (publié en 1927). S'appuyant sur les travaux de von Neumann, Ackermann a conçu une nouvelle procédure de substitution (varepsilon) qu'il a communiquée à Bernays (voir Bernays 1928b). Dans son discours «Problèmes de la mise à la terre des mathématiques» au Congrès international des mathématiciens de Bologne en 1928 (1929),Hilbert affirmait avec optimisme que les travaux d'Ackermann et von Neumann avaient établi la cohérence de la théorie des nombres et que la preuve de l'analyse avait déjà été effectuée par Ackermann «dans la mesure où la seule tâche restante consiste en la preuve d'un théorème de finitude élémentaire qui est purement arithmétique. »

1.4 L'impact des théorèmes d'incomplétude de Gödel

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont montré que l'optimisme de Hilbert était indu. En septembre 1930, Kurt Gödel annonça son premier théorème d'incomplétude lors d'une conférence à Königsberg. Von Neumann, qui était dans le public, a immédiatement reconnu l'importance du résultat de Gödel pour le programme de Hilbert. Peu de temps après la conférence, il écrivit à Gödel, lui disant qu'il avait trouvé un corollaire au résultat de Gödel. Gödel avait déjà trouvé le même résultat de manière indépendante: le deuxième théorème d'incomplétude, affirmant que le système de Principia ne prouve pas la formalisation de l'affirmation selon laquelle le système de Principia est cohérent (à condition qu'il soit). On croyait cependant que toutes les méthodes de raisonnement finitaire utilisées dans les preuves de cohérence jusque-là étaient formalisables en Principia. Par conséquent,si la cohérence de Principia était prouvable par les méthodes utilisées dans les preuves d'Ackermann, il devrait être possible de formaliser cette preuve en Principia; mais c'est ce que le deuxième théorème d'incomplétude déclare est impossible. Bernays a également réalisé l'importance des résultats de Gödel immédiatement après avoir étudié l'article de Gödel en janvier 1931, écrivant à Gödel que (sous l'hypothèse que le raisonnement finitaire peut être formalisé en Principia) le théorème d'incomplétude montre qu'une preuve de cohérence finitaire de Principia est impossible. Peu de temps après, von Neumann a montré que la preuve de cohérence d'Ackermann était imparfaite et a fourni un contre-exemple à la procédure de substitution (varepsilon) proposée (voir Zach 2003).mais c'est ce que le deuxième théorème d'incomplétude déclare est impossible. Bernays a également réalisé l'importance des résultats de Gödel immédiatement après avoir étudié l'article de Gödel en janvier 1931, écrivant à Gödel que (sous l'hypothèse que le raisonnement finitaire peut être formalisé en Principia) le théorème d'incomplétude montre qu'une preuve de cohérence finitaire de Principia est impossible. Peu de temps après, von Neumann a montré que la preuve de cohérence d'Ackermann était imparfaite et a fourni un contre-exemple à la procédure de substitution (varepsilon) proposée (voir Zach 2003).mais c'est ce que le deuxième théorème d'incomplétude déclare est impossible. Bernays a également réalisé l'importance des résultats de Gödel immédiatement après avoir étudié l'article de Gödel en janvier 1931, écrivant à Gödel que (sous l'hypothèse que le raisonnement finitaire peut être formalisé en Principia) le théorème d'incomplétude montre qu'une preuve de cohérence finitaire de Principia est impossible. Peu de temps après, von Neumann a montré que la preuve de cohérence d'Ackermann était imparfaite et a fourni un contre-exemple à la procédure de substitution (varepsilon) proposée (voir Zach 2003).écrivant à Gödel que (sous l'hypothèse que le raisonnement finitaire peut être formalisé en Principia) le théorème d'incomplétude montre qu'une preuve de cohérence finitaire de Principia est impossible. Peu de temps après, von Neumann a montré que la preuve de cohérence d'Ackermann était imparfaite et a fourni un contre-exemple à la procédure de substitution (varepsilon) proposée (voir Zach 2003).écrivant à Gödel que (sous l'hypothèse que le raisonnement finitaire peut être formalisé en Principia) le théorème d'incomplétude montre qu'une preuve de cohérence finitaire de Principia est impossible. Peu de temps après, von Neumann a montré que la preuve de cohérence d'Ackermann était imparfaite et a fourni un contre-exemple à la procédure de substitution (varepsilon) proposée (voir Zach 2003).

Dans (1936), Gentzen a publié une preuve de cohérence de l'arithmétique Peano du premier ordre ((PA)). Comme Gödel l'avait montré, la preuve de Gentzen utilisait des méthodes qui ne pouvaient pas être formalisées dans (PA) lui-même, à savoir, l'induction transfinie le long de l'ordinal (varepsilon_0). Le travail de Gentzen marque le début de la théorie de la preuve post-gödelienne et du travail sur les programmes de Hilbert relativisés. La théorie de la preuve dans la tradition de Gentzen a analysé les systèmes axiomatiques selon quelles extensions du point de vue finitaire sont nécessaires pour prouver leur cohérence. Habituellement, la force de cohérence des systèmes a été mesurée par l'ordinal de la théorie de la preuve du système, c'est-à-dire l'induction transfinie ordinale le long de laquelle suffit pour prouver la cohérence. Dans le cas de (PA), cet ordinal est (varepsilon_0). (Pour une discussion plus approfondie,voir l'entrée sur le développement de la théorie de la preuve.)

2. Le point de vue finitaire

La pierre angulaire de la philosophie des mathématiques de Hilbert, et l'aspect substantiellement nouveau de sa pensée fondamentale à partir de 1922b, consistait en ce qu'il appelait le point de vue finitaire. Ce point de vue méthodologique consiste en une restriction de la pensée mathématique aux objets qui sont «intuitivement présents comme expérience immédiate avant toute pensée», et aux opérations et méthodes de raisonnement sur ces objets qui ne nécessitent pas l'introduction de concepts abstraits, en particulier, sans appel à des totalités infinies achevées.

Il y a plusieurs problèmes fondamentaux et interdépendants dans la compréhension du point de vue finitaire de Hilbert:

  1. Quels sont les objets du raisonnement finitaire?
  2. Quelles sont les propositions finitairement significatives?
  3. Quelles sont les méthodes de construction et de raisonnement finalement acceptables?

2.1 Objets finitaires et épistémologie finitiste

Hilbert a caractérisé le domaine du raisonnement finitaire dans un paragraphe bien connu qui apparaît à peu près dans la même formulation dans tous les articles plus philosophiques de Hilbert des années 1920 (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[A] s condition de l'utilisation des inférences logiques et de l'exécution des opérations logiques, il faut déjà donner quelque chose à notre faculté de représentation, certains objets concrets extralogiques qui sont intuitivement présents comme expérience immédiate avant toute pensée. Pour que l'inférence logique soit fiable, il doit être possible d'examiner complètement ces objets dans toutes leurs parties, et le fait qu'ils se produisent, qu'ils diffèrent les uns des autres, et qu'ils se suivent, ou sont concaténés, est immédiatement donné. intuitivement, avec les objets, comme quelque chose qui ne peut être ni réduit à rien d'autre ni à réduire. C'est la position philosophique de base que je considère comme nécessaire pour les mathématiques et, en général, pour toute pensée, compréhension et communication scientifiques. (Hilbert, 1926, 376)

Ces objets sont, pour Hilbert, les signes. Pour le domaine de la théorie contentuelle des nombres, les signes en question sont des chiffres tels que

1, 11, 111, 11111

Il est difficile de répondre à la question de savoir comment Hilbert a compris les chiffres. Ce ne sont pas des objets physiques (coups réels sur papier, par exemple), car il doit toujours être possible d'étendre un nombre en ajoutant un autre trait (et, comme Hilbert le soutient également dans «Sur l'infini» (1926), il est douteux que l'univers physique est infini). Selon Hilbert (1922b, 202), leur «forme peut être généralement et certainement reconnue par nous - indépendamment de l'espace et du temps, des conditions particulières de la production du signe et des différences insignifiantes dans le produit fini». Ce ne sont pas des constructions mentales, puisque leurs propriétés sont objectives, mais leur existence dépend de leur construction intuitive (voir Bernays 1923, 226). Ce qui est clair dans tous les cas, c'est qu'ils sont logiquement primitifs, c'est-à-direce ne sont ni des concepts (comme le sont les nombres de Frege) ni des ensembles. Ce qui importe ici n'est pas principalement leur statut métaphysique (abstrait contre concret au sens courant de ces termes), mais qu'ils n'entrent pas dans des relations logiques, par exemple, ils ne peuvent être fondés sur rien. Dans les présentations les plus matures du finitisme de Bernays (Hilbert et Bernays, 1939; Bernays, 1930), les objets du finitisme sont caractérisés comme des objets formels qui sont générés de manière récursive par un processus de répétition; les symboles de trait sont alors des représentations concrètes de ces objets formels. Dans les présentations les plus matures du finitisme de Bernays (Hilbert et Bernays, 1939; Bernays, 1930), les objets du finitisme sont caractérisés comme des objets formels qui sont générés de manière récursive par un processus de répétition; les symboles de trait sont alors des représentations concrètes de ces objets formels. Dans les présentations les plus matures du finitisme de Bernays (Hilbert et Bernays, 1939; Bernays, 1930), les objets du finitisme sont caractérisés comme des objets formels qui sont générés de manière récursive par un processus de répétition; les symboles de trait sont alors des représentations concrètes de ces objets formels.

La question de savoir ce que Hilbert pensait du statut épistémologique des objets du finitisme est également difficile. Afin de mener à bien la tâche de fournir une base sûre pour les mathématiques infinitistes, l'accès aux objets finitaires doit être immédiat et certain. Le parcours philosophique de Hilbert était largement kantien, tout comme celui de Bernays, qui était étroitement lié à l'école néo-kantienne de philosophie autour de Leonard Nelson à Göttingen. La caractérisation du finitisme par Hilbert fait souvent référence à l'intuition kantienne et aux objets du finitisme en tant qu'objets donnés intuitivement. En effet, dans l'épistémologie de Kant, l'immédiateté est une caractéristique déterminante de la connaissance intuitive. La question est, quel type d'intuition est en jeu? Mancosu (1998b) identifie un changement à cet égard. Il soutient que si l'intuition impliquée dans les premiers articles de Hilbert était une sorte d'intuition perceptive, dans les écrits ultérieurs (par exemple, Bernays 1928a), elle est identifiée comme une forme d'intuition pure au sens kantien. Cependant, à peu près au même moment, Hilbert (1928, 469) identifie toujours le type d'intuition en jeu comme perceptif. Dans (1931b, 266-267), Hilbert voit le mode fini de pensée comme une source distincte de connaissance a priori en plus de l'intuition pure (par exemple de l'espace) et de la raison, affirmant qu'il a «reconnu et caractérisé la troisième source de des connaissances qui accompagnent l'expérience et la logique. » Bernays et Hilbert justifient tous deux la connaissance finitaire en termes largement kantiens (sans toutefois aller jusqu'à fournir une déduction transcendantale), caractérisant le raisonnement finitaire comme le type de raisonnement qui sous-tend tout mathématique,et en effet, scientifique, pensant, et sans lequel une telle pensée serait impossible. (Voir Kitcher 1976 et Parsons 1998 sur l'épistémologie du finitisme, et Patton 2014 pour le contexte historique et philosophique de la théorie des signes de Hilbert.)

2.2 Propositions finitairement significatives et raisonnement finitaire

Les jugements les plus élémentaires sur les nombres finitaires sont ceux sur l'égalité et l'inégalité. De plus, le point de vue fini permet des opérations sur des objets finitaires. Ici, le plus élémentaire est celui de la concaténation. La concaténation des chiffres 11 et 111 est communiquée sous la forme «(2 + 3)» et la déclaration selon laquelle 11 concaténé avec 111 donne le même chiffre que 111 concaténé avec 11 par «(2 + 3 = 3 + 2). » Dans la pratique réelle de la théorie de la preuve, ainsi qu'explicitement dans (Hilbert et Bernays, 1934; Bernays, 1930), ces opérations de base sont généralisées aux opérations définies par récursion, paradigmatiquement, récursivité primitive, par exemple, multiplication et exponentiation (voir Parsons 1998 pour difficultés philosophiques liées à l'exponentiation et 2007 pour une discussion approfondie sur les mathématiques intuitives et le finitisme). De même,Les jugements finitaires peuvent impliquer non seulement l'égalité ou l'inégalité, mais aussi des propriétés décidables de base, telles que «est un premier». Ceci est finalement acceptable tant que la fonction caractéristique d'une telle propriété est elle-même finitaire: par exemple, l'opération qui transforme un nombre en 1 s'il est premier et 11 sinon peut être définie par récursion primitive et est donc finitaire. De telles propositions finitaires peuvent être combinées par les opérations logiques habituelles de conjonction, disjonction, négation, mais aussi quantification bornée. (Hilbert, 1926) donne l'exemple de la proposition selon laquelle «il y a un nombre premier entre (p + 1) et (p! + 1)» où (p) est un certain grand premier. Cette affirmation est finalement acceptable car elle «sert simplement à abréger la proposition» que soit (p + 1) ou (p + 2) ou (p + 3) ou… ou (p! + 1) est un premier.

Les propositions finitaires problématiques sont celles qui expriment des faits généraux sur des nombres tels que celui-ci, pour tout nombre donné (n, 1 + n = n + 1). Elle est problématique car, comme le dit Hilbert, elle «est du point de vue finitiste incapable d'être niée» (1926, 378). Il veut dire par là que la proposition contradictoire selon laquelle il y a un nombre (n) pour lequel (1 + n / ne n + 1) n’a pas de sens au final. «On ne peut pas, après tout, essayer tous les nombres» (1928, 470). Pour la même raison, une proposition générale finitaire ne doit pas être comprise comme une conjonction infinie mais «seulement comme un jugement hypothétique qui vient affirmer quelque chose quand un nombre est donné» (ibid.). Même s'ils sont problématiques en ce sens, les énoncés finitaires généraux sont d'une importance particulière pour la théorie de la preuve de Hilbert,puisque l'énoncé de cohérence d'un système formel (S) est d'une telle forme générale: pour toute suite donnée de formules (P, P) n'est pas une dérivation d'une contradiction dans (S).

2.3 Opérations finitaires et preuve finale

La question de savoir quelles opérations et quels principes de preuve devraient être autorisés du point de vue finitiste est d'une importance cruciale pour la compréhension du finitisme et de la théorie de la preuve de Hilbert. Le fait qu'une réponse générale soit nécessaire ressort clairement des exigences de la théorie de la preuve de Hilbert, c'est-à-dire qu'il ne faut pas s'attendre à ce que, étant donné un système formel de mathématiques (ou même une seule séquence de formules), on puisse «voir» qu'il est cohérent (ou qu'il ne peut pas être une véritable dérivation d'une incohérence) de la manière dont nous pouvons voir, par exemple, que (11 + 111 = 111 + 11). Ce qui est nécessaire pour une preuve de cohérence est une opération qui, étant donné une dérivation formelle, transforme une telle dérivation en une dérivation d'une forme spéciale, plus des preuves que l'opération fait en fait cela et que les preuves de type spécial ne peuvent pas être des preuves d'une incohérence. Pour être considérée comme une preuve de cohérence finitaire, l'opération elle-même doit être acceptable du point de vue finitiste, et les preuves requises ne doivent utiliser que des principes finitairement acceptables.

Hilbert n'a jamais donné un compte rendu général des opérations et des méthodes de preuve acceptables du point de vue finitiste, mais seulement des exemples d'opérations et de méthodes d'inférence dans la théorie contentuelle des nombres finitaires qu'il a acceptées comme finitaires. L'induction contentuelle a été acceptée dans son application aux énoncés finitaires de type hypothétique et général explicitement dans Hilbert (1922b). Il (1923, 1139) a dit que la pensée intuitive «inclut la récursion et l'induction intuitive pour les totalités existantes finies», et a utilisé l'exponentiation dans un exemple en 1928. Bernays (1930) a expliqué comment l'exponentiation peut être comprise comme une opération finitaire sur les nombres. Hilbert et Bernays (1934) donnent le seul compte rendu général de la théorie contentuelle des nombres finitaires; selon lui,les opérations définies par la récursivité primitive et les preuves utilisant l'induction sont finalement acceptables. Toutes ces méthodes peuvent être formalisées dans un système connu sous le nom d'arithmétique récursive primitive ((PRA)), qui permet des définitions de fonctions par récursion primitive et induction sur des formules sans quantificateur (ibid.). Cependant, ni Hilbert ni Bernays n'ont jamais prétendu que seules les opérations récursives primitives comptaient comme finitaires, et ils utilisaient en fait des méthodes récursives non primitives dans des preuves de cohérence ostensiblement finitaires déjà en 1923 (voir Tait 2002 et Zach 2003).ni Hilbert ni Bernays n'ont jamais prétendu que seules les opérations récursives primitives comptaient comme finitaires, et ils utilisaient en fait des méthodes récursives non primitives dans des preuves de cohérence ostensiblement finitaires déjà en 1923 (voir Tait 2002 et Zach 2003).ni Hilbert ni Bernays n'ont jamais prétendu que seules les opérations récursives primitives comptaient comme finitaires, et ils utilisaient en fait des méthodes récursives non primitives dans des preuves de cohérence ostensiblement finitaires déjà en 1923 (voir Tait 2002 et Zach 2003).

La question conceptuelle la plus intéressante est de savoir quelles opérations doivent être considérées comme finitaires. Comme Hilbert n'était pas tout à fait clair sur ce en quoi consiste le point de vue finitaire, il y a une certaine marge de manœuvre dans la mise en place des contraintes, épistémologiques ou autres, qu'une analyse du fonctionnement et de la preuve finitistes doit remplir. Hilbert a caractérisé (voir ci-dessus) les objets de la théorie des nombres finitaires comme «donnés intuitivement», comme «observables dans toutes leurs parties», et a dit que leurs propriétés de base doivent «exister intuitivement» pour nous. Bernays (1922, 216) suggère qu'en mathématiques finitaires, seules «les cognitions intuitives primitives entrent en jeu», et utilise le terme «point de vue de l'évidence intuitive» en relation avec le finitisme 1930, 250. Cette caractérisation du finitisme comme étant principalement liée à l'intuition et à la connaissance intuitive a été soulignée en particulier par (Parsons, 1998) qui soutient que ce qui peut être considéré comme finitaire sur cette compréhension n'est pas plus que ces opérations arithmétiques qui peuvent être définies à partir de l'addition et de la multiplication. utilisant la récursivité bornée. En particulier, selon lui, l'exponentiation et la récursivité primitive générale ne sont pas acceptables au final.

La thèse selon laquelle le finitisme coïncide avec le raisonnement récursif primitif a reçu une défense énergique par (Tait 1981; voir aussi 2002 et 2005b). Tait, contrairement à Parsons, rejette l'aspect de la représentabilité dans l'intuition comme la marque du finitaire; au lieu de cela, il considère que le raisonnement finitaire est «un type minimal de raisonnement présupposé par tout raisonnement mathématique non trivial sur les nombres». et analyse les opérations finitaires et les méthodes de preuve comme celles qui sont implicites dans la notion même de nombre comme forme d'une suite finie. Cette analyse du finitisme est étayée par l'affirmation de Hilbert selon laquelle le raisonnement finitaire est une condition préalable à la logique et aux mathématiques, voire à toute pensée scientifique Hilbert (1931b, 267). Puisque le raisonnement finitaire est cette partie des mathématiques qui est présupposée par tout raisonnement non trivial sur les nombres, il est,ainsi Tait, «indubitable» dans un sens cartésien, et cette indubitabilité comme tout ce qui serait exigé du raisonnement finitaire pour fournir le fondement épistémologique des mathématiques auxquelles Hilbert le destinait.

Une autre analyse intéressante de la preuve finitaire, qui, cependant, ne fournit pas une justification philosophique aussi détaillée, a été proposée par Kreisel (1960). Il en résulte que exactement ces fonctions sont finitaires, ce qui peut être prouvé comme étant totales en arithmétique du premier ordre (PA). Il est basé sur le concept théorique de la preuve d'un principe de réflexion; voir Zach (2006) pour plus de détails et Dean (2015) pour une analyse. Kreisel (1970, section 3.5) fournit une autre analyse en se concentrant sur ce qui est «visualisable». Le résultat est le même: la prouvabilité finitaire s'avère coextensive avec la prouvabilité dans (PA).

L'analyse technique de Tait indique que les fonctions finitistes sont exactement les fonctions récursives primitives, et les vérités finitistes de la théorie des nombres sont exactement celles qui peuvent être prouvées dans la théorie de l'arithmétique récursive primitive (PRA). Il est important de souligner que cette analyse ne se fait pas du point de vue finitiste lui-même. Puisque les notions générales de «fonction» et de «preuve» ne sont pas elles-mêmes finitaires, le finitiste est incapable de comprendre la thèse de Tait selon laquelle tout ce qui peut être prouvé dans (PRA) est finitistiquement vrai. Selon Tait, une analyse appropriée de la prouvabilité finitiste ne doit pas supposer que le finitisme lui-même a accès à de telles notions non finitistes. L'approche de Kreisel et certaines critiques de Tait qui reposent sur des principes de réflexion ou (omega) - règles vont à l'encontre de cette exigence (voir Tait 2002, 2005b). D'autre part,on pourrait soutenir que (PRA) est une théorie trop forte pour être considérée comme une formalisation de ce qui est «présupposé par tout raisonnement mathématique non trivial sur les nombres»: il existe des théories plus faibles mais non triviales qui sont liées à des classes plus petites des fonctions que les primitives récursives, telles que (PV) et (EA), liées respectivement aux fonctions polynomiales-temps et Kalmar-élémentaires (voir Avigad 2003 sur la quantité de mathématiques pouvant être exécutées dans (EA)). En utilisant une analyse du même ordre que celle de Tait, Ganea (2010) est parvenu à la classe correspondante de fonctions élémentaires de Kalmar comme celles qui sont finitistes.il existe des théories plus faibles mais non triviales qui sont liées à des classes de fonctions plus petites que les primitives récursives, telles que (PV) et (EA), liées respectivement aux fonctions polynomiales-temps et Kalmar-élémentaires (voir Avigad 2003 sur la quantité de mathématiques pouvant être exécutées dans (EA)). En utilisant une analyse du même ordre que celle de Tait, Ganea (2010) est parvenu à la classe correspondante de fonctions élémentaires de Kalmar comme celles qui sont finitistes.il existe des théories plus faibles mais non triviales qui sont liées à des classes de fonctions plus petites que les primitives récursives, telles que (PV) et (EA), liées respectivement aux fonctions polynomiales-temps et Kalmar-élémentaires (voir Avigad 2003 sur la quantité de mathématiques pouvant être exécutées dans (EA)). En utilisant une analyse du même ordre que celle de Tait, Ganea (2010) est parvenu à la classe correspondante de fonctions élémentaires de Kalmar comme celles qui sont finitistes. Ganea (2010) est parvenu à la classe correspondante des fonctions élémentaires de Kalmar comme celles qui sont finitistes. Ganea (2010) est parvenu à la classe correspondante des fonctions élémentaires de Kalmar comme celles qui sont finitistes.

3. Formalisme, réductionnisme et instrumentalisme

Weyl (1925) fut une réaction conciliante à la proposition de Hilbert en 1922b et 1923, qui contenait néanmoins d'importantes critiques. Weyl a décrit le projet de Hilbert comme le remplacement des mathématiques de contenu par un jeu de formules dénué de sens. Il a noté que Hilbert voulait «garantir non pas la vérité, mais la cohérence de l'analyse» et a suggéré une critique qui fait écho à une critique antérieure de Frege: Pourquoi devrions-nous prendre la cohérence d'un système formel de mathématiques comme une raison de croire en la vérité du mathématiques pré-formelles codifie-t-elle? L'inventaire dénué de sens de Hilbert des formules n'est-il pas simplement «le fantôme sans effusion de sang de l'analyse»? Weyl a suggéré une solution:

[Si] les mathématiques doivent rester une préoccupation culturelle sérieuse, alors un certain sens doit être attaché au jeu des formules de Hilbert, et je ne vois qu'une possibilité de lui attribuer (y compris ses composants transfinis) une signification intellectuelle indépendante. En physique théorique, nous avons devant nous le grand exemple d'une [sorte de] connaissance de caractère complètement différent de la connaissance commune ou phénoménale qui exprime purement ce qui est donné dans l'intuition. Alors que dans ce cas, chaque jugement a son propre sens qui est complètement réalisable dans l'intuition, ce n'est en aucun cas le cas pour les énoncés de la physique théorique. Dans ce cas, c'est plutôt le système dans son ensemble qui est en question s'il est confronté à l'expérience. (Weyl, 1925, 140)

L'analogie avec la physique est frappante, et on peut trouver des idées similaires dans la propre écriture de Hilbert - peut-être Hilbert a-t-il été influencé en cela par Weyl. Bien que les premières propositions de Hilbert se soient concentrées exclusivement sur la cohérence, il y a un développement notable dans la pensée de Hilbert dans la direction d'un projet réductiviste général d'un type assez courant dans la philosophie des sciences à l'époque (comme l'a souligné Giaquinto 1983). Dans la seconde moitié des années 1920, Hilbert a remplacé le programme de cohérence par un programme de conservativité: les mathématiques formalisées devaient être considérées par analogie avec la physique théorique. La justification ultime de la partie théorique réside dans sa conservativité par rapport aux mathématiques «réelles»: chaque fois que les mathématiques théoriques «idéales» prouvent une proposition «réelle», cette proposition est aussi intuitivement vraie. Cela justifie l'utilisation de mathématiques transfinies: elles ne sont pas seulement cohérentes en interne, mais elles ne prouvent que de vraies propositions intuitives (et même toutes, puisqu'une formalisation des mathématiques intuitives fait partie de la formalisation de toutes les mathématiques).

En 1926, Hilbert a introduit une distinction entre les formules réelles et idéales. Cette distinction n'était pas présente en 1922b et n'a fait allusion qu'en 1923. Dans ce dernier, Hilbert présente d'abord un système formel de théorie des nombres sans quantificateur dont il dit que «les formules prouvables que nous acquérons de cette manière ont toutes le caractère fini »(1139). Ensuite, les axiomes transfinis (c'est-à-dire les quantificateurs) sont ajoutés pour simplifier et compléter la théorie (1144). Il fait ici l'analogie avec la méthode des éléments idéaux pour la première fois: «Dans ma théorie de la preuve, les axiomes et formules transfinis sont accolés aux axiomes finis, tout comme dans la théorie des variables complexes les éléments imaginaires sont adjoints au réel., et tout comme en géométrie, les constructions idéales sont jointes à l'actuel »(ibid). Quand Hilbert,en 1926 introduit explicitement la notion de proposition idéale, et en 1928, lorsqu'il parle pour la première fois de propositions réelles en plus de l'idéal, il est bien clair que la partie réelle de la théorie consiste uniquement en des formules décidables et sans variables. Ils sont censés être «directement capables de vérification» -akin aux propositions dérivées des lois de la nature qui peuvent être vérifiées par l'expérience (1928, 475). La nouvelle image du programme était la suivante: les mathématiques classiques doivent être formalisées dans un système qui comprend des formalisations de toutes les propositions directement vérifiables (par calcul) de la théorie des nombres finis de contenu. La preuve de cohérence doit montrer que toutes les propositions réelles qui peuvent être prouvées par des méthodes idéales sont vraies, c'est-à-dire qu'elles peuvent être vérifiées directement par un calcul fini.(Les preuves réelles telles que la substitution (varepsilon) - avaient toujours été de ce type: fournir des procédures finitaires qui éliminent les éléments transfinis des preuves d'énoncés réels, en particulier de (0 = 1).) En effet, Hilbert a vu que quelque chose de plus fort est vrai: non seulement une preuve de cohérence établit la vérité de formules réelles prouvables par des méthodes idéales, mais elle donne des preuves finitaires de propositions générales finitaires si la formule de variable libre correspondante est dérivable par des méthodes idéales (1928, 474).mais il donne des preuves finitaires de propositions générales finitaires si la formule variable libre correspondante peut être dérivée par des méthodes idéales (1928, 474).mais il donne des preuves finitaires de propositions générales finitaires si la formule variable libre correspondante peut être dérivée par des méthodes idéales (1928, 474).

Hilbert a suggéré d'autres restrictions sur la théorie en plus de la conservativité: simplicité, brièveté des preuves, «économie de pensée» et productivité mathématique. Le système formel de la logique transfinie n'est pas arbitraire: «Ce jeu de formules est réalisé selon certaines règles définies, dans lesquelles s'exprime la technique de notre pensée. […] L'idée fondamentale de ma théorie de la preuve n'est autre que de décrire l'activité de notre compréhension, de faire un protocole des règles selon lesquelles notre pensée procède réellement »(Hilbert, 1928, 475). Lorsque Weyl (1928) s'est finalement détourné de l'intuitionnisme (pour les raisons, voir Mancosu et Ryckman, 2002), il a souligné cette motivation de la théorie de la preuve de Hilbert: ne pas transformer les mathématiques en un jeu de symboles dénué de sens,mais d'en faire une science théorique qui codifie la pratique scientifique (mathématique).

Le formalisme de Hilbert était donc assez sophistiqué: il évitait deux objections cruciales: (1) Si les formules du système sont dénuées de sens, comment la dérivabilité dans le système peut-elle générer une sorte de croyance? (2) Pourquoi accepter le système de (PA) et non un autre système cohérent? Les deux objections sont familières de Frege; les deux questions sont (en partie) répondues par une preuve de conservativité pour les déclarations réelles. Car (2), en outre, Hilbert a un critère naturaliste d'acceptation: nous sommes contraints dans le choix des systèmes par des considérations de simplicité, de fécondité, d'uniformité et par ce que font réellement les mathématiciens; Weyl ajoute que le test ultime d'une théorie serait son utilité en physique.

La plupart des philosophes mathématiques écrivant sur Hilbert l'ont lu comme un instrumentiste (y compris Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990, et en particulier Detlefsen 1986) en ce qu'ils ont lu l'explication de Hilbert selon laquelle les propositions idéales «n'ont aucun sens en elles-mêmes». (Hilbert, 1926, 381) comme affirmant que les mathématiques classiques sont un simple instrument et que les déclarations de mathématiques transfinies n'ont aucune valeur de vérité. Dans la mesure où cela est exact, il doit être compris comme un instrumentalisme méthodologique: une exécution réussie du programme de la théorie de la preuve montrerait que l'on pourrait prétendre que les mathématiques n'avaient pas de sens. L'analogie avec la physique n'est donc pas: les propositions transfinies n'ont pas de sens tout comme les propositions impliquant des termes théoriques n'ont pas de sens, mais:Les propositions transfinies ne nécessitent aucune signification intuitive directe, tout comme il n'est pas nécessaire de voir directement les électrons pour théoriser à leur sujet. Hallett (1990), en tenant compte du contexte mathématique du XIXe siècle dont Hilbert est issu ainsi que des sources publiées et non publiées de toute la carrière de Hilbert (en particulier Hilbert 1992, la discussion la plus approfondie sur la méthode des éléments idéaux) arrive à la conclusion suivante:

[Le traitement par Hilbert des questions philosophiques] ne se veut pas une sorte d'agnosticisme instrumentiste sur l'existence et la vérité, etc. Au contraire, il vise à apporter une solution non sceptique et positive à ces problèmes, une solution formulée en des termes cognitivement accessibles. Et, semble-t-il, la même solution vaut pour les théories mathématiques et physiques. Une fois que de nouveaux concepts ou «éléments idéaux» ou de nouveaux termes théoriques ont été acceptés, ils existent au sens où toutes les entités théoriques existent. (Hallett, 1990, 239)

4. Programme de Hilbert et théorèmes d'incomplétude de Gödel

Il y a eu un débat sur l'impact des théorèmes d'incomplétude de Gödel sur le programme de Hilbert, et si c'était le premier ou le deuxième théorème d'incomplétude qui a donné le coup de grâce. Il ne fait aucun doute que l'opinion de ceux qui sont le plus directement impliqués dans les développements est convaincue que les théorèmes ont eu un impact décisif. Gödel a annoncé le deuxième théorème d'incomplétude dans un résumé publié en octobre 1930: aucune preuve de cohérence de systèmes tels que Principia, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ou les systèmes étudiés par Ackermann et von Neumann n'est possible par des méthodes qui peuvent être formulées dans ces systèmes. Dans la version complète de son article, Gödel (1931) laissait ouverte la possibilité qu'il y ait des méthodes finitaires qui ne soient pas formalisables dans ces systèmes et qui donneraient les preuves de cohérence requises. La première réaction de Bernays dans une lettre à Gödel en janvier 1931 fut de même que «si, comme le fait von Neumann, on est certain que toute considération finitaire peut être formalisée dans le système (P) - comme vous, je considère qu'en aucun cas, comme établi, on ne parvient à la conclusion qu'une démonstration finitaire de la cohérence de (P) est impossible »(Gödel, 2003a, 87).

Quel est l'impact des théorèmes de Gödel sur le programme de Hilbert? Grâce à un codage soigneux («Gödel» -) des séquences de symboles (formules, preuves), Gödel a montré que dans les théories (T) qui contiennent une quantité suffisante d'arithmétique, il est possible de produire une formule (Pr (x, y)) qui "dit" que (x) est (le code de) une preuve de (la formule avec code) (y). Plus précisément, si (ulcorner 0 = 1 / urcorner) est le code de la formule (0 = 1), alors (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) peut être pris pour «dire» que (T) est cohérent (aucun nombre n'est le code d'une dérivation dans (T) de (0 = 1)). Le deuxième théorème d'incomplétude (G2) dit que sous certaines hypothèses concernant (T) et l'appareil de codage, (T) ne prouve pas (Con_T). Supposons maintenant qu'il y ait une preuve de cohérence finitaire de (T). Les méthodes utilisées dans une telle preuve seraient vraisemblablement formalisables dans (T). («Formalisable» signifie que, grosso modo, si la preuve utilise une opération finitaire (f) sur les dérivations qui transforme toute dérivation (D) en une dérivation (f (D)) d'une forme simple; alors là est une formule (F (x, y)) telle que, pour toutes les dérivations (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) La cohérence de (T) serait finalement exprimé comme l'hypothèse générale que, si (D) est une séquence donnée de symboles, (D) n'est pas une dérivation dans (T) de la formule (0 = 1). La formalisation de cette proposition est la formule (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) dans laquelle la variable (x) est libre. S'il y avait une preuve finitaire de la cohérence de (T), sa formalisation donnerait une dérivation dans (T) de (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), dont (Con_T) peut être dérivé dans (T) par simple généralisation universelle sur (x). Pourtant, une dérivation de (Con_T) dans (T) est exclue par G2.

Comme mentionné ci-dessus, Gödel et Bernays pensaient initialement que la difficulté pour la preuve de cohérence de (PA) pouvait être surmontée en employant des méthodes qui, bien que non formalisables dans (PA), sont néanmoins finitaires. La question de savoir si de telles méthodes seraient considérées comme finitaires selon la conception originale du finitisme ou constitueraient une extension du point de vue finitiste original est un sujet de débat. Les nouvelles méthodes envisagées incluaient une version finale de la règle (omega) proposée par Hilbert (1931b; 1931a). Il est juste de dire, cependant, qu'après environ 1934, il a été presque universellement admis que les méthodes de preuve acceptées comme finitaires avant les résultats de Gödel sont toutes formalisables dans (PA). Des extensions du point de vue finitiste original ont été proposées et défendues sur des bases largement finitaires, par exemple,Gentzen (1936) a défendu l'utilisation de l'induction transfinie jusqu'à (varepsilon_0) dans sa preuve de cohérence pour (PA) comme «indiscutable», Takeuti (1987) a donné une autre défense. Gödel (1958) a présenté une autre extension du point de vue finitiste; le travail de Kreisel mentionné ci-dessus peut être vu comme une autre tentative d'étendre le finitisme tout en conservant l'esprit de la conception originale de Hilbert.

Detlefsen (1986; 2001; 1979) a proposé une tentative différente de contourner le deuxième théorème de Gödel pour le programme de Hilbert. Detlefsen présente plusieurs lignes de défense, dont l'une est similaire à celle qui vient d'être décrite: en soutenant qu'une version de la règle (omega) - est finalement acceptable, bien qu'elle ne puisse pas être formalisée (cependant, voir Ignjatovic 1994). L'autre argument de Detlefsen contre l'interprétation commune du deuxième théorème de Gödel se concentre sur la notion de formalisation: Que la formalisation particulière de «(T) est cohérente» par la formule de Gödel (Con_T) ne soit pas prouvable n'implique pas qu'il ne pourrait pas ' t être d'autres formules, qui sont prouvables dans (T), et qui ont autant le droit d'être appelées «formalisations de la cohérence de (T).»Celles-ci reposent sur des formalisations différentes du prédicat de prouvabilité (Pr_T) que celles standard. On sait que les déclarations de cohérence formalisées ne peuvent pas être démontrées chaque fois que le prédicat de prouvabilité obéit à certaines conditions générales de dérivabilité. Detlefsen soutient que ces conditions ne sont pas nécessaires pour qu'un prédicat compte comme un véritable prédicat de prouvabilité, et en effet il existe des prédicats de prouvabilité qui violent les conditions de prouvabilité et qui donnent lieu à des formules de cohérence qui sont prouvables dans leurs théories correspondantes. Celles-ci, cependant, dépendent de conceptions non standard de la prouvabilité qui n'auraient probablement pas été acceptées par Hilbert (voir aussi Resnik 1974, Auerbach 1992 et Steiner 1991). On sait que les déclarations de cohérence formalisées ne peuvent pas être démontrées chaque fois que le prédicat de prouvabilité obéit à certaines conditions générales de dérivabilité. Detlefsen soutient que ces conditions ne sont pas nécessaires pour qu'un prédicat compte comme un véritable prédicat de prouvabilité, et en effet il existe des prédicats de prouvabilité qui violent les conditions de prouvabilité et qui donnent lieu à des formules de cohérence qui sont prouvables dans leurs théories correspondantes. Celles-ci, cependant, dépendent de conceptions non standard de la prouvabilité qui n'auraient probablement pas été acceptées par Hilbert (voir aussi Resnik 1974, Auerbach 1992 et Steiner 1991). On sait que les déclarations de cohérence formalisées ne peuvent pas être démontrées chaque fois que le prédicat de prouvabilité obéit à certaines conditions générales de dérivabilité. Detlefsen soutient que ces conditions ne sont pas nécessaires pour qu'un prédicat compte comme un véritable prédicat de prouvabilité, et en effet il existe des prédicats de prouvabilité qui violent les conditions de prouvabilité et qui donnent lieu à des formules de cohérence qui sont prouvables dans leurs théories correspondantes. Celles-ci, cependant, dépendent de conceptions non standard de la prouvabilité qui n'auraient probablement pas été acceptées par Hilbert (voir aussi Resnik 1974, Auerbach 1992 et Steiner 1991).et en effet, il existe des prédicats de prouvabilité qui violent les conditions de prouvabilité et qui donnent lieu à des formules de cohérence prouvables dans leurs théories correspondantes. Celles-ci, cependant, dépendent de conceptions non standard de la prouvabilité qui n'auraient probablement pas été acceptées par Hilbert (voir aussi Resnik 1974, Auerbach 1992 et Steiner 1991).et en effet, il existe des prédicats de prouvabilité qui violent les conditions de prouvabilité et qui donnent lieu à des formules de cohérence prouvables dans leurs théories correspondantes. Celles-ci, cependant, dépendent de conceptions non standard de la prouvabilité qui n'auraient probablement pas été acceptées par Hilbert (voir aussi Resnik 1974, Auerbach 1992 et Steiner 1991).

Smorynski (1977) a soutenu que déjà le premier théorème d'incomplétude vainc le programme de Hilbert. L'objectif de Hilbert n'était pas simplement de montrer que les mathématiques formalisées sont cohérentes, mais de le faire d'une manière spécifique en montrant que les mathématiques idéales ne peuvent jamais conduire à des conclusions qui ne sont pas en accord avec les mathématiques réelles. Ainsi, pour réussir, les mathématiques idéales doivent être conservatrices par rapport à la partie réelle: chaque fois que les mathématiques idéales formalisées prouvent une formule réelle (P, P) elle-même (ou la proposition finitaire qu'elle exprime) doit être prouvable au final. Pour Smorynski, les formules réelles comprennent non seulement les égalités numériques et leurs combinaisons, mais aussi des formules générales avec des variables libres mais sans quantificateurs illimités.

Maintenant, le premier théorème d'incomplétude de Gödel (G1) déclare que pour toute théorie formelle suffisamment forte et cohérente (S) il y a une phrase (G_S) qui est vraie mais non dérivable dans (S). (G_S) est une phrase réelle selon la définition de Smorynski. Considérons maintenant une théorie (T) qui formalise les mathématiques idéales et sa sous-théorie (S) qui formalise les mathématiques réelles. (S) satisfait les conditions de G1 et donc (S) ne dérive pas (G_S). Pourtant, (T), étant une formalisation de toutes les mathématiques (y compris ce qui est nécessaire pour voir que (G_S) est vrai), dérive (G_S). Par conséquent, nous avons une affirmation réelle qui est prouvable en mathématiques idéales et non en mathématiques réelles.

Detlefsen (1986, annexe; voir aussi 1990) a également défendu le programme de Hilbert contre cet argument. Detlefsen soutient que l'instrumentalisme «hilbertien» échappe à l'argument de G1 en niant que les mathématiques idéales doivent être conservatrices sur la partie réelle; tout ce qui est requis est une vraie solidité. L'instrumentalisme hilbertien exige seulement que la théorie idéale ne prouve rien qui soit en conflit avec la théorie réelle; il n'est pas nécessaire qu'il prouve seulement des déclarations réelles que la théorie réelle prouve également. (Voir Zach 2006 pour plus d'informations sur la question de la conservativité et de la cohérence, la section pertinente de l'entrée sur Gödel pour une discussion plus approfondie, Franks 2009 pour une défense et une réévaluation connexes du projet de Hilbert, et McCarthy 2016 pour une approche alternative à la prouvabilité de cohérence et G2 grâce à Gödel lui-même.)

5. Programmes Hilbert révisés

Même si aucune preuve de cohérence finitaire de l'arithmétique ne peut être donnée, la question de trouver des preuves de cohérence est néanmoins intéressante: les méthodes utilisées dans de telles preuves, bien qu'elles doivent aller au-delà du sens originel du finitisme de Hilbert, pourraient fournir un véritable aperçu du contenu constructif de arithmétique et théories plus fortes. Ce que le résultat de Gödel a montré, c'est qu'il ne peut y avoir de preuve de cohérence absolue de toutes les mathématiques; donc les travaux en théorie de la preuve après Gödel se sont concentrés sur les résultats relatifs, à la fois: relatifs au système pour lequel une preuve de cohérence a été donnée, et relatifs aux méthodes de preuve utilisées.

La théorie de la preuve réductrice dans ce sens a suivi deux traditions: la première, principalement réalisée par des théoriciens de la preuve à la suite de Gentzen et Schütte, a poursuivi un programme de ce qu'on appelle l'analyse ordinale, et est illustrée par la première preuve de cohérence de Gentzen de (PA) par récurrence jusqu'à (varepsilon_0. / varepsilon_0) est un certain ordinal transfini (bien que dénombrable), cependant, «l'induction jusqu'à (varepsilon_0)» dans le sens utilisé ici n'est pas une procédure véritablement transfinie. L'analyse ordinale ne fonctionne pas avec des nombres ordinaux infinis, mais plutôt avec des systèmes de notation ordinale qui eux-mêmes peuvent être formalisés dans des systèmes très faibles (essentiellement finitaires). Une analyse ordinale d'un système (T) est donnée si:(a) on peut produire un système de notation ordinale qui imite les ordinaux moins qu'un certain ordinal (alpha_T) de telle sorte que (b) il peut être prouvé finalement que la formalisation (TI (alpha_T)) du principe de l'induction jusqu'à (alpha_T) implique la cohérence de (T) (ie, (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) et (c) (T) prouve (TI (beta)) for all (beta / lt / alpha_T) ((S) est une théorie formalisant la métamathématique finitaire et est généralement une sous-théorie faible de (T)). Pour avoir une signification fondamentale, il est également nécessaire que l'on puisse donner un argument constructif pour l'induction transfinie jusqu'à (alpha_T). Comme mentionné ci-dessus, cela a été fait par Gentzen et Takeuti pour (varepsilon_0), l'ordinal théorique de preuve de (PA),mais devient plus difficile et d'une signification philosophique progressivement discutable pour des théories plus fortes.

Une continuation philosophiquement plus satisfaisante du programme de Hilbert en termes de théorie de la preuve a été suggérée par Kreisel (1983; 1968) et Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Ce travail procède d'une conception plus large du programme de Hilbert comme une tentative de justifier les mathématiques idéales par des moyens restreints. Dans cette conception, le but de la théorie de la preuve de Hilbert était de montrer que, du moins en ce qui concerne une certaine classe de propositions réelles, les mathématiques idéales ne vont pas au-delà des mathématiques réelles. Une preuve de cohérence finitaire du type envisagé par Hilbert aurait accompli cela: si les mathématiques idéales prouvent une proposition réelle, alors cette proposition est déjà prouvable par des méthodes réelles (c'est-à-dire finitaires). En un sens, cela réduit les mathématiques idéales aux mathématiques réelles. Une réduction théorique de la preuve d'une théorie (T) en une théorie (S) montre que, pour une certaine classe de propositions, si (T) prouve une proposition, alors (S) le prouve aussi, et la preuve de ce fait est elle-même finitaire. Le programme théorique de preuve de Hilbert peut alors être vu comme une recherche d'une réduction théorique de preuve de toutes les mathématiques en mathématiques finitaires; dans un programme relativisé, on recherche des réductions de théories plus faibles que toutes les mathématiques classiques à des théories souvent plus fortes que les mathématiques finitaires. Les théoriciens de la preuve ont obtenu un certain nombre de ces résultats, y compris des réductions de théories qui, à première vue, nécessitent une quantité significative de mathématiques idéales pour leur justification (par exemple, des sous-systèmes d'analyse) aux systèmes finitaires. (Feferman,1993b) a utilisé ces résultats en combinaison avec d'autres résultats qui montrent que la plupart, sinon la totalité, des mathématiques scientifiquement applicables peuvent être réalisées dans des systèmes pour lesquels de telles réductions sont disponibles pour argumenter contre l'argument du caractère indispensable de la philosophie des mathématiques. La signification philosophique de telles réductions théoriques de la preuve fait actuellement l'objet de débats (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Le programme de mathématiques dites inverses développé par Friedman et Simpson, en particulier, est une autre continuation du programme de Hilbert. Face aux résultats de Gödel montrant que toutes les mathématiques classiques ne peuvent pas être réduites au finitaire, ils cherchent à répondre à la question: quelle quantité de mathématiques classiques peut-elle être ainsi réduite? Les mathématiques inversées cherchent à donner une réponse précise à cette question en recherchant quels théorèmes des mathématiques classiques sont prouvables dans des sous-systèmes d'analyse faibles qui sont réductibles aux mathématiques finitaires (au sens discuté dans le paragraphe précédent). Un résultat typique est que le théorème d'analyse fonctionnelle de Hahn-Banach est prouvable dans une théorie connue sous le nom de (WKL_0) (pour «lemme de König faible»); (WKL_0) est prudent sur (PRA) pour les phrases (Pi ^ {0} _2) (c'est-à-dire,phrases de la forme (forall x / exists yA (x, y)). (Voir Simpson 1988 pour un aperçu et Simpson 1999 pour un traitement technique.)

Bibliographie

Une version étendue de la première révision de cette entrée peut être trouvée dans Zach (2006).

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