Logique Modale

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Logique modale

Publié pour la première fois le 29 février 2000; révision de fond sam.8 sept. 2018

Un modal est une expression (comme «nécessairement» ou «éventuellement») qui sert à qualifier la vérité d'un jugement. La logique modale est, à proprement parler, l'étude du comportement déductif des expressions «il faut que» et «il est possible que». Cependant, le terme «logique modale» peut être utilisé plus largement pour une famille de systèmes apparentés. Celles-ci incluent des logiques pour la croyance, pour les expressions temporelles et temporelles, pour les expressions déontiques (morales) telles que «c'est obligatoire que» et «cela est permis», et bien d'autres. Une compréhension de la logique modale est particulièrement précieuse dans l'analyse formelle de l'argumentation philosophique, où les expressions de la famille modale sont à la fois communes et déroutantes. La logique modale a également des applications importantes en informatique.

  • 1. Qu'est-ce que la logique modale?
  • 2. Logiques modales
  • 3. Logiques déontiques
  • 4. Logiques temporelles
  • 5. Logiques conditionnelles
  • 6. Sémantique des mondes possibles
  • 7. Axiomes modaux et conditions sur les cadres
  • 8. Carte des relations entre les logiques modales
  • 9. L'axiome général
  • 10. Sémantique bidimensionnelle
  • 11. Logiques de prouvabilité
  • 12. Logique modale avancée
  • 13. Bisimulation
  • 14. Logique modale et jeux
  • 15. Quantificateurs en logique modale
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Qu'est-ce que la logique modale?

La logique modale, d'interprétation étroite, étudie le raisonnement qui implique l'utilisation des expressions «nécessairement» et «éventuellement». Cependant, le terme «logique modale» est utilisé plus largement pour couvrir une famille de logiques avec des règles similaires et une variété de symboles différents.

Une liste décrivant les plus connues de ces logiques suit.

Logique Symboles Expressions symbolisées
Logique modale (Boîte) Il est nécessaire que …
(Diamant) Il est possible que …
Logique déontique (O) Il est obligatoire que…
(P) Il est permis que…
(F) Il est interdit que…
Logique temporelle (G) Ce sera toujours le cas que…
(F) Ce sera le cas que…
(H) Cela a toujours été le cas que…
(P) C'était le cas que…
Logique doxastique (Bx) (x) pense que…

2. Logiques modales

Les logiques les plus connues de la famille modale sont construites à partir d'une logique faible appelée (bK) (d'après Saul Kripke). Selon la lecture étroite, la logique modale concerne la nécessité et la possibilité. Une variété de systèmes différents peuvent être développés pour de telles logiques en utilisant (bK) comme base. Les symboles de (bK) incluent '({ sim})' pour 'not', '(rightarrow)' pour 'si… alors' et '(Box)' pour l'opérateur modal «il faut que». (Les connecteurs '(amp)', '(vee)' et '(leftrightarrow)' peuvent être définis à partir de '({ sim})' et '(rightarrow) 'comme cela se fait en logique propositionnelle.) (bK) résulte de l'ajout de ce qui suit aux principes de la logique propositionnelle.

Règle de nécessité: Si (A) est un théorème de (bK), alors (Box A) l'est aussi.

Axiome de distribution: (Box (A / rightarrow B) rightarrow (Box A / rightarrow / Box B)).

(Dans ces principes, nous utilisons '(A)' et '(B)' comme métavariables s'étendant sur les formules du langage.) Selon la règle de nécessité, tout théorème de logique est nécessaire. L'axiome de distribution dit que s'il est nécessaire que si (A) alors (B), alors si nécessairement (A), alors nécessairement (B).

L'opérateur (Diamond) (pour 'éventuellement') peut être défini à partir de (Box) en laissant (Diamond A = { sim} Box { sim} A). Dans (bK), les opérateurs (Box) et (Diamond) se comportent beaucoup comme les quantificateurs (forall) (all) et (exists) (some). Par exemple, la définition de (Diamond) from (Box) reflète l'équivalence de (forall xA) avec ({ sim} exists x { sim} A) dans la logique des prédicats. De plus, (Box (A / amp B)) implique (Box A / amp / Box B) et vice versa; tandis que (Box A / vee / Box B) implique (Box (A / vee B)), mais pas l'inverse. Cela reflète les modèles présentés par le quantificateur universel: (forall x (A / amp B)) implique (forall xA / amp / forall xB) et vice versa, tandis que (forall xA / vee / forall xB) implique (forall x (A / vee B)) mais pas l'inverse. Des parallèles similaires entre (Diamant) et (existe) peuvent être tracés. La base de cette correspondance entre les opérateurs modaux et les quantificateurs apparaîtra plus clairement dans la section sur la sémantique des mondes possibles.

Le système (bK) est trop faible pour fournir un compte rendu adéquat de la nécessité. L'axiome suivant n'est pas prouvable dans (bK), mais il est clairement souhaitable.

) tag {(M)} Boîte A / rightarrow A)

((M)) prétend que tout ce qui est nécessaire est le cas. Notez que ((M)) serait incorrect si (Box) devait être lu 'il devrait être cela', ou 'c'était le cas que'. Ainsi, la présence de l'axiome ((M)) distingue les logiques de nécessité des autres logiques de la famille modale. Une logique modale de base (M) résulte de l'ajout de ((M)) à (bK). (Certains auteurs appellent ce système (mathbf {T}).)

De nombreux logiciens pensent que (M) est encore trop faible pour formaliser correctement la logique de nécessité et de possibilité. Ils recommandent d'autres axiomes pour régir l'itération ou la répétition d'opérateurs modaux. Voici deux des axiomes d'itération les plus connus:

) tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A)) tag {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) est le système qui résulte de l'ajout de (4) à (M). De même (mathbf {S5}) est (M) plus (5). Dans (mathbf {S4}), la phrase (Box / Box A) équivaut à (Box A). En conséquence, toute chaîne de boîtes peut être remplacée par une seule boîte, et il en va de même pour les chaînes de diamants. Cela revient à l'idée que l'itération des opérateurs modaux est superflue. Dire que (A) est nécessairement nécessaire est considéré comme une manière inutilement longue de dire que (A) est nécessaire. Le système (mathbf {S5}) a des principes encore plus solides pour simplifier les chaînes d'opérateurs modaux. Dans (mathbf {S4}), une chaîne d'opérateurs du même type peut être remplacée pour cet opérateur; dans (mathbf {S5}), les chaînes contenant à la fois des cases et des losanges sont équivalentes au dernier opérateur de la chaîne. Ainsi, par exemple,dire qu'il est possible que (A) soit nécessaire équivaut à dire que (A) est nécessaire. Un résumé de ces fonctionnalités de (mathbf {S4}) et (mathbf {S5}) suit.

) tag {(mathbf {S4})} Box / Box / ldots / Box = / Box / text {et} Diamond / Diamond / ldots / Diamond = / Diamond)) begin {align *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / text {et} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {où chacun} 0 / text {est soit} Box / text {soit} Diamond / end {align *})

On pourrait s'engager dans une discussion sans fin sur l'exactitude ou l'inexactitude de ces principes et d'autres principes d'itération pour (Box) et (Diamond). La controverse peut être en partie résolue en reconnaissant que les mots «nécessairement» et «peut-être» ont de nombreux usages différents. Ainsi, l'acceptabilité des axiomes pour la logique modale dépend de laquelle de ces utilisations nous avons à l'esprit. Pour cette raison, il n'y a pas de logique modale unique, mais plutôt toute une famille de systèmes construits autour de (M). La relation entre ces systèmes est schématisée dans la section 8, et leur application à différentes utilisations de `` nécessairement '' et de `` peut-être '' peut être mieux comprise en étudiant leur sémantique mondiale possible dans la section 6.

Le système (mathbf {B}) (pour le logicien Brouwer) est formé en ajoutant l'axiome ((B)) à (M).

) tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A)

Il est intéressant de noter que (mathbf {S5}) peut être formulé de manière équivalente en ajoutant ((B)) à (mathbf {S4}). L'axiome ((B)) soulève un point important sur l'interprétation des formules modales. ((B)) dit que si (A) est le cas, alors (A) est nécessairement possible. On pourrait soutenir que ((B)) devrait toujours être adopté dans toute logique modale, car si (A) est le cas, alors il est nécessaire que (A) soit possible. Cependant, il y a un problème avec cette affirmation qui peut être exposé en notant que (Diamond / Box A / rightarrow A) est prouvable à partir de ((B)). Donc (Diamond / Box A / rightarrow A) devrait être acceptable si ((B)) l'est. Cependant, (Diamond / Box A / rightarrow A) dit que si (A) est éventuellement nécessaire, alors (A) est le cas, et cela est loin d'être évident. Pourquoi ((B)) semble-t-il évident,alors que l'une des choses que cela implique ne semble pas du tout évidente? La réponse est qu'il existe une ambiguïté dangereuse dans l'interprétation anglaise de (A / rightarrow / Box / Diamond A). Nous utilisons souvent l'expression 'Si (A) alors nécessairement (B)' pour exprimer que le conditionnel 'si (A) alors (B)' est nécessaire. Cette interprétation correspond à (Box (A / rightarrow B)). En d'autres occasions, nous voulons dire que si (A), alors (B) est nécessaire: (A / rightarrow / Box B). En anglais, «nécessairement» est un adverbe, et comme les adverbes sont généralement placés près des verbes, nous n'avons aucun moyen naturel d'indiquer si l'opérateur modal s'applique à l'ensemble du conditionnel, ou à son conséquent. Pour ces raisons, on a tendance à confondre ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) avec (Box (A / rightarrow / Diamond A)). Mais (Box (A / rightarrow / Diamond A)) n'est pas la même chose que ((B)), car (Box (A / rightarrow / Diamond A)) est déjà un théorème de (M) et ((B)) ne l'est pas. Il faut veiller tout particulièrement à ce que notre réaction positive à (Box (A / rightarrow / Diamond A)) n'infecte pas notre évaluation de ((B)). Une manière simple de se protéger est de formuler (B) de manière équivalente en utilisant l'axiome: (Diamond / Box A / rightarrow A), où ces ambiguïtés de portée ne se produisent pas.où ces ambiguïtés de portée ne se produisent pas.où ces ambiguïtés de portée ne se produisent pas.

3. Logiques déontiques

Les logiques déontiques introduisent le symbole primitif (O) pour 'il est obligatoire que', à partir de quels symboles (P) pour 'il est permis que' et (F) pour 'il est interdit que' soient définis: (PA = { sim} O { sim} A) et (FA = O { sim} A). L'analogue déontique de l'axiome modal ((M): OA / rightarrow A) n'est clairement pas approprié pour la logique déontique. (Malheureusement, ce qui devrait être n'est pas toujours le cas.) Cependant, un système de base (mathbf {D}) de logique déontique peut être construit en ajoutant l'axiome le plus faible ((D)) à (bK).

) tag {(D)} OA / rightarrow PA)

Axiome ((D)) garantit la cohérence du système d'obligations en insistant sur le fait que lorsque (A) est obligatoire, (A) est autorisé. Un système qui nous oblige à provoquer (A), mais ne nous permet pas de le faire, nous met dans une situation incontournable. Bien que certains soutiendront que de tels conflits d'obligations sont au moins possibles, la plupart des logiciens déontiques acceptent ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) est un autre axiome déontique qui semble souhaitable. Bien qu'il soit faux de dire que si (A) est obligatoire alors (A) est le cas ((OA / rightarrow A)), ce conditionnel devrait néanmoins être le cas. Ainsi, certains logiciens déontiques pensent que (D) doit également être complété par (O (OA / rightarrow A)).

La controverse sur l'itération (répétition) des opérateurs surgit à nouveau dans la logique déontique. Dans certaines conceptions d'obligation, (OOA) équivaut simplement à (OA). «Il devrait être que cela devrait être» est traité comme une sorte de bégaiement; les "devraient" n'ajouter rien de nouveau. Des axiomes sont donc ajoutés pour garantir l'équivalence de (OOA) et (OA). La politique d'itération plus générale incorporée dans (mathbf {S5}) peut également être adoptée. Cependant, il existe des conceptions d'obligation où la distinction entre (OA) et (OOA) est préservée. L'idée est qu'il existe de véritables différences entre les obligations que nous avons réellement et les obligations que nous devrions adopter. Ainsi, par exemple, 'il devrait être que (A)' commande l'adoption d'une obligation qui peut ne pas être réellement en place, avec le résultat que (OOA) peut être vrai même lorsque (OA) est faux.

4. Logiques temporelles

Dans la logique temporelle (également appelée logique tendue), il existe deux opérateurs de base, (G) pour le futur et (H) pour le passé. (G) est lu 'ce sera toujours cela' et l'opérateur défini (F) (lu 'ce sera le cas que') peut être introduit par (FA = { sim} G { sim }UNE). De même (H) se lit: 'il a toujours été cela' et (P) (pour 'c'était le cas que') est défini par (PA = { sim} H { sim} A). Un système de base de logique temporelle appelé (mathbf {Kt}) résulte de l'adoption des principes de (bK) pour (G) et (H), ainsi que de deux axiomes pour régir l'interaction entre les opérateurs passés et futurs:

Règles de nécessité:

Si (A) est un théorème, alors (GA) et (HA) le sont aussi.

Axiomes de distribution:

(G (A / rightarrow B) rightarrow (GA / rightarrow GB)) et (H (A / rightarrow B) rightarrow (HA / rightarrow HB))

Axiomes d'interaction:

(A / rightarrow GPA) et (A / rightarrow HFA)

Les axiomes d'interaction soulèvent des questions sur les asymétries entre le passé et le futur. Une intuition standard est que le passé est fixe, tandis que le futur est toujours ouvert. Le premier axiome d'interaction ((A / rightarrow GPA)) se conforme à cette intuition en signalant que ce qui est le cas ((A)), sera à tout moment futur, dans le passé ((GPA)). Cependant (A / rightarrow HFA) peut sembler avoir des connotations déterministes inacceptables, car il prétend, apparemment, que ce qui est vrai maintenant ((A)) a toujours été tel qu'il se produira dans le futur ((HFA)). Cependant, une sémantique mondiale possible pour la logique temporelle révèle que cette inquiétude résulte d'une simple confusion et que les deux axiomes d'interaction sont également acceptables.

Notez que l'axiome caractéristique de la logique modale, ((M): / Box A / rightarrow A), n'est pas acceptable pour (H) ou (G), puisque (A) ne suit pas de 'il a toujours été le cas que (A)', ni de 'ce sera toujours le cas que (A)'. Cependant, il est acceptable dans une logique temporelle étroitement liée où (G) est lu "il est et sera toujours", et (H) est lu "il est et a toujours été".

Selon les hypothèses que l'on fait sur la structure du temps, d'autres axiomes doivent être ajoutés aux logiques temporelles. Une liste d'axiomes communément adoptés dans les logiques temporelles suit. Un compte rendu de la façon dont ils dépendent de la structure du temps se trouve dans la section Sémantique des mondes possibles.

) begin {align *} GA / rightarrow GGA & / text {et} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {et} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {et} HA / rightarrow PA / end {align *})

Il est intéressant de noter que certaines combinaisons d'opérateurs de temps passé et futur peuvent être utilisées pour exprimer des temps complexes en anglais. Par exemple, (FPA), correspond à la phrase (A) au futur parfait, (comme dans «20 secondes à partir de maintenant, la lumière aura changé»). De même, (PPA) exprime le passé parfait.

Pour une discussion plus détaillée, voir l'entrée sur la logique temporelle.

5. Logiques conditionnelles et de pertinence

Le fondateur de la logique modale, CI Lewis, a défini une série de logiques modales qui n'avaient pas (Box) comme symbole primitif. Lewis était soucieux de développer une logique des conditions qui était libre des soi-disant paradoxes d'implication matérielle, à savoir les théorèmes classiques (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) et (B / rightarrow (A / rightarrow B)). Il a introduit le symbole (hameçon) pour «implication stricte» et développé des logiques où ni (A / hameçon ({ sim} A / hameçon B)) ni (B / hameçon (A / hameçon B)) est prouvable. La pratique moderne a été de définir (A / fishhook B) par (Box (A / rightarrow B)), et d'utiliser des logiques modales gouvernant (Box) pour obtenir des résultats similaires. Cependant, la prouvabilité de formules telles que ((A / amp { sim} A) fishhook B) dans de telles logiques semble en contradiction avec le souci des paradoxes. Anderson et Belnap (1975) ont développé des systèmes (mathbf {R}) (pour la logique de pertinence) et (mathbf {E}) (pour l'implication) qui sont conçus pour surmonter ces difficultés. Ces systèmes nécessitent une révision des systèmes standards de logique propositionnelle. (Voir Mares (2004) et l'entrée sur la logique de pertinence.)

David Lewis (1973) et d'autres ont développé des logiques conditionnelles pour gérer des expressions contrefactuelles, c'est-à-dire des expressions de la forme «si (A) se produisait alors (B) se produirait». (Kvart (1980) est une autre bonne source sur le sujet.) Les logiques contrefactuelles diffèrent de celles basées sur l'implication stricte parce que les premières rejettent tandis que les secondes acceptent la contraposition.

6. Sémantique des mondes possibles

Le but de la logique est de caractériser la différence entre les arguments valides et invalides. Un système logique pour un langage est un ensemble d'axiomes et de règles conçus pour prouver exactement les arguments valides statables dans le langage. Créer une telle logique peut être une tâche difficile. Le logicien doit s'assurer que le système est sain, c'est-à-dire que chaque argument prouvé en utilisant les règles et les axiomes est en fait valide. De plus, le système doit être complet, ce qui signifie que chaque argument valide a une preuve dans le système. Démontrer la solidité et l'exhaustivité des systèmes formels est la préoccupation centrale d'un logicien.

Une telle démonstration ne peut démarrer tant que le concept de validité n'est pas défini de manière rigoureuse. La sémantique formelle d'une logique fournit une définition de la validité en caractérisant le comportement de vérité des phrases du système. En logique propositionnelle, la validité peut être définie à l'aide de tables de vérité. Un argument valide est simplement un argument où chaque ligne de table de vérité qui rend ses prémisses vraies rend également sa conclusion vraie. Cependant, les tables de vérité ne peuvent pas être utilisées pour rendre compte de la validité dans les logiques modales car il n'y a pas de tables de vérité pour des expressions telles que «il est nécessaire que», «il est obligatoire que», etc. (Le problème est que la valeur de vérité de (A) ne détermine pas la valeur de vérité pour (Box A). Par exemple, lorsque (A) est 'Les chiens sont des chiens', (Box A) est vrai, mais quand (A) est 'Les chiens sont des animaux domestiques', (Case A) est faux.) Néanmoins,la sémantique des logiques modales peut être définie en introduisant des mondes possibles. Nous illustrerons la sémantique des mondes possibles pour une logique de nécessité contenant les symboles ({ sim}, / rightarrow), et (Box). Ensuite, nous expliquerons comment la même stratégie peut être adaptée à d'autres logiques de la famille modale.

En logique propositionnelle, une valorisation des phrases atomiques (ou ligne d'une table de vérité) attribue une valeur de vérité ((T) ou (F)) à chaque variable propositionnelle (p). Ensuite, les valeurs de vérité des phrases complexes sont calculées avec des tables de vérité. Dans la sémantique modale, un ensemble (W) de mondes possibles est introduit. Une valuation donne alors une valeur de vérité à chaque variable propositionnelle pour chacun des mondes possibles dans (W). Cela signifie que la valeur attribuée à (p) pour le monde (w) peut différer de la valeur attribuée à (p) pour un autre monde (w ').

La valeur de vérité de la phrase atomique (p) au monde (w) donnée par la valuation (v) peut s'écrire (v (p, w)). Compte tenu de cette notation, les valeurs de vérité ((T) pour vrai, (F) pour faux) de phrases complexes de logique modale pour une valuation donnée (v) (et membre (w) de l'ensemble des mondes (W)) peuvent être définis par les clauses de vérité suivantes. ('ssi' abrégé 'si et seulement si'.)

) tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / text {iff} v (A, w) = F.)) tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / text {iff} v (A, w) = F / text {ou} v (B, w) = T.)) tag {5} v (Box A, w) = T / text {ssi pour chaque monde} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

Les clauses (({ sim})) et ((rightarrow)) décrivent simplement le comportement standard de la table de vérité pour la négation et l'implication matérielle respectivement. D'après (5), (Box A) est vrai (dans un monde (w)) exactement quand (A) est vrai dans tous les mondes possibles. Étant donné la définition de (Diamond), (à savoir, (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) la condition de vérité (5) assure que (Diamond A) est vrai juste au cas où (A) est vrai dans un monde possible. Puisque les clauses de vérité pour (Box) et (Diamond) impliquent les quantificateurs 'all' et 'some' (respectivement), les parallèles de comportement logique entre (Box) et (forall x), et entre (Diamant) et (existe x) notés dans la section 2 seront attendus.

Les clauses (({ sim}), (rightarrow)) et (5) nous permettent de calculer la valeur de vérité de n'importe quelle phrase dans n'importe quel monde sur une évaluation donnée. Une définition de la validité est maintenant imminente. Un argument est 5-valide pour un ensemble donné W (de mondes possibles) si et seulement si chaque évaluation des phrases atomiques qui assigne les prémisses (T) à un monde dans (W) assigne également la conclusion (T) dans le même monde. Un argument est dit 5-valide s'il est valide pour tout ensemble non vide (W) de mondes possibles.

Il a été montré que (mathbf {S5}) est sain et complet pour 5-validité (d'où notre utilisation du symbole '5'). Les 5 arguments valides sont exactement les arguments prouvables dans (mathbf {S5}). Ce résultat suggère que (mathbf {S5}) est la manière correcte de formuler une logique de nécessité.

Cependant, (mathbf {S5}) n'est pas une logique raisonnable pour tous les membres de la famille modale. Dans la logique déontique, la logique temporelle et autres, l'analogue de la condition de vérité (5) n'est clairement pas approprié; en outre, il existe même des conceptions de la nécessité où (5) devrait également être rejeté. Le point est le plus facile à voir dans le cas de la logique temporelle. Ici, les membres de (W) sont des moments de temps, ou des mondes «figés», pour ainsi dire, à un instant. Par souci de simplicité, considérons une logique temporelle future, une logique où (Box A) se lit comme suit: "ce sera toujours le cas". (Nous formulons le système en utilisant (Box) plutôt que le (G) traditionnel afin que les connexions avec d'autres logiques modales soient plus faciles à apprécier.) La clause correcte pour (Box) devrait dire que (Box A) est vrai au temps (w) si (A) est vrai à tout moment dans le futur de (w). Pour restreindre l'attention au futur, la relation (R) (pour «plus tôt que») doit être introduite. Ensuite, la clause correcte peut être formulée comme suit.

) tag {(K)} v (Box A, w) = T / text {iff pour chaque} w ', / text {if} wRw', / text {alors} v (A, w ') = T.)

Cela dit que (Box A) est vrai en (w) juste au cas où (A) est vrai à tout moment après (w).

La validité de cette marque de logique temporelle peut maintenant être définie. Un cadre (langle W, R / rangle) est un couple constitué d'un ensemble non vide (W) (de mondes) et d'une relation binaire (R) sur (W). Un modèle (langle F, v / rangle) se compose d'un cadre (F), et d'une valuation (v) qui attribue des valeurs de vérité à chaque phrase atomique à chaque monde dans (W). Étant donné un modèle, les valeurs de toutes les phrases complexes peuvent être déterminées en utilisant (({ sim}), (rightarrow)) et ((K)). Un argument est (bK) - valide juste au cas où tout modèle dont la valorisation assigne les prémisses (T) à un monde affecte également la conclusion (T) au même monde. Comme le lecteur l'a peut-être deviné à partir de notre utilisation de '(bK)', il a été montré que la logique modale la plus simple (bK) est à la fois saine et complète pour (bK) - validité.

7. Axiomes modaux et conditions sur les cadres

On pourrait supposer de cette discussion que (bK) est la logique correcte lorsque (Box) est lu "ce sera toujours le cas que". Cependant, il y a des raisons de penser que (bK) est trop faible. Une caractéristique logique évidente de la relation (R) (antérieure à) est la transitivité. Si (wRv (w) est antérieur à (v)) et (vRu (v) est antérieur à (u)), alors il s'ensuit que (wRu (w) est antérieur à (u)). Définissons donc un nouveau type de validité qui correspond à cette condition sur (R). Soit un 4-modèle tout modèle dont le cadre (langle W, R / rangle) est tel que (R) est une relation transitive sur (W). Alors un argument est 4-valide ssi tout 4-modèle dont la valorisation assigne (T) aux prémisses d'un monde affecte également (T) à la conclusion dans le même monde. Nous utilisons '4' pour décrire un tel modèle transitif car la logique qui est adéquate (à la fois solide et complète) pour la 4-validité est (mathbf {K4}), la logique qui résulte de l'ajout de l'axiome (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) à (bK).

La transitivité n'est pas la seule propriété que nous pourrions vouloir exiger du cadre (langle W, R / rangle) si (R) doit être lu 'plus tôt que' et (W) est un ensemble de des moments. Une condition (qui n'est que modérément controversée) est qu'il n'y ait pas de dernier moment, c'est-à-dire que pour chaque monde (w) il existe un monde (v) tel que (wRv). Cette condition sur les trames est appelée sérialité. La sérialité correspond à l'axiome ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A), de la même manière que la transitivité correspond à (4). Un (mathbf {D}) - modèle est un (bK) - modèle avec une trame série. A partir du concept de (mathbf {D}) - modéliser la notion correspondante de (mathbf {D}) - la validité peut être définie comme nous l'avons fait dans le cas de la 4-validité. Comme vous l'avez probablement deviné, le système qui est adéquat par rapport à (mathbf {D}) - la validité est (mathbf {KD}),ou (bK) plus ((D)). Non seulement cela, mais le système (mathbf {KD4}) (c'est-à-dire (bK) plus (4) et ((D))) est adéquat par rapport à (mathbf {D4}) - validité, où un modèle (mathbf {D4}) - est un modèle où (langle W, R / rangle) est à la fois série et transitif.

Une autre propriété que nous pourrions souhaiter pour la relation «antérieure à» est la densité, la condition qui dit qu'entre deux moments, nous pouvons toujours en trouver un autre. La densité serait fausse si le temps était atomique, c'est-à-dire s'il y avait des intervalles de temps qui ne pourraient pas être décomposés en parties plus petites. La densité correspond à l'axiome ((C4): / Box / Box A / rightarrow / Box A), l'inverse de (4), donc par exemple, le système (mathbf {KC4}), qui est (bK) plus ((C4)) est adéquat par rapport aux modèles où le cadre (langle W, R / rangle) est dense, et (mathbf {KDC4}), adéquat par rapport aux modèles dont les cadres sont en série et denses, et ainsi de suite.

Chacun des axiomes de logique modale dont nous avons parlé correspond à une condition sur les cadres de la même manière. La relation entre les conditions sur les cadres et les axiomes correspondants est l'un des thèmes centraux de l'étude des logiques modales. Une fois qu'une interprétation de l'opérateur intensional (Box) a été décidée, les conditions appropriées sur (R) peuvent être déterminées pour fixer la notion de validité correspondante. Ceci, à son tour, nous permet de sélectionner le bon ensemble d'axiomes pour cette logique.

Par exemple, considérons une logique déontique, où (Box) est lu «il est obligatoire que». Ici, la vérité de (Box A) n'exige pas la vérité de (A) dans tous les mondes possibles, mais seulement dans un sous-ensemble de ces mondes où les gens font ce qu'ils doivent. Nous voudrons donc également introduire une relation (R) pour ce type de logique, et utiliser la clause de vérité ((K)) pour évaluer (Box A) dans un monde. Cependant, dans ce cas, (R) n'est pas antérieur à. Au lieu de cela, (wRw ') tient juste au cas où le monde (w') serait une variante moralement acceptable de (w), c'est-à-dire un monde que nos actions peuvent provoquer et qui satisfait ce qui est moralement correct, ou juste, ou juste. Sous une telle lecture, il devrait être clair que les cadres pertinents doivent obéir à la sérialité, condition qui exige que chaque monde possible ait une variante moralement acceptable. L'analyse des propriétés recherchées pour (R) montre clairement qu'une logique déontique de base peut être formulée en ajoutant l'axiome ((D)) et à (bK).

Même en logique modale, on peut souhaiter restreindre la gamme des mondes possibles qui sont pertinents pour déterminer si (Case A) est vrai dans un monde donné. Par exemple, je pourrais dire qu'il m'est nécessaire de payer mes factures, même si je sais très bien qu'il existe un monde possible où je ne les paie pas. Dans un discours ordinaire, l'affirmation selon laquelle (A) est nécessaire n'exige pas la vérité de (A) dans tous les mondes possibles, mais seulement dans une certaine classe de mondes que j'ai à l'esprit (par exemple, les mondes où J'évite les pénalités pour défaut de paiement). Afin de fournir un traitement générique de la nécessité, nous devons dire que (Box A) est vrai dans (w) si (A) est vrai dans tous les mondes liés à (w) dans le droit chemin. Donc pour un opérateur (Box) interprété comme une nécessité,nous introduisons une relation correspondante (R) sur l'ensemble des mondes possibles (W), traditionnellement appelée relation d'accessibilité. La relation d'accessibilité (R) entre les mondes (w) et (w ') ssi (w') est possible étant donné les faits de (w). Sous cette lecture pour (R), il devrait être clair que les trames pour la logique modale devraient être réflexives. Il s'ensuit que la logique modale doit être fondée sur (M), le système qui résulte de l'ajout de ((M)) à (bK). Selon exactement comment la relation d'accessibilité est comprise, la symétrie et la transitivité peuvent également être souhaitées.il devrait être clair que les cadres pour la logique modale devraient être réflexifs. Il s'ensuit que la logique modale doit être fondée sur (M), le système qui résulte de l'ajout de ((M)) à (bK). Selon exactement comment la relation d'accessibilité est comprise, la symétrie et la transitivité peuvent également être souhaitées.il devrait être clair que les cadres pour la logique modale devraient être réflexifs. Il s'ensuit que la logique modale doit être fondée sur (M), le système qui résulte de l'ajout de ((M)) à (bK). Selon exactement comment la relation d'accessibilité est comprise, la symétrie et la transitivité peuvent également être souhaitées.

Une liste de certaines des conditions les plus communément discutées sur les cadres et leurs axiomes correspondants ainsi qu'une carte montrant la relation entre les diverses logiques modales se trouvent dans la section suivante.

8. Carte des relations entre les logiques modales

Le diagramme suivant montre les relations entre les logiques modales les plus connues, à savoir les logiques qui peuvent être formées en ajoutant une sélection des axiomes ((D), (M)), (4), ((B)) et (5) à (bK). Une liste de ces axiomes (et d'autres) ainsi que leurs conditions de trame correspondantes se trouve sous le diagramme.

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Schéma des logiques modales

Dans ce graphique, les systèmes sont donnés par la liste de leurs axiomes. Ainsi, par exemple (mathbf {M4B}) est le résultat de l'ajout de ((M)), (4) et ((B)) à (bK). En gras, nous avons indiqué les noms traditionnels de certains systèmes. Lorsque le système (mathbf {S}) apparaît en dessous et / ou à gauche de (mathbf {S} ') connecté par une ligne, alors (mathbf {S}') est une extension de (mathbf {S}). Cela signifie que chaque argument prouvable dans (mathbf {S}) est prouvable dans (mathbf {S} '), mais (mathbf {S}) est plus faible que (mathbf {S} '), c'est-à-dire que tous les arguments prouvables dans (mathbf {S}') ne le sont pas dans (mathbf {S}).

La liste suivante indique les axiomes, leurs noms et les conditions correspondantes sur la relation d'accessibilité (R), pour les axiomes discutés jusqu'ici dans cette entrée d'encyclopédie.

Nom Axiome Condition sur les cadres R est…
((RÉ)) (Boîte A / rightarrow / Diamond A) (existe u wRu) En série
((M)) (Boîte A / rightarrow A) (wRw) Réfléchi
(4) (Box A / rightarrow / Box / Box A) ((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu) Transitif
((B)) (A / rightarrow / Box / Diamond A) (wRv / Rightarrow vRw) Symétrique
(5) (Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu) Euclidienne
((CD)) (Diamond A / rightarrow / Box A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u) Fonctionnel
((Boîte M)) (Box (Box A / rightarrow A)) (wRv / Rightarrow vRv)

Shift

Reflexive

((C4)) (Box / Box A / rightarrow / Box A) (wRv / Rightarrow / existe u (wRu / amp uRv)) Dense
((C)) (Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A) (wRv / amp wRx / Rightarrow / existe u (vRu / amp xRu)) Convergent

Dans la liste des conditions sur les frames, et dans la suite de cet article, les variables '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' et le quantificateur '(existe u)' est compris comme s'étendant sur (W). '&' abrégé 'et' et '(Rightarrow)' abrégé 'si… alors'.

La notion de correspondance entre axiomes et conditions cadres qui est ici en cause a été expliquée dans la section précédente. Lorsque S est une liste d'axiomes et F (S) est l'ensemble correspondant de conditions de trame, alors S correspond à F (S) exactement lorsque le système K + S est adéquat (sain et complet) pour F (S) -validité, c'est-à-dire qu'un argument est prouvable dans K + S ssil est F (S) -valide. Plusieurs notions plus fortes de correspondance entre les axiomes et les conditions de cadre ont émergé dans la recherche sur la logique modale.

9. L'axiome général

La correspondance entre axiomes et conditions sur les cadres peut sembler un peu mystérieuse. Un beau résultat de Lemmon et Scott (1977) explique en grande partie ces relations. Leur théorème concernait des axiomes qui ont la forme suivante:

) tag {(G)} Diamond ^ h / Box ^ i A / rightarrow / Box ^ j / Diamond ^ k A)

Nous utilisons la notation '(Diamant ^ n)' pour représenter (n) diamants dans une ligne, ainsi, par exemple, '(Diamant ^ 3)' abrége une chaîne de trois diamants: '(Diamant / Diamant / Diamant) '. De même, '(Box ^ n)' représente une chaîne de (n) boîtes. Lorsque les valeurs de (h, i, j) et (k) sont toutes 1, nous avons axiome ((C)):

) tag {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

L'axiome ((B)) résulte du réglage de (h) et (i) à 0, et en laissant (j) et (k) 1:

) tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 0 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Pour obtenir (4), nous pouvons mettre (h) et (k) à 0, mettre (i) à 1 et (j) à 2:

) tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 2 / Diamond ^ 0 A)

De nombreux axiomes (mais pas tous) de la logique modale peuvent être obtenus en définissant les bonnes valeurs pour les paramètres dans ((G))

Notre tâche suivante sera de donner la condition sur les trames qui correspond à ((G)) pour une sélection donnée de valeurs pour (h, i, j) et (k). Pour ce faire, nous aurons besoin d'une définition. La composition de deux relations (R) et (R ') est une nouvelle relation (R / circ R') qui se définit comme suit:

[wR / circ R'v / text {ssi pour certains} u, wRu / text {et} uR'v.)

Par exemple, si (R) est la relation d'être un frère, et (R ') est la relation d'être un parent alors (R / circ R') est la relation d'être un oncle, (parce que (w) est l'oncle de (v) iff pour une personne (u), (w) est le frère de (u) et (u) est le parent de (v)). Une relation peut se composer avec elle-même. Par exemple, lorsque (R) est la relation d'être parent, alors (R / circ R) est la relation d'être grand-parent, et (R / circ R / circ R) est la relation de être un arrière-grand-parent. Il sera utile d'écrire '(R ^ n)', pour le résultat de la composition de (R) avec lui-même (n) fois. Donc (R ^ 2) est (R / circ R), et (R ^ 4) est (R / circ R / circ R / circ R). Nous laisserons (R ^ 1) (R), et (R ^ 0) sera la relation d'identité, c'est-à-dire (wR ^ 0 v) iff (w = v).

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat de Scott-Lemmon. C'est que la condition sur les cadres qui correspond exactement à tout axiome de la forme ((G)) est la suivante.

) tag {(hijk) - Convergence} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / existe x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Il est intéressant de voir comment les conditions familières sur (R) résultent de la définition des valeurs pour (h), (i), (j) et (k) en fonction des valeurs de l'axiome correspondant. Par exemple, considérons (5). Dans ce cas (i = 0), et (h = j = k = 1). La condition correspondante est donc

[wRv / amp wRu / Rightarrow / existe x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Nous avons expliqué que (R ^ 0) est la relation d'identité. Donc, si (vR ^ 0 x) alors (v = x). Mais (existe x (v = x / amp uRx)), équivaut à (uRv), et ainsi la condition euclidienne est obtenue:

[(wRv / amp wRu) Flèche droite uRv.)

Dans le cas de l'axiome (4), (h = 0, i = 1, j = 2) et (k = 0). Ainsi, la condition correspondante sur les cadres est

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Flèche droite / existe x (vRx / amp u = x).)

Résoudre les identités cela revient à:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Par la définition de (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (exists x (vRx / amp xRu)), cela revient à:

) existe x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

qui, par la logique des prédicats, équivaut à la transitivité.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Le lecteur peut trouver un exercice agréable pour voir comment les conditions correspondantes tombent de hijk-Convergence lorsque les valeurs des paramètres (h), (i), (j) et (k) sont fixés par d'autres axiomes.

Les résultats de Scott-Lemmon fournissent une méthode rapide pour établir des résultats sur la relation entre les axiomes et leurs conditions de cadre correspondantes. Puisqu'ils ont montré l'adéquation de toute logique qui étend (bK) avec une sélection d'axiomes de la forme ((G)) par rapport aux modèles qui satisfont l'ensemble correspondant de conditions de cadre, ils ont fourni une adéquation «globale» preuves pour la majorité des systèmes de la famille modale. Sahlqvist (1975) a découvert des généralisations importantes du résultat de Scott-Lemmon couvrant une gamme beaucoup plus large de types d'axiomes.

Le lecteur doit cependant être averti que la correspondance nette entre les axiomes et les conditions sur les cadres est atypique. Il y a des conditions sur les cadres qui ne correspondent à aucun axiome, et il y a même des conditions sur les cadres pour lesquelles aucun système n'est adéquat. (Pour un exemple, voir Boolos, 1993, pp.148ff.)

10. Sémantique bidimensionnelle

La sémantique bidimensionnelle est une variante de la sémantique mondiale possible qui utilise deux (ou plus) types de paramètres dans l'évaluation de la vérité, plutôt que des mondes possibles seuls. Par exemple, une logique d'expressions indexicales, telles que «je», «ici», «maintenant», etc., doit intégrer le contexte linguistique (ou le contexte pour faire court). Étant donné un contexte (c = / langle s, p, t / rangle) où (s) est le locuteur, (p) le lieu, et (t) le moment de l'énoncé, alors 'I 'fait référence à (s),' here 'à (p) et' now 'à (t). Donc, dans le contexte (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15h00 CST le 4/3 / (2014 / rangle) 'Je suis ici maintenant' est T iff Jim Garson est à Houston, à 15h00 CST le 2014-04-03.

Dans la sémantique des mondes possibles, la valeur de vérité d'une phrase dépendait du monde dans lequel elle est évaluée. Cependant, les indexicaux apportent une deuxième dimension - nous devons donc généraliser à nouveau. Kaplan (1989) définit le caractère d'une phrase B comme une fonction allant de l'ensemble des contextes (linguistiques) au contenu (ou intension) de B, où le contenu, à son tour, est simplement l'intension de B, c'est-à-dire un fonctionner des mondes possibles aux valeurs de vérité. Ici, l'évaluation de la vérité est doublement dépendante - à la fois des contextes linguistiques et des mondes possibles.

L'une des observations les plus intéressantes de Kaplan est que certaines phrases indexiques sont contingentes, mais en même temps analytiquement vraies. Un exemple est (1).

(1) Je suis ici maintenant

Rien qu'à partir du sens des mots, vous pouvez voir que (1) doit être vrai dans n'importe quel contexte (c = / langle s, p, t / rangle). Après tout, (c) compte comme un contexte linguistique juste au cas où (s) est un locuteur qui est à la place (p) au temps (t). Donc (1) est vrai en (c), et cela signifie que le modèle des valeurs de vérité (1) a le long de la dimension de contexte doit être tout Ts (étant donné que le monde possible est maintenu fixe). Cela suggère que la dimension contextuelle est apte à suivre les connaissances analytiques obtenues à partir de la maîtrise de notre langage. D'un autre côté, la dimension des mondes possibles garde une trace de ce qui est nécessaire. En maintenant le contexte fixe, il y a des mondes possibles où (1) est faux. Par exemple, lorsque (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15h00 CST le 4/3 / (2014 / rangle), (1) échoue à (c) dans un monde possible où Jim Garson est à Boston à 3 ans:00 PM CST le 4/3/2014. Il s'ensuit que «je suis ici maintenant» est une vérité analytique contingente. Par conséquent, la sémantique bidimensionnelle peut gérer des situations où la nécessité et l'analyticité se séparent.

Un autre exemple où l'introduction de deux dimensions est utile est la logique d'un avenir ouvert (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). On emploie ici une structure temporelle où de nombreuses histoires futures possibles s'étendent à partir d'un moment donné. Considérez (2).

(2) Joe ordonnera une bataille navale demain

Si (2) est contingent, alors il y a une histoire possible où la bataille a lieu le lendemain du moment de l'évaluation, et une autre où elle ne se produit pas alors. Donc, pour évaluer (2), vous devez savoir deux choses: quel est le temps t d'évaluation, et laquelle des histoires h qui traversent t est celle à considérer. Ainsi, une phrase dans une telle logique est évaluée à une paire (langle t, h / rangle).

Un autre problème résolu par la sémantique bidimensionnelle est l'interaction entre «maintenant» et d'autres expressions temporelles comme le futur «ce sera le cas que». Il est alors plausible de penser que «maintenant» fait référence au moment de l'évaluation. Nous aurions donc la condition de vérité suivante:

) tag {Maintenant} v (text {Maintenant} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

Cependant, cela ne fonctionnera pas pour des phrases comme (3).

(3) À un moment donné dans le futur, tous ceux qui vivent actuellement seront inconnus

Avec (mathrm {F}) comme opérateur du futur, (3) pourrait être traduit:

) tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx / rightarrow Ux).)

(La traduction correcte ne peut pas être (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)), avec (mathrm {F}) prenant une portée étroite, car (3) le dit est un temps futur où toutes les choses qui vivent maintenant sont inconnues ensemble, non pas que chaque chose vivante sera inconnue dans un temps qui lui est propre). Lorsque les conditions de vérité pour (3) (') sont calculées, en utilisant (Now) et la condition de vérité ((mathrm {F})) pour (mathrm {F}), il s'avère que (3) (') est vrai au temps (u) ssi il y a un temps (t) après (u) tel que tout ce qui vit à (t) (pas (u)!) est inconnu en (t).

) tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} text {iff pendant un certain temps} u / text {plus tard que} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Pour évaluer correctement (3) (') afin qu'il corresponde à ce que nous entendons par (3), nous devons nous assurer que `` maintenant' 'fait toujours référence à l'heure d'origine de l'énoncé lorsque `` maintenant' 'se trouve dans la portée de l'autre des opérateurs temporels tels que F. Par conséquent, nous devons garder une trace de quel temps est le temps d'énoncé ((u)) ainsi que de quel temps est le temps d'évaluation ((t)). Ainsi nos indices prennent la forme d'une paire (langle u, e / rangle), où (u) est le moment de l'énoncé, et (e) est le moment de l'évaluation. Ensuite, la condition de vérité (maintenant) est révisée en (2DNow).

) tag {2DNow} v (text {Now} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} text {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Cela veut dire que le Now (B) est vrai à un instant u d'énonciation et à un instant e d'évaluation à condition que B soit vrai lorsque u est considéré comme le temps d'évaluation. Lorsque les conditions de vérité pour F, (forall) et (rightarrow) sont révisées de manière évidente (ignorez simplement le u dans la paire), (3) (') est vrai en (langle u, e / rangle) à condition qu'il y ait un temps (e ') postérieur à e tel que tout ce qui vit à (u) soit inconnu en (e'). En portant un enregistrement de ce qu'est (u) pendant le calcul de la vérité, nous pouvons toujours fixer la valeur de "maintenant" à l'heure originale de l'énoncé, même si "maintenant" est profondément ancré dans d'autres opérateurs temporels.

Un phénomène similaire se produit dans les logiques modales avec un opérateur d'actualité A (lire «c'est en fait le cas que»). Pour évaluer correctement (4), nous devons garder une trace de quel monde est considéré comme le monde réel (ou réel) ainsi que celui qui est emmené dans le monde de l'évaluation.

(4) Il est possible que tous ceux qui vivent réellement soient inconnus

L'idée de distinguer différentes dimensions du monde possibles en sémantique a eu des applications utiles en philosophie. Par exemple, Chalmers (1996) a présenté des arguments allant de la concevabilité de (disons) zombies à des conclusions dualistes dans la philosophie de l'esprit. Chalmers (2006) a déployé une sémantique bidimensionnelle pour aider à identifier un aspect a priori du sens qui soutiendrait de telles conclusions.

L'idée a également été déployée dans la philosophie du langage. Kripke (1980) a fait valoir que `` l'eau est H2O '' est a posteriori mais néanmoins une vérité nécessaire, car étant donné que l'eau est simplement H20, il n'y a pas de monde possible où CETTE substance est (disons) un élément de base comme le pensaient les Grecs. D'un autre côté, il y a une forte intuition qui si le monde réel avait été quelque peu différent de ce qu'il est, le liquide inodore qui tombe du ciel sous forme de pluie, remplit nos lacs et rivières, etc. aurait parfaitement pu en être un élément. Donc, dans un certain sens, il est concevable que l'eau ne soit pas H20. La sémantique bidimensionnelle fait place à ces intuitions en fournissant une dimension distincte qui suit une conception de l'eau qui met de côté la nature chimique de ce qu'est réellement l'eau. Un tel compte rendu «à contenu restreint» de la signification de «l'eau» peut expliquer comment on peut faire preuve de compétence sémantique dans l'utilisation de ce terme tout en ignorant la chimie de l'eau (Chalmers, 2002).

11. Logiques de prouvabilité

La logique modale a été utile pour clarifier notre compréhension des résultats centraux concernant la prouvabilité dans les fondements des mathématiques (Boolos, 1993). Les logiques de prouvabilité sont des systèmes où les variables propositionnelles (p, q, r), etc. s'étendent sur les formules d'un système mathématique, par exemple le système de Peano (mathbf {PA}) pour l'arithmétique. (Le système choisi pour les mathématiques peut varier, mais supposons qu'il soit (mathbf {PA}) pour cette discussion.) Gödel a montré que l'arithmétique a de forts pouvoirs expressifs. En utilisant des numéros de code pour des phrases arithmétiques, il a pu démontrer une correspondance entre des phrases de mathématiques et des faits sur les phrases qui sont et ne sont pas prouvables dans (mathbf {PA}). Par exemple,il a montré qu'il y a une phrase (C) qui est vraie juste au cas où aucune contradiction n'est prouvable dans (mathbf {PA}) et il y a une phrase (G) (la fameuse phrase de Gödel) qui est true juste au cas où cela ne serait pas prouvable dans (mathbf {PA}).

Dans les logiques de prouvabilité, (Box p) est interprété comme une formule (d'arithmétique) qui exprime que ce que (p) dénote est prouvable dans (mathbf {PA}). En utilisant cette notation, des phrases de logique de prouvabilité expriment des faits sur la prouvabilité. Supposons que (bot) soit une constante de logique de prouvabilité dénotant une contradiction. Alors ({ sim} Box / bot) dit que (mathbf {PA}) est cohérent et (Box A / rightarrow A) dit que (mathbf {PA}) est sain en ce sens que quand il prouve que (A, A) est bien vrai. De plus, la boîte peut être itérée. Ainsi, par exemple, (Box { sim} Box / bot) prétend de manière douteuse que (mathbf {PA}) est capable de prouver sa propre cohérence, et ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) affirme (correctement comme Gödel l'a prouvé) que si (mathbf {PA}) est cohérent alors (mathbf {PA}) est incapable de prouver sa propre cohérence.

Bien que les logiques de prouvabilité forment une famille de systèmes connexes, le système (mathbf {GL}) est de loin le plus connu. Il résulte de l'ajout de l'axiome suivant à (bK):

) tag {(GL)} Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A)

L'axiome (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) est prouvable dans (mathbf {GL}), donc (mathbf {GL}) est en fait un renforcement de (mathbf {K4}). Cependant, les axiomes tels que ((M): / Box A / rightarrow A), et même le plus faible ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A) ne sont pas disponibles (ni souhaitables) dans (mathbf {GL}). Dans la logique de la prouvabilité, la prouvabilité ne doit pas être traitée comme une marque de nécessité. La raison en est que lorsque (p) est prouvable dans un système arbitraire (mathbf {S}) pour les mathématiques, il ne s'ensuit pas que (p) est vrai, puisque (mathbf {S}) peut être défectueux. De plus, si (p) est prouvable dans (mathbf {S} (Box p)) il n'est même pas nécessaire de suivre que ({ sim} p) manque de preuve (({ sim} Box { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) pourrait être incohérent et ainsi prouver à la fois (p) et ({ sim} p).

Axiom ((GL)) capture le contenu du théorème de Loeb, un résultat important dans les fondements de l'arithmétique. (Box A / rightarrow A) dit que (mathbf {PA}) est son pour (A), c'est-à-dire que si (A) était prouvé, A serait vrai. (Une telle réclamation peut ne pas être sécurisée pour un système sélectionné arbitrairement (mathbf {S}), car A pourrait être prouvable dans (mathbf {S}) et false.) ((GL)) claims que si (mathbf {PA}) parvient à prouver la phrase qui revendique la justesse d'une phrase donnée (A), alors (A) est déjà prouvable dans (mathbf {PA}). Le théorème de Loeb rapporte une sorte de modestie de la part de (mathbf {PA}) (Boolos, 1993, p. 55). (mathbf {PA}) n'insiste jamais (prouve) qu'une preuve de (A) implique la vérité de (A), à moins qu'il n'ait déjà une preuve de (A) pour sauvegarder cette affirmation.

Il a été montré que (mathbf {GL}) est adéquat pour la prouvabilité dans le sens suivant. Supposons qu'une phrase de (mathbf {GL}) soit toujours prouvable exactement quand la phrase d'arithmétique qu'elle dénote est prouvable quelle que soit la façon dont ses variables reçoivent des valeurs pour des phrases de (mathbf {PA}). Alors les phrases prouvables de (mathbf {GL}) sont exactement les phrases qui sont toujours prouvables. Ce résultat d'adéquation a été extrêmement utile, car les questions générales concernant la prouvabilité dans (mathbf {PA}) peuvent être transformées en questions plus faciles sur ce qui peut être démontré dans (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) peut également être équipé d'une sémantique mondiale possible pour laquelle il est sain et complet. Une condition correspondante sur les trames pour la validité de (mathbf {GL}) est que la trame soit transitive, finie et irréfléchie.

12. Logique modale avancée

Les applications de la logique modale aux mathématiques et à l'informatique sont devenues de plus en plus importantes. La logique de la preuve n'est qu'un exemple de cette tendance. Le terme «logique modale avancée» fait référence à une tradition de recherche en logique modale qui est particulièrement bien représentée dans les départements de mathématiques et d'informatique. Cette tradition a été intégrée dans l'histoire de la logique modale depuis ses débuts (Goldblatt, 2006). La recherche sur les relations avec la topologie et les algèbres représente certains des tout premiers travaux techniques sur la logique modale. Cependant, le terme «logique modale avancée» fait généralement référence à une deuxième vague de travaux effectués depuis le milieu des années 1970. Quelques exemples des nombreux sujets intéressants traités incluent des résultats sur la décidabilité (s'il est possible de calculer si une formule d'une logique modale donnée est un théorème) et la complexité (les coûts en temps et en mémoire nécessaires pour calculer de tels faits sur les logiques modales).

13. Bisimulation

La bisimulation fournit un bon exemple des interactions fructueuses qui se sont développées entre la logique modale et l'informatique. En informatique, les systèmes de transition étiquetés (LTS) sont couramment utilisés pour représenter les voies de calcul possibles lors de l'exécution d'un programme. Les LTS sont des généralisations de trames de Kripke, constituées d'un ensemble (W) d'états, et d'une collection de (i) - relations d'accessibilité (R_i), une pour chaque processus informatique (i). Intuitivement, (wR_i w ') tient exactement quand (w') est un état qui résulte de l'application du processus (i) à l'état (w).

Le langage de la logique poly-modale ou dynamique introduit une collection d'opérateurs modaux (Box_i), un pour chaque programme (i) (Harel, 1984). Alors (Box_i) A déclare que la phrase (A) tient dans chaque résultat de l'application de (i). Ainsi, des idées comme l'exactitude et la réussite des programmes peuvent être exprimées dans cette langue. Les modèles pour un tel langage sont comme les modèles Kripke, sauf que les LTS sont utilisés à la place des cadres. Une bisimulation est une relation de contrepartie entre les états de deux tels modèles de telle sorte qu'exactement les mêmes variables propositionnelles sont vraies dans les états de contrepartie, et chaque fois que le monde (v) est (i) - accessible à partir de l'un des deux états de contrepartie, alors le l'autre contrepartie porte la relation d'accessibilité (i) avec une contrepartie de (v). En bref,la (i) - structure d'accessibilité que l'on peut «voir» à partir d'un état donné imite ce que l'on voit d'un homologue. La bisimulation est une notion plus faible que l'isomorphisme (une relation de bisimulation n'a pas besoin d'être 1-1), mais elle est suffisante pour garantir l'équivalence dans le traitement.

Dans les années 1970, une version de la bisimulation avait déjà été développée par les logiciens modaux pour aider à mieux comprendre la relation entre les axiomes de logique modale et leurs conditions correspondantes sur les cadres de Kripke. La sémantique de Kripke fournit une base pour traduire les axiomes modaux en phrases d'un langage du second ordre où la quantification est autorisée sur des lettres de prédicat à une place (P). Remplacez les métavariables (A) par des phrases ouvertes (Px), traduisez (Box Px) en (forall y (Rxy / rightarrow Py)) et fermez les variables libres (x) et le prédicat lettres (P) avec des quantificateurs universels. Par exemple, la traduction logique du prédicat du schéma axiome (Box A / rightarrow A) revient à (forall P / forall x) forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Compte tenu de cette traduction, on peut instancier la variable (P) en un prédicat arbitraire à une place,par exemple au prédicat (Rx) dont l'extension est l'ensemble de tous les mondes w tels que (Rxw) pour une valeur donnée de (x). Alors on obtient (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], qui se réduit à (forall xRxx), puisque (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) est une tautologie. Ceci éclaire la correspondance entre (Box A / rightarrow A) et la réflexivité des cadres ((forall xRxx)). Des résultats similaires sont valables pour de nombreux autres axiomes et conditions de cadre. L '«effondrement» des conditions axiomatiques du second ordre en conditions de trame du premier ordre est très utile pour obtenir des résultats d'exhaustivité pour les logiques modales. Par exemple, c'est l'idée centrale derrière les élégants résultats de Sahlqvist (1975). Alors on obtient (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], qui se réduit à (forall xRxx), puisque (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) est une tautologie. Ceci éclaire la correspondance entre (Box A / rightarrow A) et la réflexivité des cadres ((forall xRxx)). Des résultats similaires sont valables pour de nombreux autres axiomes et conditions de cadre. L '«effondrement» des conditions axiomatiques du second ordre en conditions de trame du premier ordre est très utile pour obtenir des résultats d'exhaustivité pour les logiques modales. Par exemple, c'est l'idée centrale derrière les élégants résultats de Sahlqvist (1975). Alors on obtient (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], qui se réduit à (forall xRxx), puisque (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) est une tautologie. Ceci éclaire la correspondance entre (Box A / rightarrow A) et la réflexivité des cadres ((forall xRxx)). Des résultats similaires sont valables pour de nombreux autres axiomes et conditions de cadre. L '«effondrement» des conditions axiomatiques du second ordre en conditions de trame du premier ordre est très utile pour obtenir des résultats d'exhaustivité pour les logiques modales. Par exemple, c'est l'idée centrale derrière les élégants résultats de Sahlqvist (1975). Des résultats similaires sont valables pour de nombreux autres axiomes et conditions de cadre. L '«effondrement» des conditions axiomatiques du second ordre en conditions de trame du premier ordre est très utile pour obtenir des résultats d'exhaustivité pour les logiques modales. Par exemple, c'est l'idée centrale derrière les élégants résultats de Sahlqvist (1975). Des résultats similaires sont valables pour de nombreux autres axiomes et conditions de cadre. L '«effondrement» des conditions axiomatiques du second ordre en conditions de trame du premier ordre est très utile pour obtenir des résultats d'exhaustivité pour les logiques modales. Par exemple, c'est l'idée centrale derrière les élégants résultats de Sahlqvist (1975).

Mais quand la traduction du second ordre d'un axiome se réduit-elle à une condition du premier ordre sur (R) de cette manière? Dans les années 1970, van Benthem a montré que cela se produit si le maintien de la traduction dans un modèle entraîne son maintien dans un modèle bisimulaire, où deux modèles sont bisimulaires ssi il y a une bisimulation entre eux dans le cas particulier où il y a une seule relation d'accessibilité. Ce résultat se généralise facilement au cas poly-modal (Blackburn et. Al., 2001, p. 103). Cela suggère que la logique poly-modale se situe exactement au bon niveau d'abstraction pour décrire et raisonner sur le calcul et d'autres processus. (Après tout, ce qui compte vraiment, c'est la préservation des valeurs de vérité des formules dans les modèles plutôt que les détails plus fins des structures du cadre. En outre, la traduction implicite de ces logiques en fragments bien compris de la logique des prédicats fournit une mine d'informations intéressantes pour les informaticiens. En conséquence, un domaine de recherche fructueux en informatique s'est développé avec la bisimulation comme idée centrale (Ponse et al. 1995).

14. Logique modale et jeux

L'interaction entre la théorie des jeux et la logique modale est un nouveau domaine de recherche florissant (van der Hoek et Pauly, 2007; van Benthem, 2011, Ch.10 et 2014). Ce travail a des applications intéressantes pour comprendre la coopération et la concurrence entre les agents à mesure que les informations dont ils disposent évoluent.

Le dilemme du prisonnier illustre certains des concepts de la théorie des jeux qui peuvent être analysés à l'aide de la logique modale. Imaginez deux joueurs qui choisissent de coopérer ou de tricher. Si les deux coopèrent, ils obtiennent tous les deux une récompense de 3 points, s'ils trichent tous les deux, ils n'obtiennent rien, et si l'un coopère et l'autre triche, le tricheur gagne 5 points et le coopérateur n'obtient rien. Si les deux joueurs sont altruistes et motivés à maximiser la somme de leurs récompenses, ils coopéreront tous les deux, car c'est le mieux qu'ils puissent faire ensemble. Cependant, ils sont tous les deux tentés de tricher pour augmenter leur propre récompense de 3 à 5. D'un autre côté, s'ils sont rationnels, ils peuvent reconnaître que s'ils trompent leur adversaire menace de tricher et de les laisser sans rien. La coopération est donc la meilleure solution face à cette menace. Et si chacun pense que l'autre s'en rend compte, ils peuvent être motivés à coopérer. Une version étendue (ou itérée) de ce jeu donne aux joueurs plusieurs mouvements, c'est-à-dire des opportunités répétées de jouer et de collecter des récompenses. Si les joueurs ont des informations sur l'historique des mouvements et leurs résultats, de nouvelles préoccupations entrent en jeu, car le succès dans le jeu dépend de la connaissance de la stratégie de leur adversaire et de la détermination (par exemple) du moment où on peut lui faire confiance pour ne pas tricher. Dans les versions multi-joueurs du jeu, où les joueurs sont tirés par paires à partir d'un pool plus grand à chaque coup, sa meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)Une version étendue (ou itérée) de ce jeu donne aux joueurs plusieurs mouvements, c'est-à-dire des opportunités répétées de jouer et de collecter des récompenses. Si les joueurs ont des informations sur l'historique des mouvements et leurs résultats, de nouvelles préoccupations entrent en jeu, car le succès dans le jeu dépend de la connaissance de la stratégie de leur adversaire et de la détermination (par exemple) du moment où on peut lui faire confiance pour ne pas tricher. Dans les versions multi-joueurs du jeu, où les joueurs sont tirés par paires à partir d'un pool plus grand à chaque coup, sa meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)Une version étendue (ou itérée) de ce jeu donne aux joueurs plusieurs mouvements, c'est-à-dire des opportunités répétées de jouer et de collecter des récompenses. Si les joueurs ont des informations sur l'historique des mouvements et leurs résultats, de nouvelles préoccupations entrent en jeu, car le succès dans le jeu dépend de la connaissance de la stratégie de leur adversaire et de la détermination (par exemple) du moment où on peut lui faire confiance pour ne pas tricher. Dans les versions multi-joueurs du jeu, où les joueurs sont tirés par paires à partir d'un pool plus grand à chaque coup, sa meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)Si les joueurs ont des informations sur l'historique des mouvements et leurs résultats, de nouvelles préoccupations entrent en jeu, car le succès dans le jeu dépend de la connaissance de la stratégie de leur adversaire et de la détermination (par exemple) du moment où on peut lui faire confiance pour ne pas tricher. Dans les versions multi-joueurs du jeu, où les joueurs sont tirés par paires à partir d'un pool plus grand à chaque coup, sa propre meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)Si les joueurs ont des informations sur l'historique des mouvements et leurs résultats, de nouvelles préoccupations entrent en jeu, car le succès dans le jeu dépend de la connaissance de la stratégie de leur adversaire et de la détermination (par exemple) du moment où on peut lui faire confiance pour ne pas tricher. Dans les versions multi-joueurs du jeu, où les joueurs sont tirés par paires à partir d'un pool plus grand à chaque coup, sa meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)sa meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)sa meilleure stratégie peut bien dépendre de la capacité de reconnaître ses adversaires et les stratégies qu'ils ont adoptées. (Voir Grim et al., 1998 pour une recherche fascinante sur les dilemmes du prisonnier interagi.)

Dans des jeux comme les échecs, les joueurs font leurs mouvements à tour de rôle et leurs adversaires peuvent voir les mouvements effectués. Si nous adoptons la convention selon laquelle les joueurs dans une partie effectuent leurs mouvements à tour de rôle, alors le dilemme du prisonnier itéré est un jeu avec des informations manquantes sur l'état du jeu - le joueur avec le deuxième tour manque d'informations sur le dernier coup de l'autre joueur.. Cela illustre l'intérêt des jeux avec des informations imparfaites.

L'application des jeux à la logique a une longue histoire. Une application influente avec des implications importantes pour la linguistique est la sémantique théorique des jeux (GTS) (Hintikka et al. 1983), où la validité est définie par le résultat d'un jeu entre deux joueurs, l'un essayant de vérifier et l'autre essayant de falsifier une formule donnée.. GTS a des ressources beaucoup plus solides que la sémantique standard de style Tarski, car elle peut être utilisée (par exemple) pour expliquer comment le sens évolue dans un discours (une séquence de phrases).

Cependant, le travail sur les jeux et la logique modale qui sera décrit ici est quelque peu différent. Au lieu d'utiliser des jeux pour analyser la sémantique d'une logique, les logiques modales en cause sont utilisées pour analyser les jeux. La structure des jeux et de leur jeu est très riche, car elle implique la nature du jeu lui-même (les mouvements autorisés et les récompenses pour les résultats), les stratégies (qui sont des séquences de mouvements dans le temps) et le flux d'informations disponible pour les joueurs au fur et à mesure que le jeu progresse. Par conséquent, le développement de la logique modale pour les jeux s'appuie sur des fonctionnalités trouvées dans des logiques impliquant des concepts tels que le temps, l'agence, les préférences, les objectifs, les connaissances, les croyances et la coopération.

Pour donner un aperçu de cette variété, voici une description limitée de certains des opérateurs modaux qui apparaissent dans l'analyse des jeux et de certaines des choses qui peuvent être exprimées avec eux. L'idée de base de la sémantique est qu'un jeu se compose d'un ensemble de joueurs 1, 2, 3,… et d'un ensemble de W d'états de jeu. Pour chaque joueur i, il existe une relation d'accessibilité (R_i) comprise pour que (sR_i t) soit valable pour les états (s) et (t) ssi le jeu est arrivé à l'état (s) player (i) a la possibilité de faire un mouvement qui aboutit à (t). Cet ensemble de relations définit un arbre dont les branches définissent chaque séquence possible de mouvements dans le jeu. La sémantique attribue également des valeurs de vérité aux atomes qui gardent une trace des gains. Ainsi, par exemple dans un jeu comme Chess, il pourrait y avoir un atome (win_i) tel que (v (win_i,s) = T) ssi l'état s est une victoire pour le joueur (i). Les opérateurs de modèle (Box_i) et (Diamond_i) pour chaque joueur i peuvent alors être définis comme suit.

) begin {align *} v (Box_i A, s) & = T / text {iff for all} t / text {in} W, / text {if} sR_i t, / text {then} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / text {ssi pour certains} t / text {in} W, sR_i t / text {et} v (A, t) = T. / end {align *})

Donc (Box_i A) ((Diamond_i A)) est vrai en s à condition que la phrase (A) soit vraie dans chaque (certains) état que (i) peut choisir dans l'état (s). Étant donné que (bot) est une contradiction (donc ({ sim} bot) est une tautologie), (Diamond_i { sim} bot) est vrai à un état où il est (c'est au tour de moi de bouger. Pour une partie à deux joueurs (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) est vrai pour un état qui termine la partie, car ni 1 ni 2 ne peuvent bouger. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) affirme que le joueur 1 a une perte parce que quoi que 1 fasse à partir de l'état actuel, 2 peut gagner dans le coup suivant.

Pour un compte rendu plus général des gains du joueur, les relations d'ordre (leq_i) peuvent être définies sur les états de sorte que (s / leq_i t) signifie que le gain de (i) pour (t) est au moins aussi bon que celui de (s). Une autre généralisation est d'exprimer des faits sur des séquences (q) de coups, en introduisant des opérateurs interprétés par des relations (sR_q t) indiquant que la séquence (q) à partir de s arrive finalement à (t). Avec ces ressources et les ressources associées, il est possible d'exprimer (par exemple) que q est la meilleure stratégie de (i) étant donné l'état actuel.

Il est crucial pour l'analyse des jeux d'avoir un moyen d'exprimer les informations disponibles pour les joueurs. Une manière d'y parvenir est d'emprunter des idées à la logique épistémique. Ici, nous pouvons introduire une relation d'accessibilité ({ sim} _i) pour chaque joueur telle que (s { sim} _i t) tient si (i) ne peut pas faire la distinction entre les états (s) et (t). Ensuite, les opérateurs de connaissance (rK_i) pour les joueurs peuvent être définis de sorte que (rK_i A) dise en (s) que (A) tient dans tous les mondes que (i) peut distinguer de (s); c'est-à-dire que, malgré l'ignorance de (i) sur l'état du jeu, il / elle peut toujours être sûr que (A). Les opérateurs (rK) peuvent être utilisés pour dire que le joueur 1 est en mesure de démissionner, car il sait que 2 voit qu'elle a une victoire: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Étant donné que les informations du joueur varient au fur et à mesure que le jeu progresse, il est utile de penser aux mouvements du jeu comme indexés par temps, et d'introduire les opérateurs (O) et (U) à partir de la logique tendue pour 'suivant' et 'jusqu'à'. Alors (K_i OA / rightarrow OK_i A) exprime que le joueur (i) a un «rappel parfait», c'est-à-dire que lorsque (i) sait que (A) arrive ensuite, alors au moment suivant (i) n'a pas oublié que (A) s'est produit. Cela illustre comment les logiques modales des jeux peuvent refléter des idéalisations cognitives et le succès (ou l'échec) d'un joueur à les respecter.

Le côté technique des logiques modales pour les jeux est difficile. Le projet d'identification de systèmes de règles solides et complets pour un langage contenant une grande collection d'opérateurs peut être guidé par des recherches antérieures, mais les interactions entre la variété des relations d'accessibilité suscitent de nouvelles préoccupations. En outre, la complexité de calcul de divers systèmes et de leurs fragments est un vaste paysage largement inexploré.

Les concepts de la théorie des jeux peuvent être appliqués d'une étonnante variété de manières - de la vérification d'un argument de validité à la réussite dans l'arène politique. Il existe donc de fortes motivations pour formuler des logiques capables de gérer les jeux. Ce qui est frappant dans cette recherche, c'est le pouvoir que l'on obtient en tissant ensemble des logiques de temps, d'agence, de connaissance, de croyance et de préférence dans un cadre unifié. Les leçons tirées de cette intégration ont une valeur bien au-delà de ce qu'elles contribuent à la compréhension des jeux.

15. Quantificateurs en logique modale

Il semblerait simple d'équiper une logique modale avec les quantificateurs (forall) (all) et (exists) (some). On ajouterait simplement les règles standard (ou classiques) pour les quantificateurs aux principes de la logique modale propositionnelle choisie. Cependant, l'ajout de quantificateurs à la logique modale implique un certain nombre de difficultés. Certains d'entre eux sont philosophiques. Par exemple, Quine (1953) a fait valoir que la quantification dans des contextes modaux est tout simplement incohérente, une vision qui a engendré une gigantesque littérature. Les plaintes de Quine ne portent pas le poids qu'elles avaient autrefois. Voir Barcan (1990) pour un bon résumé, et notez Kripke (2017) (écrit dans les années 60 pour une classe avec Quine) qui fournit un argument formel fort qu'il ne peut y avoir rien de mal à «quantifier dans».

Un deuxième type de complication est d'ordre technique. Il existe une grande variété dans les choix que l'on peut faire dans la sémantique de la logique modale quantifiée et la preuve qu'un système de règles est correct pour un choix donné peut être difficile. Les travaux de Corsi (2002) et Garson (2005) vont dans une certaine mesure vers l'unité de ce terrain, et Johannesson (2018) introduit des contraintes qui contribuent à réduire le nombre d'options; néanmoins, la situation reste difficile.

Une autre complication est que certains logiciens pensent que la modalité nécessite d'abandonner les règles de quantification classiques au profit des règles plus faibles de la logique libre (Garson 2001). Les principaux points de désaccord concernant les règles de quantification remontent aux décisions sur la manière de traiter le domaine de la quantification. L'alternative la plus simple, l'approche du domaine fixe (parfois appelée possibiliste), suppose un seul domaine de quantification qui contient tous les objets possibles. D'un autre côté, l'interprétation relative au monde (ou actualiste) suppose que le domaine de la quantification change d'un monde à l'autre et ne contient que les objets qui existent réellement dans un monde donné.

L'approche du domaine fixe ne nécessite aucun ajustement majeur de la machine classique pour les quantificateurs. Les logiques modales adéquates pour la sémantique à domaine fixe peuvent généralement être axiomatisées en ajoutant les principes d'une logique modale propositionnelle aux règles de quantification classiques avec la formule de Barcan ((BF)) (Barcan 1946). (Pour un compte rendu de quelques exceptions intéressantes, voir Cresswell (1995)).

) tag {(BF)} forall x / Box A / rightarrow / Box / forall xA.)

L'interprétation du domaine fixe présente des avantages de simplicité et de familiarité, mais elle ne fournit pas de compte rendu direct de la sémantique de certaines expressions quantificateurs du langage naturel. Nous ne pensons pas que «il existe un homme qui a signé la déclaration d'indépendance» soit vrai, du moins pas si nous lisons «existe» au présent. Néanmoins, cette phrase était vraie en 1777, ce qui montre que le domaine de l'expression du langage naturel «il existe un homme qui» change pour refléter quels hommes existent à des moments différents. Un problème connexe est que sur l'interprétation du domaine fixe, la phrase (forall y / Box / exists x (x = y)) est valide. En supposant que (existe x (x = y)) est lu: (y) existe, (forall y / Box / exists x (x = y)) dit que tout existe nécessairement. cependant,il semble qu'une caractéristique fondamentale des idées communes sur la modalité soit que l'existence de beaucoup de choses soit contingente et que différents objets existent dans différents mondes possibles.

Le défenseur de l'interprétation du domaine fixe peut répondre à ces objections en insistant sur le fait que dans sa lecture des quantificateurs, le domaine de la quantification contient tous les objets possibles, et pas seulement les objets qui se trouvent exister dans un monde donné. Ainsi le théorème (forall y / Box / exists x (x = y)) fait l'affirmation anodine que chaque objet possible se trouve nécessairement dans le domaine de tous les objets possibles. De plus, ces expressions quantificateurs du langage naturel dont le domaine dépend du monde (ou du temps) peuvent être exprimées en utilisant le quantificateur à domaine fixe (existe x) et une lettre de prédicat (E) avec la lecture «existe réellement». Par exemple, au lieu de traduire "Certains (M) an existe qui (S) a ignoré la déclaration d'indépendance" par

) existe x (Mx / amp Sx),)

le défenseur des domaines fixes peut écrire:

) existe x (Ex / amp Mx / amp Sx),)

garantissant ainsi que la traduction est considérée comme fausse à l'heure actuelle. Cresswell (1991) fait l'observation intéressante que la quantification relative au monde a un pouvoir expressif limité par rapport à la quantification à domaine fixe. La quantification relative au monde peut être définie avec des quantificateurs à domaine fixe et (E), mais il n'y a aucun moyen d'exprimer pleinement les quantificateurs à domaine fixe avec des quantificateurs relatifs au monde. Bien que cela plaide en faveur de l'approche classique de la logique modale quantifiée, la tactique de traduction équivaut également à une sorte de concession en faveur de la logique libre, car les quantificateurs relatifs au monde ainsi définis obéissent exactement aux règles de la logique libre.

Un problème avec la stratégie de traduction utilisée par les défenseurs de la quantification à domaine fixe est que le rendu de l'anglais en logique est moins direct, car (E) doit être ajouté à toutes les traductions de toutes les phrases dont les expressions de quantification ont des domaines qui dépendent du contexte. Une objection plus sérieuse à la quantification en domaine fixe est qu'elle dépouille le quantificateur d'un rôle que Quine lui a recommandé, à savoir enregistrer un engagement ontologique robuste. Dans cette vue, le domaine de (existe x) ne doit contenir que des entités qui sont ontologiquement respectables, et les objets possibles sont trop abstraits pour être qualifiés. Les actualistes de cette bande voudront développer la logique d'un quantificateur (existe x) qui reflète l'engagement à ce qui est réel dans un monde donné plutôt qu'à ce qui est simplement possible.

Cependant, certains travaux sur l'actualisme (Menzel, 1990) tendent à saper cette objection. Par exemple, Linsky et Zalta (1994) et Williamson, (2013) soutiennent que le quantificateur à domaine fixe peut recevoir une interprétation parfaitement acceptable pour les actualistes. Pavone (2018) soutient même que sur l'interprétation haecceitiste, qui quantifie les essences individuelles, des domaines fixes sont nécessaires. Les actualistes qui emploient la sémantique des mondes possibles quantifient régulièrement les mondes possibles dans leur théorie sémantique du langage. Il semblerait donc que les mondes possibles soient réels par les lumières de ces actualistes. En peuplant le domaine d'entités abstraites pas plus répréhensibles que les mondes possibles, les actualistes peuvent justifier la formule de Barcan et les principes classiques.

Notez cependant que certains actualistes peuvent répondre qu'ils n'ont pas besoin de s'engager dans la réalité des mondes possibles tant qu'il est entendu que les quantificateurs utilisés dans leur théorie du langage n'ont pas une forte valeur ontologique. De plus, Hayaki (2006) soutient que la quantification sur des entités abstraites est en fait incompatible avec toute forme sérieuse d'actualisme. Dans tous les cas, il est loisible aux actualistes (et aux non actualistes aussi) d'étudier la logique des quantificateurs avec des domaines plus robustes, par exemple des domaines excluant les mondes possibles et d'autres entités abstraites de ce type, et ne contenant que les détails spatio-temporels trouvés dans un monde donné. Pour des quantificateurs de ce type, des domaines relatifs au monde sont appropriés.

De telles considérations motivent l'intérêt pour les systèmes qui reconnaissent la dépendance contextuelle de la quantification en introduisant des domaines relatifs au monde. Ici, chaque monde possible a son propre domaine de quantification (l'ensemble des objets qui existent réellement dans ce monde), et les domaines varient d'un monde à l'autre. Lorsque cette décision est prise, une difficulté surgit pour la théorie de la quantification classique. Notez que la phrase (existe x (x = t)) est un théorème de la logique classique, et donc (Box / existe x (x = t)) est un théorème de (bK) par la règle de nécessité. Laissez le terme (t) représenter Saul Kripke. Alors ce théorème dit qu'il faut que Saul Kripke existe, pour qu'il soit dans le domaine de tous les mondes possibles. Toute la motivation de l'approche relative au monde était de refléter l'idée que les objets dans un monde peuvent ne pas exister dans un autre. Si des règles de quantification standard sont utilisées, cependant, chaque terme (t) doit faire référence à quelque chose qui existe dans tous les mondes possibles. Cela semble incompatible avec notre pratique habituelle d'utiliser des termes pour désigner des choses qui n'existent que de manière contingente.

Une réponse à cette difficulté est simplement d'éliminer les termes. Kripke (1963) donne un exemple de système qui utilise l'interprétation relative au monde et préserve les règles classiques. Cependant, les coûts sont élevés. Premièrement, son langage est artificiellement appauvri, et deuxièmement, les règles de la logique modale propositionnelle doivent être affaiblies.

En supposant que nous aimerions un langage qui inclut des termes, et que des règles classiques soient ajoutées aux systèmes standard de logique modale propositionnelle, un nouveau problème se pose. Dans un tel système, il est possible de prouver ((CBF)), l'inverse de la formule de Barcan.

) tag {(CBF)} Box / forall xA / rightarrow / forall x / Box A.)

Ce fait a de graves conséquences sur la sémantique du système. Il n'est pas difficile de montrer que chaque modèle relatif au monde de ((CBF)) doit remplir la condition ((ND)) (pour les 'domaines imbriqués').

((ND)) Si (wRv) alors le domaine de (w) est un sous-ensemble du domaine de (v)

Cependant ((ND)) entre en conflit avec le point d'introduire des domaines relatifs au monde. L'idée générale était que l'existence des objets est contingente de sorte qu'il y ait des mondes possibles accessibles où l'une des choses de notre monde échoue.

Une solution simple à ces problèmes est d'abandonner les règles classiques pour les quantificateurs et d'adopter des règles pour la logique libre ((mathbf {FL})) à la place. Les règles de (mathbf {FL}) sont les mêmes que les règles classiques, sauf que les inférences de (forall xRx) (tout est réel) à (Rp) (Pegasus est réel) sont bloquées. Cela se fait en introduisant un prédicat '(E)' (pour 'existe réellement') et en modifiant la règle d'instanciation universelle. A partir de (forall xRx) on n'est autorisé à obtenir (Rp) que si on a également obtenu (Ep). En supposant que le quantificateur universel (forall x) est primitif et que le quantificateur existentiel (existe x) est défini par (exists xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), alors (mathbf {FL}) peut être construit en ajoutant les deux principes suivants aux règles de la logique propositionnelle

Généralisation universelle.

Si (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) est un théorème, il en est de même pour (B / rightarrow / forall xA (x)).

Instanciation universelle.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Ici, on suppose que (A (x)) est une formule bien formée de logique de prédicat, et que (A (y)) et (A (n)) résultent du remplacement de (y) et (n) correctement pour chaque occurrence de (x) dans (A (x)).) Notez que l'axiome d'instanciation est restreint par la mention de (En) dans l'antécédent. La règle de généralisation universelle est modifiée de la même manière. Dans (mathbf {FL}), des preuves de formules comme (existe x / Box (x = t)), (forall y / Box / existe x (x = y)), ((CBF)) et ((BF)), qui semblent incompatibles avec l'interprétation relative au monde, sont bloqués.

Une objection philosophique à (mathbf {FL}) est que (E) semble être un prédicat d'existence, et beaucoup diront que l'existence n'est pas une propriété légitime comme être vert ou peser plus de quatre livres. Ainsi, les philosophes qui rejettent l'idée que l'existence est un prédicat peuvent s'opposer à (mathbf {FL}). Cependant, dans la plupart des logiques modales quantifiées (mais pas toutes) qui incluent l'identité ((=)), ces préoccupations peuvent être contournées en définissant (E) comme suit.

[Et = _ {df} existe x (x = t).)

La manière la plus générale de formuler une logique modale quantifiée est de créer (mathbf {FS}) en ajoutant les règles de (mathbf {FL}) à une logique modale propositionnelle (mathbf {S}). Dans les situations où une quantification classique est souhaitée, on peut simplement ajouter (Et) comme axiome à (mathbf {FS}), de sorte que les principes classiques deviennent des règles dérivables. Des résultats d'adéquation pour de tels systèmes peuvent être obtenus pour la plupart des choix de la logique modale (mathbf {S}), mais il y a des exceptions.

Une dernière complication dans la sémantique de la logique modale quantifiée mérite d'être mentionnée. Il survient lorsque des expressions non rigides telles que «l'inventeur des lunettes bifocales» sont introduites dans la langue. Un terme n'est pas rigide lorsqu'il sélectionne différents objets dans différents mondes possibles. La valeur sémantique d'un tel terme peut être donnée par ce que Carnap (1947) a appelé un concept individuel, une fonction qui sélectionne la dénotation du terme pour chaque monde possible. Une approche pour traiter les termes non rigides consiste à utiliser la théorie des descriptions de Russell. Cependant, dans un langage qui traite les expressions non rigides comme des termes authentiques, il s'avère que ni les règles classiques ni les règles de logique libre pour les quantificateurs ne sont acceptables. (Le problème ne peut être résolu en affaiblissant la règle de substitution à l'identité.) Une solution à ce problème est d'employer un traitement plus général des quantificateurs, où le domaine de quantification contient des concepts individuels plutôt que des objets. Cette interprétation plus générale permet une meilleure adéquation entre le traitement des termes et le traitement des quantificateurs et aboutit à des systèmes adéquats pour les règles de logique classique ou libre (selon que les domaines fixes ou les domaines relatifs au monde sont choisis). Il fournit également un langage doté de pouvoirs expressifs forts et indispensables (Bressan, 1973, Belnap et Müller, 2013a, 2013b). Cette interprétation plus générale permet une meilleure adéquation entre le traitement des termes et le traitement des quantificateurs et aboutit à des systèmes adéquats pour les règles de logique classique ou libre (selon que les domaines fixes ou les domaines relatifs au monde sont choisis). Il fournit également un langage doté de pouvoirs expressifs forts et indispensables (Bressan, 1973, Belnap et Müller, 2013a, 2013b). Cette interprétation plus générale permet une meilleure adéquation entre le traitement des termes et le traitement des quantificateurs et aboutit à des systèmes adéquats pour les règles de logique classique ou libre (selon que les domaines fixes ou les domaines relatifs au monde sont choisis). Il fournit également un langage doté de pouvoirs expressifs forts et indispensables (Bressan, 1973, Belnap et Müller, 2013a, 2013b).

Bibliographie

Les textes sur la logique modale en pensant aux philosophes comprennent Hughes et Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting et Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) et Humberstone (2015).

Humberstone (2015) fournit un superbe guide de la littérature sur les logiques modales et leurs applications à la philosophie. La bibliographie (de plus d'un millier d'entrées) fournit une ressource inestimable pour tous les grands sujets, y compris les logiques de temps, d'obligation, de croyance, de connaissance, d'agence et de nécessité nomique.

Gabbay et Guenthner (2001) fournissent des articles de synthèse utiles sur des sujets majeurs, tandis que Blackburn et. Al. (2007) est une ressource inestimable d'un point de vue plus avancé.

Une excellente bibliographie des sources historiques se trouve dans Hughes et Cresswell (1968).

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Autres ressources Internet

  • Progrès de la logique modale
  • Liste des ressources de Wikipedia
  • Manuel de logique modale par Blackburn, Bentham et Wolter
  • Page de la logique modale de John McCarthy

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