Logique épistémique

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Logique épistémique

Première publication ven.7 juin 2019

La logique épistémique est un sous-domaine de l'épistémologie concerné par les approches logiques de la connaissance, de la croyance et des notions connexes. Bien que toute logique avec une interprétation épistémique puisse être qualifiée de logique épistémique, le type le plus répandu de logiques épistémiques actuellement utilisées est la logique modale. La connaissance et la croyance sont représentées via les opérateurs modaux K et B, souvent avec un indice indiquant l'agent qui détient l'attitude. Les formules (K_ {a} varphi) et (B_ {a} varphi) sont alors lues "l'agent a sait que phi" et "l'agent a croit que phi", respectivement. La logique épistémique permet l'exploration formelle des implications des principes épistémiques. Par exemple, la formule (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) indique que ce qui est connu est vrai, tandis que (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) déclare que ce qui est connu est connu pour être connu. La sémantique de la logique épistémique est généralement donnée en termes de mondes possibles via des modèles de Kripke tels que la formule (K_ {a} varphi) est lue pour affirmer que (varphi) est vrai dans tous les mondes que l'agent a considère épistémiquement possible par rapport à ses informations actuelles. Les problèmes centraux qui ont préoccupé les logiciens épistémiques comprennent, par exemple, la détermination des principes épistémiques les plus appropriés pour caractériser la connaissance et la croyance, les relations logiques entre les différentes conceptions de la connaissance et de la croyance et les caractéristiques épistémiques des groupes d'agents. Au-delà de la philosophie proprement dite, la logique épistémique s'épanouit dans l'informatique théorique, l'économie et les domaines connexes.

  • 1. Introduction
  • 2. L'approche modale de la connaissance

    • 2.1 Le langage formel de la logique épistémique
    • 2.2 Attitudes d'ordre supérieur
    • 2.3 Le principe de partition et la sémantique modale
    • 2.4 Modèles de Kripke et interprétation indiscernable des connaissances
    • 2.5 Principes épistémologiques en logique épistémique
    • 2.6 Principes de connaissance et de croyance
  • 3. Connaissances en groupe

    • 3.1 Langages et modèles multi-agents
    • 3.2 Notions de connaissance de groupe
  • 4. Omniscience logique
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Introduction

Les textes aristotéliciens ont jeté les bases de discussions sur la logique de la connaissance et de la croyance, en particulier De Sophisiticis Elenchis ainsi que l'analyse antérieure et postérieure. Alors qu'Aristote abordait les quatre modes aléthiques de la possibilité, de la nécessité, de l'impossibilité et de la contingence, Buridan, Pseudo Scot, Ockham et Ralph Strode ont contribué à étendre les idées d'Aristote aux thèmes et problèmes épistémiques (Boh 1993; Knuuttila 1993). Pendant cette période, le pseudo-écossais et William d'Ockham ont complété l'étude d'Aristote sur les actes mentaux de cognition et de volition (voir Boh 1993: 130). Les études d'Ivan Boh sur l'histoire des enquêtes des XIVe et XVe siècles sur la logique épistémique fournissent une excellente couverture du sujet, en particulier sa Logique épistémique au Moyen Âge tardif (1993).

Selon Boh, le philosophe anglais Ralph Strode a formulé un système entièrement général de règles épistémiques propositionnelles dans son livre influent de 1387 Conséquences (Boh 1993: 135). La présentation de Strode s'appuyait sur les traités logiques antérieurs d'Ockham et Burley. Les problèmes de logique épistémique ont également été discutés entre les années 1330 et 1360 par les soi-disant calculateurs d'Oxford, surtout par William Heytesbury et Richard Kilvington. Au XVe siècle, Paul de Venise et d'autres philosophes italiens se sont également engagés dans une réflexion sophistiquée sur la relation entre la connaissance, la vérité et l'ontologie.

Les discussions sur la logique épistémique pendant la période médiévale partagent un ensemble similaire d'hypothèses fondamentales avec les discussions contemporaines. Plus important encore, les philosophes médiévaux ont exploré le lien entre la connaissance et la véracité: si je connais p, alors p est vrai. De plus, de nombreuses discussions médiévales commencent par une hypothèse similaire à l'observation de GE Moore selon laquelle un agent épistémique ne peut affirmer de manière cohérente «p mais je ne crois pas (sais) p». Les phrases de cette forme sont généralement appelées phrases de Moore.

Les traitements modernes de la logique de la connaissance et de la croyance sont nés du travail de philosophes et de logiciens écrivant de 1948 aux années 1950. Rudolf Carnap, Jerzy Łoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright et d'autres ont reconnu que notre discours sur la connaissance et la croyance admet un traitement axiomatique-déductif. Parmi les nombreux articles importants qui ont paru dans les années 1950, le travail fondateur de von Wright (1951) est largement reconnu comme ayant initié l'étude formelle de la logique épistémique telle que nous la connaissons aujourd'hui. Les idées de Von Wright ont été étendues par Jaakko Hintikka dans son livre Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions (1962). Hintikka a fourni un moyen d'interpréter les concepts épistémiques en termes de sémantique mondiale possible et en tant que tel, il a servi de texte fondamental pour l'étude de la logique épistémique depuis.

Dans les années 1980 et 1990, les logiciens épistémiques se sont concentrés sur les propriétés logiques des systèmes contenant des groupes de savoirs et plus tard encore sur les caractéristiques épistémiques des contextes dits «multimodaux». Depuis les années 1990, les travaux sur la logique épistémique dynamique ont étendu la logique épistémique traditionnelle en modélisant le processus dynamique d'acquisition des connaissances et de révision des croyances. Au cours des deux dernières décennies, la logique épistémique est devenue un vaste ensemble d'approches formelles de l'étude interdisciplinaire des connaissances et des croyances.

L'intérêt pour la logique épistémique s'étend bien au-delà des philosophes. Les dernières décennies ont vu une grande attention interdisciplinaire à la logique épistémique avec des économistes et des informaticiens développant activement le domaine avec des logiciens et des philosophes. En 1995, deux livres importants signalaient l'interaction fertile entre l'informatique et la logique épistémique: Fagin, Halpern, Moses et Vardi (1995) et Meyer et van der Hoek (1995). Le travail des informaticiens est devenu de plus en plus central dans la logique épistémique dans les années qui ont suivi.

Parmi les philosophes, il y a une attention accrue à l'interaction entre ces approches formelles et les problèmes épistémologiques traditionnels (voir par exemple, van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Plusieurs textes introductifs sur la logique épistémique existent, par exemple, van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek et Kooi (2007); Ditmarsch et coll. (2015); Gochet et Gribomont (2006); et Meyer (2001) avec Lenzen (1980) donnant un aperçu des premiers développements.

2. L'approche modale de la connaissance

Jusqu'à récemment, la logique épistémique se concentrait presque exclusivement sur la connaissance propositionnelle. Dans les cas de connaissance propositionnelle, un agent ou un groupe d'agents porte l'attitude propositionnelle de savoir envers une proposition. Par exemple, quand on dit: "Zoe sait qu'il y a une poule dans la cour", on affirme que Zoe est l'agent qui porte l'attitude propositionnelle sachant envers la proposition exprimée par la phrase anglaise "il y a une poule dans la cour". Imaginez maintenant que Zoé ne sache pas s'il y a une poule dans la cour. Par exemple, il se peut qu'elle n'ait pas accès aux informations indiquant s'il y a ou non une poule dans la cour. Dans ce cas, son manque d'information signifie qu'elle envisagera deux scénarios comme étant possibles, l'un dans lequel il y a une poule dans la cour et l'autre dans lequel il n'y en a pas.

Peut-être qu'elle a une décision pratique qui implique non seulement des poules mais aussi la présence de chiens effrayants dans la cour. Elle voudra peut-être nourrir les poules mais ne le fera que s'il n'y a pas de chien dans la cour. Si elle ignorait s'il y a un chien dans la cour, le nombre de scénarios dont elle doit tenir compte dans ses délibérations passe à quatre. De toute évidence, il faut envisager des alternatives épistémiques lorsque l'on ne dispose pas d'informations complètes sur les situations pertinentes pour ses décisions. Comme nous le verrons ci-dessous, la sémantique des mondes possibles a fourni un cadre utile pour comprendre la manière dont les agents peuvent raisonner sur les alternatives épistémiques.

Alors que les logiciens épistémiques se sont traditionnellement concentrés sur le savoir, on trouve une gamme d'autres utilisations de la connaissance en langage naturel. Comme le souligne Wang (2015), les expressions savoir comment, savoir quoi, savoir pourquoi sont très courantes, apparaissant presque aussi fréquemment (parfois plus fréquemment) dans la langue parlée et écrite que le savoir. Récemment, des logiques épistémiques non standard de ces expressions ont été développées, tout en sachant quelles constructions sont présentes dans la connaissance et la croyance de Hintikka (1962; voir aussi Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012). Ainsi, au-delà de la connaissance propositionnelle, la logique épistémique suggère également des moyens de systématiser la logique des questions-réponses (Brendan sait pourquoi le chien aboyait). Il donne également un aperçu des relations entre les multiples modes d'identification (Zoe sait que cet homme est le président). Ici, on peut dire que l'agent connaît un fait relatif à de multiples modes d'identification dans la mesure où elle identifie correctement le président, qu'elle pourrait connaître d'après les articles du journal avec l'homme qu'elle voit debout devant elle, qu'elle identifie comme un objet. dans son champ visuel (Hintikka & Symons 2003). La logique épistémique peut également fournir un aperçu des questions de «savoir-faire» procédural (Brendan sait comment changer un fusible). Par exemple, savoir comment (varphi) peut être compris comme étant équivalent à l'affirmation selon laquelle il existe un moyen tel qu'un agent sache que c'est un moyen de s'assurer que (varphi) (voir Wang 2015, 2018). Des travaux concernant les justifications des connaissances ont également été entrepris par des combinaisons de logique de justification et de logique épistémique (voir, par exemple, Artemov & Nogina 2005; Renne 2008). Des travaux sont en cours sur ces sujets et sur d'autres, et de nouveaux développements apparaissent régulièrement.

2.1 Le langage formel de la logique épistémique

Les travaux récents en logique épistémique reposent sur une conception modale de la connaissance. Afin d'être clair sur le rôle de la modalité dans la logique épistémique, il est utile d'introduire les éléments de base du formalisme moderne. Par souci de simplicité, nous commençons par le cas de la connaissance et de la croyance pour un seul agent, en reportant l'examen de plusieurs agents à la section 3, Un langage logique épistémique prototypique est donné en fixant d'abord un ensemble de variables propositionnelles (p_ {1}), (p_ {2}),…. Dans les applications de la logique épistémique, les variables propositionnelles reçoivent des interprétations spécifiques: Par exemple, (p_ {1}) pourrait être considéré comme représentant la proposition "il y a une poule dans la cour" et (p_ {2}) le proposition «il y a un chien dans la cour», etc. Les variables propositionnelles représentent des propositions qui ne sont pas représentées plus en détail dans le langage formel. En tant que tels, ils sont donc souvent appelés propositions atomiques ou simplement atomes. Soit Atom l'ensemble des propositions atomiques.

En dehors des propositions atomiques, la logique épistémique complète le langage de la logique propositionnelle avec un opérateur modal, (K_ {a}), pour la connaissance et (B_ {a}), pour la croyance.

(K_ {a} varphi) lit "L'agent a sait que (varphi)"

et pareillement

(B_ {a} varphi) lit "L'agent a croit que (varphi)".

Dans de nombreuses publications récentes sur la logique épistémique, l'ensemble complet des formules dans la langue est donné en utilisant une forme dite de Backus-Naur. Il s'agit simplement d'une technique de notation dérivée de l'informatique qui fournit une définition récursive des formules jugées grammaticalement «correctes», c'est-à-dire l'ensemble des formules bien formées:

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {pour} p / in / textit {Atome}.)

Cela dit que (varphi) est p, si p est un atome. (neg / varphi) est une formule bien formée si (varphi) est déjà une formule bien formée. Le symbole '(neg)' est une négation et '(wedge)' une conjonction: (neg / varphi) lit 'not (varphi)' while ((varphi / wedge / psi)) lit '(varphi) et (psi)'. Nous appellerons ce langage de base qui inclut à la fois un opérateur K nowledge et un B elief, (mathcal {L} _ {KB}). Comme dans la logique propositionnelle, des connecteurs supplémentaires sont définis à partir de (neg) et (wedge): La notation typique est '(vee)' pour 'ou', '(rightarrow)' pour ' if…, alors… 'et' (leftrightarrow) 'pour'… si, et seulement si,… '. De plus, (top) ('top') et (bot) ('bottom') sont généralement utilisés pour désigner respectivement la proposition constamment vraie et la proposition constamment fausse.

Comme nous le verrons ci-dessous, (K_ {a} varphi) est lu comme indiquant que (varphi) tient dans tous les mondes accessibles à a. En ce sens, K peut être considéré comme se comportant de la même manière que l'opérateur «boîte», (square), souvent utilisé pour désigner la nécessité. En évaluant (K_ {a} varphi) à un monde possible w, on évalue en effet une quantification universelle sur tous les mondes accessibles depuis w. Le quantificateur universel (forall) en logique du premier ordre a le quantificateur existentiel (existe) comme son dual: Cela signifie que les quantificateurs sont mutuellement définissables en prenant soit (forall) comme primitif et en définissant (exists x / varphi) comme abréviation de (neg / forall x / neg / varphi) ou en prenant (exists) comme primitif et en définissant (forall x / varphi) comme (neg / existe x / neg / varphi). Dans le cas de (K_ {a}),on voit que la formule (neg K_ {a} neg / varphi) fait une quantification existentielle: elle dit qu'il existe un monde accessible qui satisfait (varphi). Dans la littérature, un opérateur dual pour (K_ {a}) est souvent introduit. La notation typique pour (neg K_ {a} neg) inclut (langle K_ {a} rangle) et (widehat {K} _ {a}). Cette notation imite la forme de losange (losange), qui est l'opérateur double standard de la boîte (square), qui à son tour est la notation standard pour l'opérateur modal de quantification universelle (voir l'entrée sur la logique modale). La notation typique pour (neg K_ {a} neg) inclut (langle K_ {a} rangle) et (widehat {K} _ {a}). Cette notation imite la forme de losange (losange), qui est l'opérateur double standard de la boîte (square), qui à son tour est la notation standard pour l'opérateur modal de quantification universelle (voir l'entrée sur la logique modale). La notation typique pour (neg K_ {a} neg) inclut (langle K_ {a} rangle) et (widehat {K} _ {a}). Cette notation imite la forme de losange (losange), qui est l'opérateur double standard de la boîte (square), qui à son tour est la notation standard pour l'opérateur modal de quantification universelle (voir l'entrée sur la logique modale).

Les langages plus expressifs de la logique épistémique impliquent l'ajout d'opérateurs pour diverses notions de connaissance de groupe (voir section 3). Par exemple, comme nous le verrons ci-dessous, l'opérateur de connaissances communes et les opérateurs dits dynamiques sont des ajouts importants au langage de la logique épistémique. Les opérateurs dynamiques peuvent indiquer par exemple l'annonce publique véridique de (varphi): () varphi!]). Une formule () varphi!] Psi) est lue «si (varphi) est honnêtement annoncé à tout le monde, alors après l'annonce, (psi) est le cas». La question de savoir quels types de pouvoir expressif s'ajoutent avec l'ajout d'opérateurs est un sujet de recherche qui est activement étudié dans la logique épistémique dynamique. Ainsi, par exemple, ajouter () varphi!]) Par lui-même à (mathcal {L} _ {KB}) n'ajoute pas de puissance expressive,mais dans une langue qui inclut également des connaissances communes, c'est le cas.

2.2 Attitudes d'ordre supérieur

Notez que par exemple (K_ {a} K_ {a} p) est une formule dans le langage que nous avons présenté ci-dessus. Il déclare que l'agent a sait que l'agent a sait que p est le cas. Une formule avec des opérateurs épistémiques imbriqués de ce type exprime une attitude d'ordre supérieur: une attitude concernant l'attitude d'un agent.

Les attitudes d'ordre supérieur sont un thème récurrent dans la logique épistémique. Les phrases de Moore susmentionnées, par exemple, (B_ {a} (p / wedge B_ {a} neg p)) expriment une attitude d'ordre supérieur. Il en va de même pour nombre des principes épistémiques discutés dans la littérature et ci-dessous. Considérez le principe épistémique important suivant impliquant des connaissances d'ordre supérieur: (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi). Est-il raisonnable d'exiger que la connaissance satisfasse ce schéma, c'est-à-dire que si quelqu'un sait (varphi), alors il sait qu'il sait (varphi)? En partie, nous pourrions hésiter avant d'accepter ce principe en vertu de l'attitude d'ordre supérieur impliquée. C'est un sujet de discussion en cours dans la logique épistémique et l'épistémologie.

2.3 Le principe de partition et la sémantique modale

La sémantique du langage formel introduit ci-dessus est généralement présentée en termes de mondes dits possibles. Dans la logique épistémique, les mondes possibles sont interprétés comme des alternatives épistémiques. Hintikka a été le premier à articuler explicitement une telle approche (1962). C'est une autre caractéristique centrale de son approche de l'épistémologie qui continue d'informer les développements aujourd'hui. Il peut être énoncé, simplifié, [1] comme suit:

Principe de partition: toute attitude propositionnelle partitionne l'ensemble des mondes possibles en ceux qui sont en accord avec l'attitude et ceux qui ne le sont pas.

Le principe de partition peut être utilisé pour fournir une sémantique à l'opérateur de connaissance. Informellement, (K_ {a} varphi) est vrai dans le monde w si, et seulement si, (varphi) est vrai dans tout monde (w ') compatible avec ce que a sait en w.

Ici, l'agent a sait que (varphi) juste au cas où l'agent a des informations qui excluent toute possibilité d'erreur exclut tous les cas où (neg / varphi).

2.4 Modèles de Kripke et interprétation indiscernable des connaissances

Depuis les années 1960, les modèles de Kripke, définis ci-dessous, ont servi de base à la sémantique la plus largement utilisée pour toutes les variétés de logique modale. L'utilisation des modèles de Kripke dans la représentation des concepts épistémiques implique une prise de position philosophique par rapport à ces concepts. Une interprétation répandue, en particulier en économie théorique et en informatique théorique, comprend les connaissances en termes d'indiscernabilité informationnelle entre les mondes possibles. Ce que nous appellerons ici l'interprétation de l'indiscernabilité remonte au moins à Lehmann (1984).

Comme l'interprétation de l'indiscernabilité concerne la connaissance, mais pas la croyance, nous travaillerons avec un langage sans opérateurs de croyance. Par conséquent, la langue (mathcal {L} _ {K}) sera donnée par la forme Backus-Naur

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {pour} p / in / textit {Atom}.)

Comme nous le verrons, l'interprétation de l'indiscernabilité implique des exigences très strictes pour que quelque chose puisse être qualifié de connaissance. Nous l'introduisons ici à des fins pédagogiques, mettant en place les détails formels de l'interprétation afin d'introduire et d'expliquer par la suite des positions relativement moins extrêmes.

Considérons à nouveau le cas de Zoé, de la poule et du chien. L'exemple fait intervenir deux propositions, que nous identifierons avec les atomes formels:

p lire comme «il y a une poule dans la cour».

et

q lire comme «il y a un chien dans la cour».

Il convient de souligner que pour les besoins de notre formalisation de ce scénario, ces deux sont les seules propositions d'intérêt. Nous limitons notre attention à (textit {Atom} = {p, q }). Dans les premières présentations de la logique épistémique et dans une grande partie de la logique épistémique standard à l'heure actuelle, tous les atomes d'intérêt sont inclus dès le départ. De toute évidence, c'est un scénario idéalisé. Il est important de remarquer ce que cette approche laisse de côté. Les considérations qui ne sont pas prises en compte de cette manière incluent l'apparition de nouveaux atomes; l'idée que d'autres propositions atomiques pourraient être introduites à un état futur via un processus d'apprentissage par exemple, ou la question de la conscience d'un agent des propositions;le scénario dans lequel un agent pourrait être temporairement inconscient d'un atome en raison d'un facteur psychologique ou autre (voir la section 4 pour les références à la soi-disant logique de conscience). Pour l'instant, l'essentiel est que la logique épistémique standard commence par l'hypothèse que l'ensemble Atom épuise l'espace des propositions pour l'agent.

Avec deux atomes, il y a quatre manières différentes qu'un monde puisse être de manière cohérente. Nous pouvons représenter chacun par une boîte:

Quatre mondes de base: quatre cases d'affilée avec un peu d'espace entre elles. Le premier étiqueté w1 et contient la paire: p, q. Le second étiqueté w2 avec la paire: p pas q. Le troisième, w3, avec la paire: pas p, q. Le quatrième, w4, avec la paire: pas p, pas q. Presque toutes les images suivantes contiennent la même chose avec quelques légères modifications
Quatre mondes de base: quatre cases d'affilée avec un peu d'espace entre elles. Le premier étiqueté w1 et contient la paire: p, q. Le second étiqueté w2 avec la paire: p pas q. Le troisième, w3, avec la paire: pas p, q. Le quatrième, w4, avec la paire: pas p, pas q. Presque toutes les images suivantes contiennent la même chose avec quelques légères modifications

Les quatre boîtes peuvent être formellement représentées par un ensemble (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }), généralement appelé un ensemble de mondes possibles. Chaque monde est en outre étiqueté avec les atomes vrais dans ce monde. Ils sont étiquetés par une fonction V, la valorisation. L'évaluation spécifie quels atomes sont vrais dans chaque monde de la manière suivante: Étant donné un atome p, (V (p)) est le sous-ensemble de mondes où p est vrai. [2] Que (w_ {1}) est étiqueté avec p et q signifie donc que (w_ {1} in V (p)) et (w_ {1} in V (q)). Dans l'illustration, (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) et (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

À des fins de présentation, supposez qu'il y a vraiment une poule dans la cour, mais pas de chien. Alors (w_ {2}) représenterait le monde réel du modèle. Dans les illustrations, le monde réel est généralement mis en évidence:

Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en évidence par une double ligne au lieu d'une seule ligne pour la boîte
Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en évidence par une double ligne au lieu d'une seule ligne pour la boîte

Maintenant, supposons que la poule glousse toujours, mais que le chien n'aboie jamais, et que bien que Zoé ait une audition aiguë, elle ne peut pas voir la cour. Ensuite, il y a certains mondes possibles que Zoé ne peut pas distinguer: des manières possibles dont les choses peuvent être qu'elle ne peut pas distinguer. Par exemple, étant dans le monde avec seulement une poule ((p, / neg q)), Zoe ne peut pas dire si elle est dans le monde avec une poule et un chien ((p, q)): sa situation est de telle sorte que Zoé est consciente de deux façons dont les choses pourraient être, mais ses informations ne lui permettent pas non plus d'éliminer.

Pour illustrer qu'un monde possible ne peut être distingué d'un autre, une flèche est généralement dessinée du premier vers le second:

Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche pointe de w2 à w1
Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche pointe de w2 à w1

Ici, les flèches représentent une relation binaire sur des mondes possibles. En logique modale en général, on parle de relation d'accessibilité. Sous l'interprétation d'indiscernabilité de la logique épistémique, on l'appelle parfois la relation d'indiscernabilité. Formellement, dénotons la relation (R_ {a}), avec l'indice montrant que la relation appartient à l'agent a. La relation est un sous-ensemble de l'ensemble des paires ordonnées de mondes possibles, ({(w, w ') colon w, w' / in W }). Un monde w «pointe» vers un autre (w ') if ((w, w') in R_ {a}). Dans ce cas, (w ') est dit accessible (indiscernable) de w. Dans la littérature, cela s'écrit souvent (wR_ {a} w ') ou (R_ {a} ww'). La notation '(w' / in R_ {a} (w)) 'est également courante: l'ensemble (R_ {a} (w)) est alors les mondes accessibles depuis w, c'est-à-dire, [R_ {a} (w): = {w '\ in W: (w, w') in R_ {a} }.)

Une dernière remarque: l'ensemble ({(w, w ') colon w, w' / dans W }) s'écrit souvent (W / fois W), le produit cartésien de W avec lui-même.

Pour que (R_ {a}) représente fidèlement une relation d'indiscernabilité, quels mondes doit-elle rapporter? Si Zoe était plongée dans (w_ {1}) par exemple, pourrait-elle dire qu'elle n'est pas dans (w_ {2})? Non: la relation d'indiscernabilité est symétrique si l'on ne peut pas distinguer a de b, ni ne peut distinguer b de a. Le fait qu'une relation soit symétrique est généralement dessinée en omettant complètement les flèches ou en les plaçant dans les deux directions:

Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une double flèche relie w2 et w1
Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une double flèche relie w2 et w1

Lequel des mondes restants est indiscernable? Étant donné que la poule glousse toujours, Zoé a des informations qui lui permettent de distinguer (w_ {1}) et (w_ {2}) de (w_ {3}) et (w_ {4}) et vice versa, cf. symétrie. Par conséquent, pas de flèches entre ceux-ci. Les mondes (w_ {3}) et (w_ {4}) sont indiscernables. Cela nous amène à la représentation suivante:

Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche à double pointe relie w2 et w1 et une autre flèche à double tête relie w3 et w4
Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche à double pointe relie w2 et w1 et une autre flèche à double tête relie w3 et w4

Puisqu'aucune information ne permettra jamais à Zoé de distinguer quelque chose de lui-même, tout monde possible est donc lié à lui-même, la relation indiscernable est réflexive:

Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche à double pointe relie w2 et w1 et une autre flèche à double tête relie w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde
Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche à double pointe relie w2 et w1 et une autre flèche à double tête relie w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde

L'interprétation standard de l'exemple de Zoe en termes de modèle de mondes possibles est maintenant terminée. Avant de passer à une présentation générale de l'interprétation de l'indiscernabilité, regardons ce que Zoe sait.

Rappelez-vous la sémantique modale informelle de l'opérateur de connaissances ci-dessus:

(K_ {a} varphi) est vrai dans le monde w si, et seulement si, (varphi) est vrai dans tout monde (w ') compatible avec les informations que a en w.

Pour approcher une définition formelle, prenez '(w / vDash / varphi)' pour signifier que (varphi) est vrai dans le monde w. Ainsi, nous pouvons définir la vérité de (K_ {a} varphi) dans w par

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) pour tout (w') tel que (wR_ {a} w ').

Cette définition déclare que a sait (varphi) dans le monde w si, et seulement si, (varphi) est le cas dans tous les mondes (w ') que a ne peut pas distinguer de w.

Alors, où cela laisse-t-il Zoe? Tout d'abord, la définition nous permet d'évaluer ses connaissances dans chacun des mondes, mais vu que (w_ {2}) est le monde réel, c'est le monde qui nous intéresse. Voici quelques exemples de ce que nous pouvons dire sur les connaissances de Zoe dans (w_ {2}):

  1. (w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe sait que la poule est dans la cour car tous les mondes indiscernables de (w_ {2}) qui seraient (w_ {1}) et (w_ {2}) rendent p vrai.
  2. (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoé ne sait pas que le chien est dans la cour, car l'un des mondes indiscernables en fait (w_ {2}) lui-même rend q faux.
  3. (w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe sait qu'elle sait p parce que (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (cf. 1.) et (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} p).
  4. (w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe sait qu'elle ne sait pas q parce que (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (cf. 2.) et (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

Nous pourrions en dire beaucoup plus sur les connaissances de Zoé: toute formule du langage épistémique sans opérateurs de croyance peut être évaluée dans le modèle. Il représente donc toutes les informations d'ordre supérieur de Zoé sur sa propre connaissance dont les points 3 et 4 sont les premiers exemples.

Un dernier ingrédient est nécessaire avant de pouvoir énoncer l'interprétation d'indiscernabilité dans toute sa généralité. Dans l'exemple ci-dessus, il a été montré que la relation d'indiscernabilité était à la fois symétrique et réflexive. Formellement, ces propriétés peuvent être définies comme suit:

Définition: Une relation binaire (R / subseteq W / times W) est

  1. iff réflexif pour tout (w / in W, wRw),
  2. symétrique ssi pour tout (w, w '\ dans W,) si (wRw'), alors (w'Rw).

L'ingrédient manquant est alors la propriété relationnelle de la transitivité. «Plus court que» est un exemple de propriété transitive: Soit x plus court que y, et soit y plus court que z. Alors x doit être plus court que z. Donc, étant donné (w_ {1}, w_ {2}) et (w_ {3}), si la relation R est valable entre (w_ {1}) et (w_ {2}) et entre (w_ {2}) et (w_ {3}), alors la flèche entre (w_ {1}) et (w_ {3}) est la conséquence d'exiger que la relation soit transitive:

Un diagramme de trois nœuds: w1, w2 et w3. Une flèche, étiquetée «supposée» va de w1 à w2 et une autre flèche avec la même étiquette va de w2 à w3. Une troisième flèche, étiquetée «implicite» va de w1 à w3
Un diagramme de trois nœuds: w1, w2 et w3. Une flèche, étiquetée «supposée» va de w1 à w2 et une autre flèche avec la même étiquette va de w2 à w3. Une troisième flèche, étiquetée «implicite» va de w1 à w3

Formellement, la transitivité est définie comme suit:

Définition: Une relation binaire (R / subseteq W / times W) est transitive ssi pour tout (w, w ', w' '\ dans W,) si (wRw') et (w'Rw ''), puis (wRw '')

Une relation à la fois réflexive, symétrique et transitive s'appelle une relation d'équivalence.

Avec tous les composants en place, définissons maintenant le modèle de Kripke:

Définition: Un modèle de Kripke pour (mathcal {L} _ {K}) est un tuple (M = (W, R, V)) où

  • W est un ensemble non vide de mondes possibles,
  • R est une relation binaire sur W, et
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) est une valorisation.

Dans la définition, '(mathcal {P} (W))' désigne l'ensemble de puissance de W: Il se compose de tous les sous-ensembles de W. Donc (V (p)), la valorisation de l'atome p dans le modèle M, est un sous-ensemble des mondes possibles: ceux où p est vrai. Dans cette définition générale, R peut être n'importe quelle relation sur W.

Pour spécifier quel monde est réel, un dernier paramètre est ajouté au modèle. Lorsque le monde réel est spécifié, un modèle Kripke est communément appelé pointu:

Définition: Un modèle de Kripke pointé pour (mathcal {L} _ {K}) est une paire ((M, w)) où

  • (M = (W, R, V)) est un modèle de Kripke, et
  • (w / dans W).

Enfin, nous pouvons définir formellement la sémantique qui a été exprimée de manière assez vague ci-dessus. Cela se fait en définissant une relation entre les modèles de Kripke pointés et les formules du langage formel. La relation est notée '(vDash)' et est souvent appelée relation de satisfaction.

La définition va alors comme suit:

Définition: Soit (M = (W, R_ {a}, V)) un modèle de Kripke pour (mathcal {L} _ {K}) et soit ((M, w)) un modèle Kripke pointu. Alors pour tout (p / in / textit {Atom}) et tout (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

) begin {align} (M, w) & / vDash p & / textrm {iff} & w / in V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {not} (M, w) vDash / varphi \(M, w) & / vDash (varphi / wedge / psi) & / textrm {iff} & (M, w) vDash / varphi / textrm {et} (M, w) vDash / psi \(M, w) & / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} & (M, w ') vDash / varphi / textrm {pour tous } w '\ dans W / textrm {tel que} wR_ {a} w'. / end {align})

La formule (varphi) est satisfaite dans le modèle pointé ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

En général, l'interprétation d'indiscernabilité soutient que pour que (K_ {a}) capture la connaissance, la relation (R_ {a}) doit être une relation d'équivalence. Un modèle de Kripke pointu pour lequel cela est satisfait est souvent appelé état épistémique. Dans les états épistémiques, la relation est désignée par un tilde d'indice: (sim_ {a}).

Compte tenu des modèles de Kripke pointus et de l'interprétation d'indiscernabilité, nous avons une spécification sémantique d'un concept de connaissance. Avec cette approche, nous pouvons construire des modèles de situations impliquant des connaissances comme nous l'avons fait avec l'exemple jouet de Zoé et les poules. Nous pouvons utiliser ces modèles pour déterminer ce que l'agent sait ou ne sait pas. Nous avons également les bases formelles en place pour commencer à poser des questions sur la façon dont la connaissance ou l'incertitude de l'agent se développe lorsqu'il reçoit de nouvelles informations, un sujet étudié dans la logique épistémique dynamique.

Nous pouvons également poser des questions plus générales concernant le concept de connaissance modélisé à l'aide de modèles de Kripke pointus avec des relations indiscernables: au lieu de regarder un modèle particulier à l'époque et de demander quelles formules le modèle rend vraies, nous pouvons demander quels principes généraux tous ces modèles sont d'accord sur.

2.5 Principes épistémologiques en logique épistémique

S'arrêter sur la représentation formelle correcte de la connaissance implique une réflexion approfondie sur les principes épistémologiques auxquels on s'engage. Un exemple non controversé d'un tel principe que la plupart des philosophes accepteront est la véridicité:

Si une proposition est connue, alors c'est vrai.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

Dans un contexte formel, ce principe peut être compris comme disant que si (varphi) est connu, il doit toujours être satisfait dans ses modèles. S'il s'avère que certains des modèles choisis falsifient le principe de véridicité, alors la plupart des philosophes jugeront simplement ces modèles inacceptables.

En revenant aux modèles de Kripke pointus, nous pouvons maintenant nous demander à quels principes ces modèles s'engagent. Afin de commencer à répondre à cette question, nous devons comprendre les caractéristiques les plus générales de notre formalisme. La stratégie en logique modale en général (voir Blackburn, de Rijke et Venema 2001) consiste à s'abstraire des caractéristiques contingentes d'un modèle donné. Les caractéristiques contingentes incluraient, par exemple, le nombre spécifique de mondes considérés, l'évaluation spécifique des atomes et le choix d'un monde réel. Dans ce cas, les seules caractéristiques qui ne sont pas contingentes sont celles requises par la définition générale d'un modèle de Kripke pointu.

Pour résumer convenablement, prenez un modèle de Kripke pointé ((M, w) = (W, R, V, w)). Pour déterminer si la relation de ce modèle est une relation d'équivalence, il suffit de considérer les mondes et la relation. Le couple de ces éléments constitue le niveau fondamental du modèle et est appelé le cadre du modèle:

Définition: Soit ((M, w) = (W, R, V, w)) un modèle de Kripke pointu. Alors la paire ((W, R)) est appelée la trame de ((M, w)). Tout modèle ((M ', w')) qui partage le cadre ((W, R)) est dit construit sur ((W, R)).

Considérons à nouveau l'état épistémique de Zoe vu d'en haut:

Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche à double pointe relie w2 et w1 et une autre flèche à double tête relie w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde
Les quatre mondes de base sauf w2 sont mis en surbrillance et une flèche à double pointe relie w2 et w1 et une autre flèche à double tête relie w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde

Plusieurs autres modèles peuvent être construits sur le même châssis. Voici deux exemples:

Les quatre mondes de base sauf w3 (au lieu de w2) sont mis en surbrillance et une double flèche connecte w2 et w1 et une autre double flèche connecte w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde. De plus w2 a la paire: p, q au lieu de p, pas q
Les quatre mondes de base sauf w3 (au lieu de w2) sont mis en surbrillance et une double flèche connecte w2 et w1 et une autre double flèche connecte w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde. De plus w2 a la paire: p, q au lieu de p, pas q
Les quatre mondes de base sauf w4 (au lieu de w2 ou w3) sont mis en surbrillance et une double flèche connecte w2 et w1 et une autre double flèche connecte w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde. De plus w1 a la paire: pas p, pas q; w2, w3 et w4 ont chacun la paire: p, q
Les quatre mondes de base sauf w4 (au lieu de w2 ou w3) sont mis en surbrillance et une double flèche connecte w2 et w1 et une autre double flèche connecte w3 et w4. Chaque monde a également une flèche qui revient au même monde. De plus w1 a la paire: pas p, pas q; w2, w3 et w4 ont chacun la paire: p, q

Avec la notion de cadre, on peut définir la notion de validité d'intérêt. C'est le deuxième terme défini dans ce qui suit:

Définition: Une formule (varphi) est dite valide dans le cadre (F = (W, R)) ssi chaque modèle de Kripke pointé construit sur F satisfait (varphi), c'est-à-dire ssi pour tout ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). Une formule (varphi) est valide sur la classe de frames (mathsf {F}) (écrite (mathsf {F} vDash / varphi)) iff (varphi) est valide dans chaque image F dans (mathsf {F}).

L'ensemble des formules valides sur une classe de frames (mathsf {F}) est appelé la logiquede (mathsf {F}). Dénotons cette logique à savoir, l'ensemble ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {F} vDash / varphi }) par (Lambda _ { mathsf {F }}). Il s'agit d'une approche sémantique pour définir des logiques, chacune étant juste un ensemble de formules. On peut également définir la logique de la preuve théoriquement en définissant une logique comme l'ensemble de formules prouvables dans un système. Avec des logiques comme de simples ensembles de formules, les résultats de justesse et d'exhaustivité peuvent alors être exprimés en utilisant l'inclusion d'ensemble. Pour illustrer, soit (mathsf {A}) un ensemble d'axiomes et écrivez (mathsf {A} vdash / varphi) quand (varphi) est prouvable depuis (mathsf {A}) en utilisant un ensemble donné de règles de déduction. Soit la logique résultante l'ensemble des théorèmes noté (Lambda _ { mathsf {A}}). C'est l'ensemble des formules de (mathcal {L} _ {K}) prouvable depuis (mathsf {A}), ie,l'ensemble ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {A} vdash / varphi }). La logique (Lambda _ { mathsf {A}}) est saine par rapport à (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F }}) et terminez par rapport à (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).[3]

Revenant à l'interprétation indiscernable de la connaissance, nous pouvons alors chercher à trouver les principes épistémologiques sur lesquels l'interprétation est engagée. Il y a une réponse triviale de peu d'intérêt direct: Soit (mathsf {EQ}) la classe des cadres avec des relations d'équivalence. Alors la logique de l'interprétation d'indiscernabilité est l'ensemble des formules de (mathcal {L} _ {K}) qui sont valides sur (mathsf {EQ}), c'est-à-dire l'ensemble (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Pas très instructif.

Adopter une approche axiomatique pour spécifier la logique donne cependant une présentation en termes de principes faciles à saisir. Pour commencer par le plus simple, alors le principe T stipule que la connaissance est factuelle: si l'agent sait (varphi), alors (varphi) doit être vrai. Le K plus encombrant indique que si l'agent connaît une implication, alors si l'agent connaît l'antécédent, il connaît également le conséquent. C'est-à-dire que si nous incluons la règle de dérivation modus ponens (de (varphi / rightarrow / psi) et (varphi), concluez (psi)) comme règle de notre logique de connaissance, K déclare que la connaissance est fermé sous implication. Le principe B stipule que si (varphi) est vrai, alors l'agent sait qu'il considère (varphi) possible. Enfin, 4 indique que si l'agent connaît (varphi), alors il sait qu'il sait (varphi). T,B et 4 dans le tableau ci-dessous (les noms sont historiques et pas tous significatifs).

) begin {align} textrm {K} & (K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) & / rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi) / \ textrm {T} & & K_ {a} varphi & / rightarrow / varphi \\ / textrm {B} & & / varphi & / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & & K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Au lieu d'intuitions épistémologiques, nous pourrions discuter d'un concept de connaissance en discutant de ces principes et d'autres. Doit-on accepter T comme principe que la connaissance suit? Et les autres? Avant de poursuivre, clarifions d'abord comment les quatre principes ci-dessus sont liés à l'interprétation de l'indiscernabilité. Pour ce faire, nous avons besoin de la notion de logique modale normale. Dans la définition ci-dessous, comme dans les principes ci-dessus, nous utilisons techniquement des schémas de formule. Par exemple, dans (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi), le (varphi) est une variable s'étendant sur les formules de (mathcal {L} _ {K}). Ainsi, à proprement parler, (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) n'est pas une formule, mais un schéma pour obtenir une formule. Une instance modale de (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) est alors la formule obtenue en laissant (varphi) une formule concrète de (mathcal {L} _ {K}). Par exemple, (K_ {a} p / rightarrow p) et (K_ {a} (p / wedge K_ {a} q) rightarrow (p / wedge K_ {a} q)) sont tous deux des instances modales de T.

Définition: Soit (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) un ensemble de formules modales. Alors (Lambda) est une logique modale normale si (Lambda) satisfait toutes les conditions suivantes:

  1. (Lambda) contient toutes les instances modales des tautologies propositionnelles classiques.
  2. (Lambda) contient toutes les instances modales de K.
  3. (Lambda) est fermé sous modus ponens: Si (varphi / in / Lambda) et (varphi / rightarrow / psi / in / Lambda), alors (psi / in / Lambda).
  4. (Lambda) est fermé sous généralisation (aka nécessité): Si (varphi / in / Lambda), alors (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Il existe une logique modale normale la plus petite (étant donné l'ensemble Atom) qui contient exactement ce qui est requis par la définition et rien de plus. Elle est souvent appelée logique modale normale minimale et est désignée par le caractère gras K (à ne pas confondre avec le caractère non gras K désignant le schéma).

La logique K est juste un ensemble de formules de (mathcal {L} _ {K}). Ie, K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Points 1.4. donne une perspective sur cet ensemble: Ils fournissent une axiomatisation. Souvent, comme ci-dessous, le schéma K est appelé axiome, bien qu'en réalité les instanciations de K soient des axiomes.

À K, nous pouvons ajouter des principes supplémentaires comme axiomes (schémas d'axiomes) pour obtenir des logiques plus fortes (logiques qui ont des théorèmes supplémentaires: Logics (Lambda) pour lesquels K (subseteq / Lambda)). D'un intérêt immédiat est la logique appelée S5:

Définition: La logique S5 est la plus petite logique modale normale contenant toutes les instances modales de T, B et 4.

Voici donc la relation entre les quatre principes ci-dessus et l'interprétation d'indiscernabilité:

Théorème 1: La logique S5 est la logique de la classe des modèles de Kripke pointés construits sur des cadres avec des relations d'équivalence. Ie, (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

Que nous dit donc ce théorème sur les principes de la connaissance? Dans un sens, il nous dit que si l'on accepte l'interprétation indiscernable, alors on a implicitement accepté les principes K, T, B et 4 comme raisonnables pour la connaissance. Dans l'autre sens, cela nous dit que si l'on trouve que S5 est la logique appropriée de la connaissance et que l'on trouve que les modèles de Kripke pointés sont la bonne façon de représenter sémantiquement la connaissance, alors il faut utiliser une relation d'équivalence. Que l'on doive interpréter cette relation en termes d'indiscernabilité, cependant, est une question sur laquelle la logique est silencieuse.

En discutant des principes de connaissance, il se peut que certains des quatre ci-dessus semblent acceptables, tandis que d'autres ne le sont pas: on peut être en désaccord avec l'acceptabilité de B et 4, par exemple, tout en acceptant K et T. En comprenant la relation entre S5 et l'équivalence relations, une perspective plus fine est bénéfique: le théorème 1 peut être découpé en morceaux plus petits reflétant la contribution des principes individuels K, T, 4 et B à l'exigence d'équivalence, c'est-à-dire que la relation doit être en même temps réflexif, symétrique et transitif.

Théorème 2: Soit (F = (W, R)) une trame. Ensuite:

  • Toutes les instances modales de K sont valides dans F.
  • Toutes les instances modales de T sont valides dans F ssi R est réflexif.
  • Toutes les instances modales de B sont valides dans F ssi R est symétrique.
  • Toutes les instances modales de 4 sont valides dans F ssi R est transitive.

Il y a un certain nombre d'idées à tirer du théorème 2. Premièrement, si l'on veut utiliser n'importe quel type de modèle de Kripke pour capturer des connaissances, alors on doit accepter K. Sauter quelques détails, il faut en fait accepter la logique complète K telle qu'elle est la logique de la classe de tous les modèles Kripke (voir, par exemple, Blackburn, de Rijke et Venema 2001).

Deuxièmement, le théorème montre qu'il existe une relation intime entre les principes épistémiques individuels et les propriétés sur la relation. Ceci, à son tour, signifie que l'on peut, en général, aborder la «logique» dans la logique épistémique de deux côtés à partir des intuitions sur la relation d'accessibilité ou des intuitions sur les principes épistémiques.

Plusieurs systèmes logiques modaux normaux plus faibles que S5 ont été suggérés dans la littérature. Ici, nous spécifions les logiques par l'ensemble de leurs axiomes modaux. Par exemple, la logique K est donnée par ({ text {K} }), tandis que S5 est donnée par ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Pour établir la nomenclature, le tableau suivant contient une sélection de principes de la littérature avec les propriétés de trame qu'ils caractérisent, cf. Aucher (2014) et Blackburn, de Rijke, & Venema (2001), sur la ligne en dessous d'eux. Les conditions du cadre ne sont pas toutes simples.

Dans le tableau 1, l'indice sur (R_ {a}) est omis pour faciliter la lisibilité, de même que le domaine de quantification W sur lequel se situent les variables des mondes (x, y, z).

K

(K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi))

Aucun: Non applicable

(K_ {a} varphi / rightarrow / widehat {K} _ {a} varphi)

Série: (forall x / existe y, xRy).

T

(K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

Réflexif: (forall x, xRx).

4

(K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi)

Transitive: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {et} yRz / text {, puis} xRz).

B

(varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Symétrique: (forall x, y, / text {if} xRy / text {, puis} yRx).

5

(neg K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi)

Euclidienne: (forall x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {et} xR_ {a} z / text {, puis} yRz).

.2

(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Confluent: (forall x, y, / text {if } xRy / text {et} xRy ', / text {alors} existe z, yRz / text {et} y'Rz).

.3

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / wedge / widehat {K} _ {a } varphi)))

Pas de branchement à droite: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {et} xRz, / text {then} yRz / text {ou} y = z / text {ou} zRy)

.3.2

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) rightarrow K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi))

Semi-euclidien: (forall x, y, z,) if (xRy) et (xRz), alors (zRx) ou (yRz).

.4

((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) rightarrow K_ {a} varphi)

Inconnu des auteurs: Non applicable

Tableau 1. Principes épistémiques et leurs conditions de cadre.

L'ajout de principes épistémiques comme axiomes à la logique modale normale minimale de base K donne de nouvelles logiques modales normales. Une sélection est:

K ({ text {K} })
T ({ text {K}, / text {T} })
({ text {K}, / text {D} })
KD4 ({ text {K}, / text {D}, / text {4} })
KD45 ({ text {K}, / text {D}, / text {4}, / text {5} })
S4 ({ text {K}, / text {T}, / text {4} })
S4.2 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.2} })
S4.3 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.3} })
S4.4 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.4} })
S5 ({ text {K}, / text {T}, / text {5} })

Tableau 2. Noms logiques et axiomes

Différentes spécifications axiomatiques peuvent produire la même logique. Notez, par exemple, que la spécification axiomatique de la table ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) de S5 ne correspond pas à celle donnée dans la définition précédant le théorème 1, ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Notez également qu'il y a plus d'une axiomatisation de S5: les axiomes ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }), ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {4} }) et ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {5} }) donnent tous le S5logique (cf., par exemple, Chellas 1980). Une variante souvent vue est ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {5} }). Cependant, il est redondant de l'ajouter car toutes ses instances peuvent être prouvées à partir de K, T et 5. Mais comme 4 et 5 capturent des principes épistémiques importants (voir Section 2.6), 4 est souvent inclus pour des raisons de transparence philosophique. Pour plus d'équivalences entre les logiques modales, voir, par exemple, l'entrée sur la logique modale ou Chellas (1980) ou Blackburn, de Rijke et Venema (2001).

Les logiques peuvent être plus fortes ou plus faibles les unes que les autres, et connaître les propriétés de cadre de leurs axiomes peut nous aider à comprendre leur relation. Par exemple, comme 4 est dérivable de ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), tous les théorèmes de S4 sont dérivables dans S5. S5 est donc au moins aussi fort que S4. En fait, S5 est également strictement plus fort: il peut prouver des choses que S4 ne peut pas.

Ce S5 peut être axiomatisé à la fois par ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) et ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) peut être vu à travers les propriétés de cadre des axiomes: toute relation réflexive et euclidienne (T et 5) est une relation d'équivalence (T, B et 4). Cela montre également la redondance de 4: si l'on a supposé une relation réflexive et euclidienne, alors cela n'ajoute rien de nouveau à supposer en plus qu'elle est transitive. En général, avoir une compréhension de l'interaction entre les propriétés relationnelles est d'une grande aide pour voir les relations entre les logiques modales. Par exemple, remarquer que chaque relation réflexive est également série signifie que toutes les formules valides sur la classe des modèles série sont également valides sur la classe des modèles réflexifs. Par conséquent, tout théorème de D est donc un théorème de T. Donc T est au moins aussi fort que D (c'est-à-dire (textbf {D} subseteq / textbf {T})). Que T est aussi strictement plus fort (pas (textbf {T} subseteq / textbf {D})) peut être montré en trouvant un modèle sériel non réflexif qui ne satisfait pas un théorème de T (par exemple (K_ {a} p / rightarrow p)).

2.6 Principes de connaissance et de croyance

Avec l'arrière-plan formel de la logique épistémique en place, il est simple de varier légèrement le cadre afin de s'adapter au concept de croyance. Revenez au langage (mathcal {L} _ {KB}) de la connaissance et de la croyance:

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {pour} p / in / textit {Atome}.)

Pour interpréter ensemble les formules de connaissance et de croyance dans les modèles pointus de Kripke, il suffit d'une relation supplémentaire entre les mondes possibles:

Définition: Un modèle de Kripke pointé pour (mathcal {L} _ {KB}) est un tuple ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) où

  • W est un ensemble non vide de mondes possibles,
  • (R_ {K}) et (R_ {B}) sont des relations binaires sur W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) est une valorisation, et
  • (w / dans W).

(R_ {K}) est la relation pour l'opérateur de connaissance et (R_ {B}) la relation pour l'opérateur de croyance. La définition ne fait aucune autre hypothèse sur leurs propriétés. Dans la figure ci-dessous, nous fournissons une illustration, où les flèches sont étiquetées conformément à la relation à laquelle elles correspondent. La boucle réflexive en (w_ {3}) est une étiquette indiquant qu'elle appartient aux deux relations, c'est-à-dire ((w_ {3}, w_ {3}) in R_ {K}) et ((w_ {3}, w_ {3}) dans R_ {B}).

Quatre boîtes étiquetées w1 (contenant «p»), w2 (contenant «pas p»), w3 (contenant «p») et w4 (contenant «pas p»). w1 est mis en surbrillance et une flèche, étiquetée «K», va de là à w2. w2 a des flèches, chacune étiquetée «B», pointant vers w3 et w4. w3 a une flèche, étiquetée «K, B», qui y retourne
Quatre boîtes étiquetées w1 (contenant «p»), w2 (contenant «pas p»), w3 (contenant «p») et w4 (contenant «pas p»). w1 est mis en surbrillance et une flèche, étiquetée «K», va de là à w2. w2 a des flèches, chacune étiquetée «B», pointant vers w3 et w4. w3 a une flèche, étiquetée «K, B», qui y retourne

La relation de satisfaction est définie comme ci-dessus, mais avec les changements évidents pour la connaissance et la croyance:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) pour tout (w' / in W) tel que (wR_ {K } w ').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) pour tout (w' / in W) tel que (wR_ {B } w ').

L'interprétation de l'indiscernabilité impose des exigences très fortes à la relation d'accessibilité des connaissances. Ceux-ci ont maintenant été supprimés et tout engagement envers les principes T, B, D, 4 et 5. En prenant les modèles de Kripke comme sémantique de base, nous sommes toujours attachés à K, bien que ce principe ne soit pas sans problème comme nous le verrons ci-dessous dans notre discussion du problème de l'omniscience logique.

Parmi les principes du tableau 1, T, D, B, 4 et 5 ont été discutés le plus en détail dans la littérature sur la logique épistémique, à la fois comme principes de connaissance et comme principes de croyance. Le principe T pour la connaissance

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

est largement acceptée. La connaissance est généralement considérée comme véridique, seule une proposition vraie peut être connue. Pour, par exemple, Hintikka (1962) et Fagin et al. (1995), l'échec de T pour la croyance est la différence déterminante entre les deux notions.

Bien que la croyance ne soit généralement pas considérée comme véridique, les croyances sont généralement considérées comme cohérentes. C'est-à-dire que les agents ne croient jamais à la contradiction, c'est-à-dire à toute formule équivalente à ((p / wedge / neg p)) ou (bot), pour faire court. Celui qui croit devoir être cohérent est alors saisi par le principe

) neg B_ {a} bot.)

Le principe (neg B_ {a} bot) est, sur les modèles de Kripke, équivalent au principe D, (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Par conséquent, la validité de (neg B_ {a} bot) nécessite des trames série. Témoin, par exemple, son échec dans (w_ {1}) ci-dessus: Comme il n'y a pas de mondes accessibles via (R_ {B}), tous les mondes accessibles satisfont (bot). Donc (w_ {1}) satisfait (B_ {a} bot), violant la cohérence. Notez également que (neg B_ {a} bot) peut être réécrit dans (widehat {B} _ {a} top), ce qui est vrai dans un monde juste au cas où un monde serait accessible via (R_ {B}). Sa validité assure ainsi la sérialité.

Notez que la véridicité de la connaissance assure sa cohérence: toute trame réflexive est automatiquement sérielle. Donc accepter (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) implique d'accepter (neg K_ {a} bot).

Parmi les principes D, 4 et 5, les deux derniers ont reçu de loin le plus d'attention, tant pour la connaissance que pour la croyance. Ils sont généralement interprétés comme régissant l'accès de principe à ses propres états mentaux. Les 4 principes

) begin {align} K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} B_ {a} varphi \\ / end {align})

sont souvent appelés principes d'introspection positive, ou pour la connaissance le principe «KK». Les deux principes sont jugés acceptables, par exemple, par Hintikka (1962) pour des raisons différentes de l'introspection. Il argumente sur la base d'une analyse autoépistémique des connaissances, en utilisant une sémantique de mondes possibles non kripkéenne appelée systèmes modèles. Hintikka soutient que lorsqu'un agent s'engage à connaître (varphi), l'agent s'engage à conserver la même attitude quelles que soient les nouvelles informations qu'il rencontrera à l'avenir. Cela implique que dans toutes les alternatives épistémiques de l'agent pour Hintikka, tous les ensembles de modèles (descriptions partielles de mondes possibles) où l'agent en sait au moins autant qu'il en fait maintenant, l'agent sait toujours (varphi). Comme (K_ {a} varphi) tient donc dans toutes les alternatives épistémiques de l'agent, Hintikka conclut que (K_ {a} K_ {a} varphi). De même Hintikka approuve 4 pour la croyance, mais Lenzen soulève des objections (Lenzen 1978: ch. 4).

Williamson plaide contre l'acceptabilité générale du principe (Williamson 2000: ch.5) pour un concept de connaissance basé sur des observations légèrement inexactes, un soi-disant principe de marge d'erreur (voir, par exemple, Aucher 2014 pour un bref résumé).

Les 5 principes

) begin {align} neg K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

sont souvent appelés principes d'introspection négative. L'introspection négative est assez controversée car elle pose des exigences très élevées en matière de connaissances et de croyances. Le schéma 5 peut être vu comme une hypothèse de monde fermé (Hendricks 2005): L'agent a une vue d'ensemble complète de tous les mondes possibles et de ses propres informations. Si (neg / psi) est considéré comme possible ((widehat {K} _ {a} neg / psi), c'est-à-dire (neg K_ {a} psi)), alors l'agent sait qu'il est considéré comme possible ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). Une telle hypothèse de monde fermé est naturelle lors de la construction d'agents hyper-rationnels, par exemple en informatique ou en théorie des jeux, où les agents sont supposés raisonner aussi dur que logiquement possible sur leurs propres informations lorsqu'ils prennent des décisions.

Contre 5, Hintikka (1962) utilise sa conception des alternatives épistémiques. Ayant accepté T pour connaissance, 5 se tient ou tombe avec l'hypothèse d'une relation d'accessibilité symétrique. Mais, fait valoir Hintikka, la relation d'accessibilité n'est pas symétrique: si l'agent possède une certaine quantité d'informations sur l'ensemble de modèles (s_ {1}), alors l'ensemble de modèles (s_ {2}) où l'agent a appris quelque chose more sera une alternative épistémique à (s_ {1}). Mais (s_ {1}) ne sera pas une alternative épistémique à (s_ {2}), car dans (s_ {1}), l'agent ne sait pas par hypothèse autant qu'il le fait en (s_ {2}). La relation n'est donc pas symétrique, donc 5 n'est pas un principe de connaissance, pour le compte de Hintikka.

Compte tenu de la sémantique non standard de Hintikka, il est un peu difficile de déterminer s'il accepterait une logique modale normale comme logique de la connaissance et de la croyance, mais si tel est le cas, alors S4 et KD4 seraient les candidats les plus proches (voir Hendricks & Rendsvig 2018 pour ce point). En revanche, pour la connaissance, von Kutschera a plaidé pour S4.4 (1976), Lenzen a suggéré S4.2 (1978), van der Hoek a soutenu pour S4.3 (1993), et Fagin, Halpern, Moses et Vardi (1995) et beaucoup d'autres utilisent S5 pour la connaissance et KD45 pour la croyance.

Au-delà des principes régissant la connaissance et des principes régissant la croyance, on peut également envisager des principes régissant l'interaction entre la connaissance et la croyance. Trois principes d'intérêt sont

) begin {align} tag * {KB1} K_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Les principes KB1 et KB2 ont été introduits par Hintikka, qui approuve les deux Hintikka (1962) en notant que Platon est également engagé envers KB1 dans Theatetus. Le premier principe, KB1, capture l'intuition que la connaissance est une notion plus forte que la croyance. Le second comme 4 et 5 saisit l'idée que l'on a un accès privilégié à ses propres croyances. Le troisième, issu de Lenzen (1978), capture la notion selon laquelle les croyances sont tenues avec une sorte de conviction: si quelque chose est cru, on le croit connu.

Bien que les principes d'interaction KB1KB3 puissent paraître innocents en eux-mêmes, ils peuvent conduire à des conclusions contre-intuitives lorsqu'ils sont combinés à des logiques spécifiques de connaissance et de croyance. Premièrement, Voorbraak (1993) montre que combiner 5 pour la connaissance et D pour la croyance avec KB1, implique que

[B_ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi)

est un théorème de la logique résultante. En supposant que la connaissance est véridique, ce théorème implique que les agents ne peuvent pas croire savoir quelque chose qui se trouve être faux.

Si en plus KB3 est ajouté, les notions de connaissance et de croyance s'effondrent. Par exemple, il peut être prouvé que (B_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi), ce qui, en combinaison avec KB1, implique que

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Par conséquent, les deux notions se sont réduites à une seule. Cela a été déclaré en 1986 par Kraus et Lehmann.

Si l'on ne s'intéresse pas à l'effondrement des connaissances et des croyances, il faut donc renoncer à quelque chose: on ne peut pas avoir les deux 5 pour la connaissance, D pour la croyance et KB1 et KB3 régissant leur interaction. Encore une fois, les résultats concernant la correspondance entre les principes et les propriétés des relations peuvent aider: en 1993, van der Hoek a montré, sur la base d'une analyse sémantique, que là où les quatre principes sont conjointement suffisants pour l'effondrement, aucun sous-ensemble d'entre eux ne l'est également. Abandonner n'importe quel principe éliminera ainsi l'effondrement. Affaiblir KB1 pour ne tenir que pour les formules non modales est également suffisant pour éviter l'effondrement (cf. Halpern 1996).

Pour en savoir plus sur les principes d'interaction épistémique, les principes.2,.3,.3.2. et.4, et les relations avec les croyances dites conditionnelles, voir Aucher (2014). Pour une introduction aux croyances conditionnelles et aux relations avec plusieurs autres types de connaissances de la littérature philosophique, voir Baltag et Smets (2008). Ce dernier comprend également une discussion sur l'interdéfinissabilité de diverses notions, tout comme Halpern, Samet et Segev (2009) pour la connaissance et la croyance (non conditionnelle).

3. Connaissances en groupe

Nous, êtres humains, sommes préoccupés par les états épistémiques d'autres agents. Dans la vie ordinaire, nous raisonnons avec plus ou moins de succès sur ce que les autres savent. Nous sommes particulièrement préoccupés par ce que les autres savent de nous, et souvent spécifiquement par ce qu'ils savent de ce que nous savons.

Sait-elle que je sais où elle a enterré le trésor?

Sait-elle que je sais qu'elle sait?

Etc.

La logique épistémique peut révéler des caractéristiques épistémiques intéressantes de systèmes impliquant des groupes d'agents. Dans certains cas, par exemple, les phénomènes sociaux émergents dépendent d'agents raisonnant de manière particulière sur les connaissances et les croyances d'autres agents. Comme nous l'avons vu, les systèmes traditionnels de logique épistémique ne s'appliquaient qu'aux cas à agent unique. Cependant, ils peuvent être étendus à des groupes ou à des systèmes multi-agents de manière relativement simple.

Comme David Lewis l'a noté dans son livre Convention (1969), de nombreuses caractéristiques importantes de la vie sociale dépendent d'agents supposant que les règles de certaines pratiques sont des sujets de notoriété publique. Par exemple, les conducteurs savent qu'un feu rouge indique qu'ils doivent s'arrêter à une intersection. Cependant, pour que la convention des feux de signalisation soit en place, il faut d'abord que les conducteurs sachent également que les autres conducteurs savent que le rouge signifie s'arrêter. De plus, les conducteurs doivent également savoir que tout le monde sait que tout le monde le sait…. Le rôle conventionnel des feux de signalisation repose sur le fait que tous les conducteurs savent que tous les conducteurs connaissent la règle, que la règle est une connaissance commune.

Une variété de normes, de pratiques sociales et linguistiques, d'interactions d'agents et de jeux présupposent des connaissances communes, formalisées pour la première fois par Aumann (1976) et avec les premiers traitements logiques épistémiques par Lehmann (1984) et par Halpern et Moses (1984). Pour voir comment la logique épistémique éclaire ces phénomènes, il faut introduire un peu plus de formalisme. En suivant le traitement standard (voir par exemple Fagin et al. 1995), on peut augmenter syntaxiquement le langage de la logique propositionnelle avec n opérateurs de connaissances, un pour chaque agent impliqué dans le groupe d'agents considéré. La principale différence entre la sémantique donnée pour un mono-agent et une sémantique multi-agent est en gros que n relations d'accessibilité sont introduites. Un système modal pour n agents est obtenu en réunissant n logiques modales où, pour simplifier, on peut supposer que les agents sont homogènes en ce sens qu'ils peuvent tous être décrits par le même système logique. Une logique épistémique pour n agents consiste en n copies d'une certaine logique modale. Dans une logique épistémique aussi étendue, il est possible d'exprimer qu'un agent du groupe connaît un certain fait qu'un agent sait qu'un autre agent connaît un fait, etc. Il est possible de développer la logique encore plus loin: non seulement un agent peut savoir que un autre agent connaît un fait, mais ils peuvent tous le savoir simultanément. Dans une logique épistémique aussi étendue, il est possible d'exprimer qu'un agent du groupe connaît un certain fait qu'un agent sait qu'un autre agent connaît un fait, etc. Il est possible de développer la logique encore plus loin: non seulement un agent peut savoir que un autre agent connaît un fait, mais ils peuvent tous le savoir simultanément. Dans une logique épistémique aussi étendue, il est possible d'exprimer qu'un agent du groupe connaît un certain fait qu'un agent sait qu'un autre agent connaît un fait, etc. Il est possible de développer la logique encore plus loin: non seulement un agent peut savoir que un autre agent connaît un fait, mais ils peuvent tous le savoir simultanément.

3.1 Langages et modèles multi-agents

Pour représenter les connaissances pour un ensemble (mathcal {A}) de n agents, définissons d'abord un langage. Soit (mathcal {L} _ {Kn}) donné par la forme Backus-Naur

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {for} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

Pour représenter conjointement les connaissances pour tous les n agents dans les modèles de Kripke pointus, il suffit d'ajouter de nombreuses relations:

Définition: Un modèle de Kripke pointé pour (mathcal {L} _ {Kn}) est un tuple ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) où

  • W est un ensemble non vide de mondes possibles,
  • Pour chaque (i / in / mathcal {A}), (R_ {i}) est une relation binaire sur W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) est une valorisation, et
  • (w / dans W).

Pour incorporer également les croyances, appliquez simplement le même mouvement que dans le cas d'un seul agent: augmentez le langage et laissez deux relations pour chaque agent.

La définition utilise une famille de relations ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). Dans la littérature, la même chose est notée ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}). Alternativement, R est considéré comme une fonction envoyant des agents vers des relations, ie, (R: / mathcal {A / rightarrow} mathcal {P} (W / times W)). Alors pour chaque (i / in / mathcal {A}), (R (i)) est une relation sur W, souvent notée (R_ {i}). Ce sont des choix stylistiques.

Lorsqu'on ne considère qu'un seul agent, il n'est généralement pas pertinent d'inclure plus de mondes dans W qu'il n'y a de valorisations possibles des atomes. Dans les cas multi-agents, ce n'est pas le cas: pour exprimer les différentes formes de connaissances d'ordre supérieur disponibles, de nombreuses copies du «même» monde sont nécessaires. Illustrons pour (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) et chaque (R_ {i}, i / in / mathcal {A},) une relation d'équivalence. Représentons que a et b connaissent p, mais b ne sait pas que a sait p, c'est-à-dire (K_ {a} p / wedge K_ {b} p / wedge / neg K_ {b} K_ {a} p). Ensuite, nous avons besoin de trois mondes:

Trois boîtes étiquetées w1 (contenant «p»), w2 (contenant «p») et w3 (contenant «pas p»). Chaque case a une flèche étiquetée «a, b» qui y retourne. w1 est mis en surbrillance et est connecté à w2 par une double flèche étiquetée «b». w2 est connecté à w3 par une double flèche étiquetée «a»
Trois boîtes étiquetées w1 (contenant «p»), w2 (contenant «p») et w3 (contenant «pas p»). Chaque case a une flèche étiquetée «a, b» qui y retourne. w1 est mis en surbrillance et est connecté à w2 par une double flèche étiquetée «b». w2 est connecté à w3 par une double flèche étiquetée «a»

Si nous essayons de laisser (w_ {1}) jouer le rôle de (w_ {2}), alors a perdrait des connaissances dans p: les deux mondes p sont nécessaires. En général, si W est supposé avoir une taille fixe et finie, il y aura une formule d'information d'ordre supérieur qui ne peut pas être satisfaite.

3.2 Notions de connaissance de groupe

Les systèmes multi-agents sont intéressants pour d'autres raisons que pour représenter des informations d'ordre supérieur. Les informations des agents individuels peuvent également être mises en commun pour capturer ce que les agents savent conjointement, en tant que connaissances de groupe (voir Baltag, Boddy et Smets 2018 pour une discussion récente). Une notion standard est que ce style est la connaissance distribuée: la connaissance que le groupe aurait si les agents partageaient toutes leurs connaissances individuelles. Pour le représenter, augmentez le langage (mathcal {L} _ {Kn}) avec des opérateurs

[D_ {G} text {pour} G / subseteq / mathcal {A},)

faire de (D_ {G} varphi) une formule bien formée. Où (G / subseteq / mathcal {A}) est un groupe d'agents, la formule (D_ {G} varphi) lit qu'il s'agit de connaissances distribuées dans le groupe G que (varphi).

Pour évaluer (D_ {G} varphi), nous définissons une nouvelle relation à partir de celles déjà présentes dans le modèle. L'idée derrière la définition est que si un agent a éliminé un monde comme alternative épistémique, alors le groupe le fera aussi. Définissez la relation comme l'intersection des relations des agents individuels:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / in G} R_ {i})

Dans le modèle à trois états, (R_ {G} ^ {D}) ne contient que les trois boucles. Pour évaluer une formule de connaissance distribuée, utilisez le même formulaire que pour les autres opérateurs modaux:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {pour tout} w' / dans W / text {tel que} wR_ {G } ^ {D} w '.)

Il se peut qu'un agent très connaissant sache tout ce qui est une connaissance distribuée en G, mais ce n'est pas garanti. Pour capturer que tous les agents connaissent (varphi), nous pourrions utiliser la conjonction des formules (K_ {i} varphi) pour (in / mathcal {A}), c'est-à-dire (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi). C'est une formule bien définie si (mathcal {A}) est fini (ce qui est typiquement le cas). Si (mathcal {A}) n'est pas fini, alors (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) n'est pas une formule dans (mathcal {L} _ {Kn}), car il n'a que des conjonctions finies. En tant que raccourci pour (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi), il est standard d'introduire l'opérateur tout le monde sait, (E_ {G}):

[E_ {G} varphi: = / bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi.)

Dans le modèle à trois mondes, (K_ {a} p / wedge K_ {b} p), donc (E _ { {a, b }} p).

Que tout le monde sache quelque chose ne veut pas dire que cette connaissance est partagée entre les membres du groupe. Le modèle des trois mondes illustre ceci: bien que (E _ { {a, b }} p), il est également vrai que (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

Pour capturer qu'il n'y a pas d'incertitude dans le groupe à propos de (varphi) ni d'incertitude d'ordre supérieur sur la connaissance de (varphi) par tous les agents, aucune formule dans le langage (mathcal {L} _ { Kn}) suffit. Considérez la formule

[E_ {G} ^ {k} varphi)

où (E_ {G} ^ {k}) est l'abréviation de k itérations de l'opérateur (E_ {G}). Alors pour aucun entier naturel k la formule (E_ {G} ^ {k} varphi) suffira: il se peut que b ne le sache pas! Pour remédier à cette situation, on pourrait essayer

) bigwedge_ {k / in / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

mais ce n'est pas une formule car (mathcal {L} _ {Kn}) ne contient que des conjonctions finies.

Par conséquent, bien que l'opérateur (E_ {G}) soit définissable dans le langage (mathcal {L} _ {Kn}), une notion appropriée de connaissance commune ne l'est pas. Pour cela, nous devons à nouveau définir une nouvelle relation sur notre modèle. Cette fois, nous sommes intéressés à capturer que personne ne considère (varphi) épistémiquement possible nulle part. Pour construire la relation, on prend donc d'abord l'union des relations de tous les agents en G, mais ce n'est pas tout à fait suffisant: pour utiliser la clause sémantique modale standard, il faut aussi pouvoir atteindre tous les mondes de cette relation en une seule étape. Par conséquent, laissez

[R_ {G} ^ {C}: = / left (bigcup_ {i / in G} R_ {i} right) ^ {*})

où ((cdotp) ^ {*}) est l'opération de prise de la fermeture transitive. Si R est une relation, alors ((R) ^ {*}) est R plus toutes les paires manquantes pour faire de R une relation transitive. Considérons le modèle à trois mondes: Avec la relation (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}), nous pouvons atteindre (w_ {3}) depuis (w_ {1}) en deux étapes, en vous arrêtant à (w_ {2}). Avec ((bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) ^ {*}), (w_ {3}) est accessible en une seule étape: par le lien transitif nouvellement ajouté de (w_ {1}) à (w_ {3}).

Pour représenter les connaissances courantes, augmentez la forme Backus-Naur de (mathcal {L} _ {Kn}) avec des opérateurs

[C_ {G} text {pour} G / subseteq / mathcal {A},)

faire de (C_ {G} varphi) une formule bien formée. Évaluer ces formules par la clause sémantique

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {pour tout} w' / dans W / text {tel que} wR_ {G } ^ {C} w '.)

La variation des propriétés des relations d'accessibilité (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), comme décrit ci-dessus, aboutit à des logiques épistémiques différentes. Par exemple, le système K avec une connaissance commune est déterminé par toutes les trames, tandis que le système S4 avec une connaissance commune est déterminé par toutes les trames réflexives et transitives. Des résultats similaires peuvent être obtenus pour les logiques épistémiques restantes (Fagin et al. 1995). Pour en savoir plus, consultez l'entrée sur les connaissances communes.

4. Omniscience logique

La principale plainte contre l'approche adoptée par les logiciens épistémiques est qu'elle est attachée à une image excessivement idéalisée du raisonnement humain. Les critiques s'inquiètent du fait que la sémantique relationnelle de la logique épistémique engage une personne à une propriété de fermeture pour la connaissance d'un agent qui est invraisemblablement forte compte tenu des capacités de raisonnement humaines réelles. Les propriétés de fermeture donnent lieu à ce qu'on a appelé le problème de l'omniscience logique:

Chaque fois qu'un agent c connaît toutes les formules d'un ensemble (Gamma) et A suit logiquement de (Gamma), alors c connaît également A.

En particulier, c connaît tous les théorèmes (en laissant (Gamma = / emptyset)), et connaît toutes les conséquences logiques de toute formule que l'agent connaît (en laissant (Gamma) se composer d'une seule formule). Le souci ici est que les agents finis sont contraints par des limites sur leurs capacités cognitives et leurs capacités de raisonnement. Le compte rendu de la connaissance et de la croyance dans lequel la logique épistémique semble engagée implique des capacités surhumaines comme la connaissance de toutes les tautologies. Ainsi, le problème est que la logique épistémique est tout simplement inadaptée à la capture de connaissances et de croyances réelles telles que ces notions figurent dans la vie humaine ordinaire.

Hintikka a reconnu une divergence entre les règles de la logique épistémique et la façon dont le verbe «connaître» est habituellement utilisé déjà dans les premières pages de Connaissance et Croyance. Il a souligné que

il est clairement inadmissible de déduire «il sait que q» de «il sait que p» uniquement sur la base que q découle logiquement de p, car la personne en question peut ne pas voir que p implique q, en particulier si p et q sont déclarations relativement compliquées. (1962: 30-31)

La première réaction de Hintikka à ce qu'on a appelé le problème de l'omniscience logique a été de voir l'écart entre l'usage ordinaire de termes comme «cohérence» et les traitements formels de la connaissance comme indiquant un problème avec notre terminologie ordinaire. Si une personne connaît les axiomes d'une théorie mathématique mais est incapable d'énoncer les conséquences lointaines de la théorie, Hintikka a nié qu'il soit approprié de qualifier cette personne d'incohérente. Dans les affaires humaines ordinaires, a affirmé Hintikka, l'accusation d'incohérence lorsqu'elle est dirigée vers un agent a la connotation d'être irrationnelle ou malhonnête. Ainsi, du point de vue de Hintikka, nous devrions choisir un autre terme pour saisir la situation de quelqu'un qui est rationnel et susceptible d'être persuadé ou corrigé mais pas logiquement omniscient. Non omniscient,les agents rationnels peuvent être en mesure de dire que «je sais que p mais je ne sais pas si q» même dans le cas où q peut p. Il suggère ensuite que q devrait être considéré comme défendable étant donné la connaissance de l'agent et que le refus de q devrait être considéré comme indéfendable. Ce choix de terminologie a été critiqué dans la mesure où il attache le péjoratif indéfendable à un ensemble de propositions, même si la faute réside en réalité dans les capacités cognitives de l'agent (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).même si la faute réside en fait dans les capacités cognitives de l'agent (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).même si la faute réside en fait dans les capacités cognitives de l'agent (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

La première logique épistémique de Hintikka peut être comprise comme une manière de raisonner sur ce qui est implicite dans la connaissance d'un agent, même dans les cas où l'agent lui-même est incapable de déterminer ce qui est implicite. Une telle approche risque d'être excessivement idéalisée et sa pertinence pour comprendre les circonstances épistémiques humaines peut être remise en question pour ces raisons.

Peu de philosophes étaient satisfaits de la tentative de Hintikka de réviser notre utilisation ordinaire du terme «cohérent» tel qu'il l'a présenté dans Knowledge and Belief. Cependant, lui et d'autres ont rapidement fourni des moyens plus populaires de traiter l'omniscience logique. Dans les années 1970, les réponses au problème de l'omniscience logique ont introduit des entités sémantiques qui expliquent pourquoi l'agent semble être, mais en fait n'est pas vraiment coupable d'omniscience logique. Hintikka a qualifié ces entités de «mondes possibles impossibles» (1979; voir aussi l'entrée sur les mondes impossibles et Jago 2014). L'idée de base est qu'un agent peut, à tort, compter parmi les mondes cohérents avec sa connaissance, certains mondes contenant des contradictions logiques. L'erreur est simplement le produit des ressources limitées de l'agent;l'agent peut ne pas être en mesure de détecter la contradiction et peut à tort les considérer comme de véritables possibilités. À certains égards, cette approche peut être comprise comme une extension de la réponse susmentionnée à l'omniscience logique que Hintikka avait déjà décrite dans Connaissance et croyance.

Dans le même esprit, des entités appelées mondes «apparemment possibles» sont introduites par Rantala (1975) dans son analyse du modèle d'urne de l'omniscience logique. Permettre des mondes possibles impossibles ou des mondes apparemment possibles dans lesquels la valorisation sémantique des formules est dans une certaine mesure arbitraire permet de rendre l'apparence de l'omniscience logique moins menaçante. Après tout, sur toute analyse réaliste de l'action épistémique, l'agent est susceptible de considérer (quoique par inadvertance) des mondes dans lesquels les lois de la logique ne tiennent pas. Puisqu'aucun véritable principe épistémique n'est suffisamment large pour englober des mondes impossibles et apparemment possibles, certaines conditions doivent être appliquées aux modèles épistémiques de manière à ce qu'ils coïncident avec les principes épistémiques (pour la critique de cette approche, voir Jago 2007: 336-337).

Alternativement à la conception de logiques dans lesquelles les opérateurs de connaissance ne présentent pas d'omniscience logique, la logique de conscience offre une alternative: changer l'interprétation de (K_ {a} varphi) de «a sait que (varphi)» à «a sait implicitement que (varphi) »et prend la connaissance explicite que (varphi) est une connaissance implicite de (varphi) et une connaissance de (varphi). La conscience n'étant pas fermée sous la conséquence logique, un tel mouvement permet une notion de connaissance explicite non logiquement omnisciente. Comme les agents n'ont pas à calculer leur connaissance implicite ni ne peuvent être tenus pour responsables de répondre aux requêtes qui en découlent, l'omniscience logique n'est problématique que pour les connaissances explicites, le problème de l'omniscience logique est ainsi évité. Bien que l'omniscience logique soit une condition épistémologique de la connaissance implicite,l'agent lui-même peut en fait ne pas réaliser cette condition. Pour plus d'informations sur la logique de la conscience, voir, par exemple, le séminal Fagin et Halpern (1987) ou Velazquez-Quesada (2011) et Schipper (2015) pour des aperçus.

Des débats sur les différents types d'idéalisation impliqués dans la logique épistémique sont en cours dans des contextes philosophiques et interdisciplinaires.

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Autres ressources Internet

  • Hintikka's World, un outil graphique et pédagogique pour apprendre la logique épistémique, le raisonnement d'ordre supérieur et la dynamique des connaissances.
  • Modal Logic Playground, une interface graphique pour dessiner et évaluer des formules de logique propositionnelle modale.
  • Hendricks, Vincent et John Symons, «Epistemic Logic», Stanford Encyclopedia of Philosophy (édition printemps 2019), Edward N. Zalta (éd.), URL = . [C'était l'entrée précédente sur ce sujet dans l'Encyclopédie de Stanford de Philosophie - voir l'historique des versions.]

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