Le Platonisme Dans La Philosophie Des Mathématiques

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Le platonisme dans la philosophie des mathématiques

Publié pour la première fois le 18 juillet 2009; révision de fond jeu.18 janv.2018

Le platonisme sur les mathématiques (ou platonisme mathématique) est la vision métaphysique selon laquelle il existe des objets mathématiques abstraits dont l'existence est indépendante de nous et de notre langage, de notre pensée et de nos pratiques. Tout comme les électrons et les planètes existent indépendamment de nous, les nombres et les ensembles existent également. Et tout comme les déclarations sur les électrons et les planètes sont rendues vraies ou fausses par les objets qui les concernent et les propriétés parfaitement objectives de ces objets, de même les déclarations sur les nombres et les ensembles. Les vérités mathématiques sont donc découvertes, non inventées.

L'argument le plus important pour l'existence d'objets mathématiques abstraits dérive de Gottlob Frege et va comme suit (Frege 1953). Le langage des mathématiques prétend faire référence à et quantifier des objets mathématiques abstraits. Et un grand nombre de théorèmes mathématiques sont vrais. Mais une phrase ne peut être vraie que si ses sous-expressions réussissent à faire ce qu'elles prétendent faire. Il existe donc des objets mathématiques abstraits auxquels ces expressions se réfèrent et sur lesquelles se quantifient.

Nonobstant l'argument de Frege, les philosophes ont développé une variété d'objections au platonisme mathématique. Ainsi, on prétend que les objets mathématiques abstraits sont épistémologiquement inaccessibles et métaphysiquement problématiques. Le platonisme mathématique a été l'un des sujets les plus controversés de la philosophie des mathématiques au cours des dernières décennies.

  • 1. Qu'est-ce que le platonisme mathématique?

    • 1.1 Remarques historiques
    • 1.2 La signification philosophique du platonisme mathématique
    • 1.3 Réalisme d'objet
    • 1.4 Réalisme de la valeur de vérité
    • 1.5 La signification mathématique du platonisme
  • 2. L'argument de Fregean pour l'existence

    • 2.1 La structure de l'argument
    • 2.2 Défense de la sémantique classique
    • 2.3 Défendre la vérité
    • 2.4 La notion d'engagement ontologique
    • 2.5 De l'existence au platonisme mathématique?
  • 3. Objections au platonisme mathématique

    • 3.1 Accès épistémologique
    • 3.2 Une objection métaphysique
    • 3.3 Autres objections métaphysiques
  • 4. Entre réalisme d'objet et platonisme mathématique

    • 4.1 Comment comprendre l'indépendance
    • 4.2 Platonisme plénitude
    • 4.3 Valeurs sémantiques légères
    • 4.4 Deux autres formes légères de réalisme d'objet
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Qu'est-ce que le platonisme mathématique?

Le platonisme mathématique peut être défini comme la conjonction des trois thèses suivantes:

Existence.

Il existe des objets mathématiques.

Abstrait.

Les objets mathématiques sont abstraits.

Indépendance.

Les objets mathématiques sont indépendants des agents intelligents et de leur langage, pensée et pratiques.

Certaines définitions représentatives du `` platonisme mathématique '' sont énumérées dans le supplément

Quelques définitions du platonisme

et documenter que la définition ci-dessus est assez standard.

Le platonisme en général (par opposition au platonisme sur les mathématiques en particulier) est toute vue qui découle des trois revendications ci-dessus en remplaçant l'adjectif «mathématique» par tout autre adjectif.

Les deux premières revendications sont assez claires aux fins actuelles. L'existence peut être formalisée comme «∃ x Mx», où «Mx» abrégé le prédicat «x est un objet mathématique» qui est vrai de tous et seulement des objets étudiés par les mathématiques pures, tels que les nombres, les ensembles et les fonctions. L'abstrait dit que tout objet mathématique est abstrait, où un objet est dit abstrait au cas où il serait non spatiotemporel et (par conséquent) causalement inefficace. (Pour plus de détails, voir l'entrée sur les objets abstraits.)

L'indépendance est moins claire que les deux autres revendications. Que signifie attribuer cette sorte d'indépendance à un objet? La glose la plus évidente est probablement la condition contrefactuelle selon laquelle, s'il n'y avait pas eu d'agents intelligents, ou si leur langage, leur pensée ou leurs pratiques avaient été différents, il y aurait encore eu des objets mathématiques. Cependant, il est peu probable que cette glose fasse tout le travail que Independence est censé faire (voir section 4.1). Pour l'instant, l' indépendance restera quelque peu schématique.

1.1 Remarques historiques

Le platonisme doit être distingué du point de vue du Platon historique. Peu de parties au débat contemporain sur le platonisme font de fortes affirmations exégétiques sur le point de vue de Platon, et encore moins la défendent. Bien que la vision que nous appelons le `` platonisme '' soit inspirée de la célèbre théorie de Platon des formes abstraites et éternelles (voir l'entrée sur la métaphysique et l'épistémologie de Platon), le platonisme est maintenant défini et débattu indépendamment de son inspiration historique originale.

Non seulement le platonisme en discussion n'est pas celui de Platon, mais le platonisme tel que décrit ci-dessus est une vue purement métaphysique: il doit être distingué des autres vues qui ont un contenu épistémologique substantiel. De nombreuses caractérisations plus anciennes du platonisme ajoutent de fortes affirmations épistémologiques à l'effet que nous avons une compréhension immédiate ou un aperçu du domaine des objets abstraits. (Voir par exemple, Rees 1967.) Mais il est utile (et aujourd'hui assez classique) de réserver le terme «platonisme» à la vision purement métaphysique décrite ci-dessus. De nombreux philosophes qui défendent le platonisme dans ce sens purement métaphysique rejetteraient les prétentions épistémologiques supplémentaires. Les exemples incluent Quine et d'autres philosophes attirés par l'argument dit d'indispensabilité, qui cherche à donner une défense largement empirique du platonisme mathématique.(Voir l'entrée sur les arguments d'indispensabilité dans la philosophie des mathématiques.)

Enfin, la définition ci-dessus du «platonisme mathématique» exclut l'affirmation selon laquelle toutes les vérités des mathématiques pures sont nécessaires, bien que cette affirmation ait été traditionnellement faite par la plupart des platoniciens. Encore une fois, cette exclusion est justifiée par le fait que certains philosophes qui sont généralement considérés comme des platoniciens (par exemple, Quine et certains adhérents de l'argument d'indispensabilité susmentionné) rejettent cette revendication modale supplémentaire.

1.2 La signification philosophique du platonisme mathématique

Le platonisme mathématique a une signification philosophique considérable. Si le point de vue est vrai, cela exercera une forte pression sur l'idée physicaliste que la réalité est épuisée par le physique. Car le platonisme implique que la réalité s'étend bien au-delà du monde physique et inclut des objets qui ne font pas partie de l'ordre causal et spatio-temporel étudié par les sciences physiques. [1] Le platonisme mathématique, s'il est vrai, exercera également une grande pression sur de nombreuses théories naturalistes de la connaissance. Car il ne fait aucun doute que nous possédons des connaissances mathématiques. La vérité du platonisme mathématique établirait donc que nous avons une connaissance d'objets abstraits (et donc causalement inefficaces). Ce serait une découverte importante, que de nombreuses théories naturalistes de la connaissance auraient du mal à intégrer.

Bien que ces conséquences philosophiques ne soient pas propres au platonisme mathématique, cette forme particulière de platonisme est exceptionnellement bien adaptée pour supporter de telles conséquences. Car les mathématiques sont une discipline remarquablement réussie, à la fois en soi et en tant qu'outil pour d'autres sciences. [2] Peu de philosophes analytiques contemporains sont prêts à contredire l'une quelconque des revendications fondamentales d'une discipline dont les références scientifiques sont aussi fortes que celles des mathématiques (Lewis 1991, pp. 57–9). Donc, si l'analyse philosophique révélait que les mathématiques avaient des conséquences étranges et surprenantes, il ne serait pas intéressant de simplement rejeter les mathématiques. [3]Une forme de platonisme basée sur une discipline dont les références scientifiques sont moins impressionnantes que celles des mathématiques ne se trouverait pas dans cette situation heureuse. Par exemple, lorsque la théologie s'avère avoir des conséquences philosophiques étranges et surprenantes, de nombreux philosophes n'hésitent pas à rejeter les parties pertinentes de la théologie.

1.3 Réalisme d'objet

Que le réalisme des objets soit la vue qu'il existe des objets mathématiques abstraits. Le réalisme objet n'est donc que la conjonction de l' existence et de l' abstrait. [4] Le réalisme d'objet s'oppose au nominalisme, qui dans la philosophie contemporaine est généralement défini comme l'idée qu'il n'y a pas d'objets abstraits. (Dans un usage philosophique plus traditionnel, le mot «nominalisme» se réfère plutôt à l'idée qu'il n'y a pas d'universaux. Voir Burgess & Rosen 1997, pp. 13–25 et l'entrée sur les objets abstraits.)

Parce que le réalisme d'objet laisse de côté l' indépendance, cette vue est logiquement plus faible que le platonisme mathématique. Les conséquences philosophiques du réalisme objet ne sont donc pas aussi fortes que celles du platonisme. De nombreux physicalistes accepteraient des objets non physiques à condition qu'ils soient dépendants ou réductibles à des objets physiques. Ils peuvent par exemple accepter des objets tels que des corporations, des lois et des poèmes, à condition qu'ils soient convenablement dépendants ou réductibles à des objets physiques. De plus, il ne semble pas y avoir de mystère sur l'accès épistémique aux objets non physiques que nous avons en quelque sorte fabriqués ou «constitués». Si des corporations, des lois et des poèmes sont créés ou «constitués» par nous, nous en acquérons vraisemblablement la connaissance en les faisant ou en les «constituant».

Certaines vues de la philosophie des mathématiques sont réalistes d'objet sans être platoniciennes. Un exemple en sont les vues intuitionnistes traditionnelles, qui affirment l'existence d'objets mathématiques mais soutiennent que ces objets dépendent ou sont constitués par des mathématiciens et de leurs activités. [5] Quelques autres exemples de vues réalistes d'objet sans être platoniciennes seront discutés dans la section 4.

1.4 Réalisme de la valeur de vérité

Le réalisme de la valeur de vérité est l'idée que chaque énoncé mathématique bien formé a une valeur de vérité unique et objective qui est indépendante du fait qu'elle peut être connue par nous et si elle découle logiquement de nos théories mathématiques actuelles. L'opinion soutient également que la plupart des affirmations mathématiques jugées vraies sont en fait vraies. Le réalisme de la valeur de vérité est donc clairement une vision métaphysique. Mais contrairement au platonisme, ce n'est pas une vision ontologique. Car bien que le réalisme de la valeur de vérité prétende que les déclarations mathématiques ont des valeurs de vérité uniques et objectives, il n'est pas attaché à l'idée typiquement platonicienne que ces valeurs de vérité doivent être expliquées en termes d'une ontologie d'objets mathématiques.

Le platonisme mathématique motive clairement le réalisme de la valeur de vérité en fournissant un compte rendu de la façon dont les énoncés mathématiques obtiennent leurs valeurs de vérité. Mais le premier point de vue n'implique pas le second à moins que d'autres prémisses ne soient ajoutées. Car même s'il y a des objets mathématiques, l'indétermination référentielle et quantificationnelle peut priver les énoncés mathématiques d'une valeur de vérité unique et objective. Inversement, le réalisme valeur-vérité n'implique pas par lui-même l' Existence et n'implique donc ni réalisme objet ni platonisme. Car il existe divers récits sur la manière dont les énoncés mathématiques peuvent en arriver à posséder des valeurs de vérité uniques et objectives qui ne postulent pas un domaine d'objets mathématiques. [6]

En fait, de nombreux nominalistes approuvent le réalisme de la valeur de vérité, au moins sur des branches plus élémentaires des mathématiques, telles que l'arithmétique. Les nominalistes de ce type sont attachés à l'idée légèrement étrange que, bien que l'énoncé mathématique ordinaire

(1) Il y a des nombres premiers entre 10 et 20.

c'est vrai, il n'y a en fait pas d'objets mathématiques et donc en particulier pas de nombres. Mais il n'y a pas de contradiction ici. Il faut distinguer le langage L M dans lequel les mathématiciens font leurs revendications et le langage L P dans lequel les nominalistes et autres philosophes font les leurs. L'instruction (1) est réalisé en L M. Mais l'affirmation du nominaliste que (1) est vrai mais il n'y a pas des objets abstraits est faite dans L P. Est ainsi parfaitement cohérent fourni l'affirmation de la nominalist que (1) se traduit non homophoniquement de L M en L P. Et en effet, quand le nominaliste prétend que les valeurs de vérité des phrases de L Msont fixés d'une manière qui ne fait pas appel aux objets mathématiques, c'est précisément cette sorte de traduction non homophonique qu'elle a en tête. La vue mentionnée dans la note précédente en fournit un exemple.

Cela montre que pour que la revendication Existence ait l'effet voulu, elle doit être exprimée dans le langage L P utilisé par nous philosophes. Si l'affirmation était exprimée dans le langage L M utilisé par les mathématiciens, alors les nominalistes pourraient accepter l'affirmation tout en niant toujours qu'il existe des objets mathématiques, contrairement à l'objet de l'affirmation.

Une petite mais importante tradition de philosophes insiste pour que le débat sur le platonisme soit remplacé par, ou du moins transformé en, un débat sur le réalisme de la valeur vérité. Une des raisons avancées à l'appui de ce point de vue est que le premier débat est désespérément incertain, tandis que le second est plus traitable (Dummett 1978a, pp. 228-232 et Dummett 1991b, pp. 10-15). Une autre raison invoquée est que le débat sur le réalisme de la valeur vérité est plus important pour la philosophie et les mathématiques que celui sur le platonisme. [7]

1.5 La signification mathématique du platonisme

Le réalisme de travail est la conception méthodologique selon laquelle les mathématiques doivent être pratiquées comme si le platonisme était vrai (Bernays 1935, Shapiro 1997, pp. 21-27 et 38-44). Cela nécessite quelques explications. Dans les débats sur les fondements des mathématiques, le platonisme a souvent été utilisé pour défendre certaines méthodes mathématiques, telles que les suivantes:

  1. Langages classiques de premier ordre (ou plus forts) dont les termes singuliers et les quantificateurs semblent se référer à et s'étendre sur des objets mathématiques. (Cela contraste avec les langues qui dominaient plus tôt dans l'histoire des mathématiques, qui reposaient davantage sur un vocabulaire constructif et modal.)
  2. Logique classique plutôt qu'intuitionniste.
  3. Méthodes non constructives (telles que les preuves d'existence non constructives) et axiomes non constructifs (tels que l'axiome du choix).
  4. Définitions améliorées (c'est-à-dire des définitions qui quantifient sur une totalité à laquelle appartiendrait l'objet défini).
  5. «L'optimisme hilbertien», c'est-à-dire la croyance que tout problème mathématique est en principe résoluble. [8]

Selon le réalisme de travail, ces méthodes et d'autres méthodes classiques sont acceptables et disponibles dans tous les raisonnements mathématiques. Mais le réalisme de travail ne prend pas position sur la question de savoir si ces méthodes nécessitent une défense philosophique et, dans l'affirmative, si cette défense doit être fondée sur le platonisme. En bref, là où le platonisme est une vision explicitement philosophique, le réalisme de travail est avant tout une vision au sein même des mathématiques de la méthodologie correcte de cette discipline. Le platonisme et le réalisme de travail sont donc des points de vue distincts.

Cependant, il peut bien sûr y avoir des relations logiques entre les deux points de vue. Étant donné l'origine du réalisme de travail, il n'est pas surprenant que la vue reçoive un fort soutien du platonisme mathématique. Supposons que le platonisme mathématique est vrai. Alors il est clair que le langage des mathématiques devrait être tel que décrit en (i). Deuxièmement, à condition qu'il soit légitime de raisonner classiquement sur toute partie de la réalité existant indépendamment, (ii) suivrait également. Troisièmement, puisque le platonisme assure que les mathématiques sont découvertes plutôt qu'inventées, il ne serait pas nécessaire pour les mathématiciens de se limiter aux méthodes constructives et aux axiomes, ce qui établit (iii). Quatrièmement, il existe un argument puissant et influent dû à Gödel (1944) selon lequel les définitions imprédicatives sont légitimes chaque fois que les objets définis existent indépendamment de nos définitions.(Par exemple, «le garçon le plus grand de la classe» ne semble pas poser de problème bien qu'il soit imprédicatif.) Si cela est correct, alors (iv) suivra. Enfin, si les mathématiques concernent une réalité existante indépendamment, alors chaque problème mathématique a une réponse unique et déterminée, qui fournit au moins une certaine motivation pour l'optimisme hilbertien. (Voir, cependant, la discussion sur le platonisme plénitude à la section 4.2.)

La vérité du platonisme mathématique aurait donc des conséquences importantes au sein même des mathématiques. Elle justifierait les méthodes classiques associées au réalisme de travail et encouragerait la recherche de nouveaux axiomes pour régler des questions (comme l'hypothèse du continuum) laissées ouvertes par nos théories mathématiques actuelles.

Cependant, le réalisme de travail n'implique pas de manière évidente le platonisme. Bien que le réalisme de travail dise que nous sommes justifiés d'utiliser le langage platonicien des mathématiques contemporaines, cela ne correspond pas au platonisme d'au moins deux manières. Comme l'a montré la discussion ci-dessus sur le réalisme de la valeur vérité, le langage platoniste des mathématiques peut être analysé de manière à éviter toute référence et quantification sur des objets mathématiques. De plus, même si une analyse de la valeur nominale du langage des mathématiques pouvait être justifiée, cela soutiendrait le réalisme d'objet mais pas le platonisme. Un argument supplémentaire serait nécessaire pour la troisième composante du platonisme, à savoir l' indépendance. Les perspectives d'un tel argument sont discutées dans la section 4.1.

2. L'argument de Fregean pour l'existence

Nous décrivons maintenant un modèle d'argument pour l'existence d'objets mathématiques. Puisque le premier philosophe qui a développé un argument de cette forme générale était Frege, il sera appelé l'argument frégéen. Mais le modèle est général et fait abstraction des aspects les plus spécifiques de la propre défense de Frege de l'existence d'objets mathématiques, comme son point de vue selon lequel l'arithmétique est réductible à la logique. Le logicisme frégéen n'est qu'une manière dont ce modèle peut être développé; d'autres moyens seront mentionnés ci-dessous.

2.1 La structure de l'argument

L'argument frégéen repose sur deux prémisses, dont la première concerne la sémantique du langage des mathématiques:

Sémantique classique.

Les termes singuliers du langage des mathématiques prétendent se référer à des objets mathématiques, et ses quantificateurs de premier ordre prétendent s'étendre sur ces objets.

Le mot «prétendu» doit être expliqué. Lorsqu'une phrase S prétend renvoyer ou quantifier d'une certaine manière, cela signifie que pour que S soit vrai, S doit réussir à référencer ou quantifier de cette manière.

La deuxième prémisse ne nécessite pas beaucoup d'explications:

La vérité.

La plupart des phrases acceptées comme théorèmes mathématiques sont vraies (indépendamment de leur structure syntaxique et sémantique).

Considérez les phrases qui sont acceptées comme théorèmes mathématiques et qui contiennent un ou plusieurs termes mathématiques singuliers. En vérité, la plupart de ces phrases sont vraies. [9] Soit S une de ces phrases. Par la sémantique classique, la vérité de S exige que ses termes singuliers réussissent à se référer à des objets mathématiques. Il doit donc y avoir des objets mathématiques, comme l'affirme l' Existence. [dix]

2.2 Défense de la sémantique classique

La sémantique classique prétend que le langage des mathématiques fonctionne sémantiquement un peu comme le langage dans les fonctions générales (ou du moins a été traditionnellement supposé fonctionner): les fonctions sémantiques des termes singuliers et des quantificateurs doivent se référer à des objets et s'étendre sur des objets, respectivement. Il s'agit d'une affirmation largement empirique sur le fonctionnement d'un langage semi-formel utilisé par la communauté des mathématiciens professionnels. (Dans la terminologie largement adoptée de Burgess & Rosen 1997, p. 6-7, la sémantique classique est une affirmation herméneutique; c'est-à-dire une affirmation descriptive sur la manière dont un certain langage est réellement utilisé, et non une affirmation normative sur la façon dont ce langage doit être utilisé.) Notez également que la sémantique classiqueest compatible avec la plupart des vues traditionnelles sur la sémantique; en particulier, il est compatible avec toutes les vues standard sur les significations des phrases, à savoir qu'elles sont des valeurs de vérité, des propositions ou des ensembles de mondes possibles.

La sémantique classique jouit d'une forte plausibilité prima facie. Car le langage des mathématiques semble fortement avoir la même structure sémantique que le langage non mathématique ordinaire. Comme le fait remarquer Burgess (1999), les deux phrases suivantes semblent avoir la même structure sémantique simple d'un prédicat attribué à un sujet (p. 288):

(4) Evelyn est prim.

(5) Onze est premier.

Cette apparence est également confirmée par les analyses sémantiques standards proposées par les linguistes et les sémantiques.

La sémantique classique a néanmoins été remise en question, par exemple par des nominalistes comme Hellman (1989) et par Hofweber (2005 et 2016). (Voir aussi Moltmann (2013) pour quelques défis liés au vocabulaire arithmétique en langage naturel.) Ce n'est pas le lieu pour une discussion approfondie de ces défis. Permettez-moi simplement de noter que beaucoup de travail est nécessaire pour justifier ce type de défi. Le challenger devra faire valoir que les similitudes sémantiques apparentes entre le langage mathématique et non mathématique sont trompeuses. Et ces arguments devront être du type que les linguistes et les sémantiques - sans intérêt direct pour la philosophie des mathématiques - pourraient en venir à reconnaître comme significatifs. [11]

2.3 Défendre la vérité

La vérité peut être défendue de différentes manières. Le point commun à toutes les défenses est qu'elles identifient d'abord une norme par laquelle les valeurs de vérité des énoncés mathématiques peuvent être évaluées, puis soutiennent que les théorèmes mathématiques satisfont à cette norme.

Une option consiste à faire appel à une norme plus fondamentale que celle des mathématiques elles-mêmes. Le logicisme en fournit un exemple. Frege et d'autres logicistes affirment d'abord que tout théorème de logique pure est vrai. Ensuite, ils tentent de montrer que les théorèmes de certaines branches des mathématiques peuvent être prouvés à partir de la logique pure et des seules définitions.

Une autre option consiste à faire appel aux normes de la science empirique. L'argument d'indispensabilité de Quine-Putnam en fournit un exemple. Tout d'abord, il est soutenu que toute partie indispensable de la science empirique est susceptible d'être vraie et donc quelque chose que nous sommes en droit de croire. Ensuite, on fait valoir que de grandes quantités de mathématiques sont indispensables à la science empirique. Si les deux affirmations sont correctes, il s'ensuit que la vérité est vraisemblablement vraie et que la croyance en la vérité est donc justifiée. (Voir l'entrée sur les arguments d'indispensabilité dans la philosophie des mathématiques.)

Une troisième option consiste à faire appel aux normes des mathématiques elles-mêmes. Pourquoi devrait-on avoir recours à des standards non mathématiques, comme ceux de la logique ou de la science empirique, pour défendre la vérité des théorèmes mathématiques? Lorsque nous défendons la vérité des affirmations de la logique et de la physique, nous n'avons pas besoin de faire appel à des normes en dehors respectivement de la logique et de la physique. Nous supposons plutôt que la logique et la physique fournissent leurs propres normes de justification sui generis. Pourquoi les mathématiques devraient-elles être différentes? Cette troisième stratégie a beaucoup retenu l'attention ces dernières années, souvent sous le nom de «naturalisme» ou de «naturalisme mathématique». (Voir Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997, et, pour une discussion critique, voir l'entrée sur le naturalisme dans la philosophie des mathématiques.)

Voici un exemple de la manière dont une stratégie naturaliste peut être développée. Appelez l'attitude des mathématiciens à l'égard des théorèmes de l'acceptation des mathématiques. Ensuite, les affirmations suivantes semblent plausibles:

(6) Les mathématiciens ont raison d'accepter les théorèmes des mathématiques.

(7) Accepter un énoncé mathématique S implique de prendre S pour vrai.

(8) Lorsqu'un mathématicien accepte un énoncé mathématique S, le contenu de cette attitude est en général le sens littéral de S.

De ces trois affirmations, il découle que les experts en mathématiques sont justifiés de considérer les théorèmes des mathématiques comme des vérités littérales. Par extension, le reste d'entre nous aussi est justifié de croire à la Vérité. Notez que les experts dont (6) est concerné n'ont pas besoin de croire eux-mêmes (7) et (8), et encore moins d'être justifiés dans une telle croyance. Ce qui compte, c'est que les trois affirmations soient vraies. La tâche d'établir la vérité de (7) et (8) peut incomber aux linguistes, psychologues, sociologues ou philosophes, mais certainement pas aux mathématiciens eux-mêmes.

2.4 La notion d'engagement ontologique

Des versions de l'argument frégéen sont parfois énoncées en termes de notion d'engagement ontologique. Supposons que nous fonctionnions avec le critère Quinean standard d'engagement ontologique:

Critère de Quine.

Une phrase de premier ordre (ou une collection de telles phrases) est ontologiquement engagée dans des objets qui doivent être supposés être dans la plage des variables pour que la phrase (ou la collection de phrases) soit vraie.

Ensuite, il découle de la sémantique classique que de nombreuses phrases de mathématiques sont ontologiquement engagées dans des objets mathématiques. Pour voir cela, considérons un théorème mathématique typique S, qui implique une occurrence d'extension normale de termes singuliers ou de quantificateurs de premier ordre. Selon la sémantique classique, ces expressions prétendent se référer à ou s'étendre sur des objets mathématiques. Pour que S soit vrai, ces expressions doivent réussir à faire ce qu'elles prétendent faire. Par conséquent, pour que S soit vrai, il doit y avoir des objets mathématiques dans la plage des variables. Selon le critère de Quine, cela signifie que S est ontologiquement engagé dans des objets mathématiques.

Quine et beaucoup d'autres considèrent le critère de Quine comme une simple définition du terme «engagement ontologique» (Quine 1969 et Burgess 2004). Mais le critère a néanmoins été contesté. Certains philosophes nient que les termes singuliers et les quantificateurs de premier ordre donnent automatiquement lieu à des engagements ontologiques. Peut-être que ce qui est «exigé du monde» pour que la phrase soit vraie implique l'existence de certains mais pas de tous les objets dans la gamme des quantificateurs (Rayo 2008). Ou peut-être devrions-nous rompre le lien entre le quantificateur existentiel de premier ordre et la notion d'engagement ontologique (Azzouni 2004, Hofweber 2000 et 2016).

Une réponse à ces défis est d'observer que l'argument frégéen a été développé ci-dessus sans aucune utilisation du terme «engagement ontologique». Toute contestation de la définition de «l'engagement ontologique» fournie par le critère de Quine apparaît donc sans rapport avec la version de l'argument frégéen développée ci-dessus. Cependant, il est peu probable que cette réponse satisfasse les challengers, qui répondront que la conclusion de l'argument développé ci-dessus est trop faible pour avoir l'effet escompté. Rappelons que la conclusion, l' existence, est formalisée dans notre méta-langage philosophique L Pcomme '∃ x Mx'. Ainsi, cette formalisation n'aura pas l'effet escompté à moins que cette phrase méta-langagière ne soit du type qui entraîne un engagement ontologique. Mais c'est précisément ce que contestent les challengers. Cette controverse ne peut être approfondie ici. Pour l'instant, nous observons simplement que les challengers doivent expliquer pourquoi leur notion non standard d'engagement ontologique est meilleure et théoriquement plus intéressante que la notion quinéenne standard.

2.5. De l'existence au platonisme mathématique?

Supposons que nous acceptions l' Existence, peut-être basée sur l'argument frégéen. Comme nous l'avons vu, il ne s'agit pas encore d'accepter le platonisme mathématique, qui est le résultat de l'ajout à l' Existence des deux autres revendications Abstrait et Indépendance. Ces deux autres revendications sont-elles défendables?

Selon les normes de la philosophie, l' abstrait est resté relativement peu controversé. Parmi les rares philosophes à l'avoir contestée, on trouve Maddy (1990) (concernant les ensembles impurs) et Bigelow (1988) (concernant les ensembles et les divers types de nombres). Ce manque relatif de controverse signifie que peu de défenses explicites de l' abstraita été développé. Mais il n'est pas difficile de voir comment une telle défense pourrait se dérouler. Voici une idée. C'est une contrainte plausible à première vue sur toute interprétation philosophique de la pratique mathématique d'éviter d'attribuer aux mathématiques des caractéristiques qui rendraient la pratique mathématique réelle erronée ou inadéquate. Cette contrainte fait qu'il est difficile de nier que les objets des mathématiques pures sont abstraits. Car si ces objets avaient des localisations spatio-temporelles, alors la pratique mathématique réelle serait malavisée et inadéquate, puisque les mathématiciens purs devraient alors s'intéresser aux localisations de leurs objets, tout comme les zoologistes s'intéressent à la localisation des animaux. Le fait que les mathématiciens purs ne s'intéressent pas à cette question suggère que leurs objets sont abstraits.

L'indépendance dit que les objets mathématiques, s'il y en a, sont indépendants des agents intelligents et de leur langage, pensée et pratiques. Nous discuterons de ce à quoi pourrait ressembler cette thèse et comment elle pourrait être défendue dans la section 4.

3. Objections au platonisme mathématique

Diverses objections au platonisme mathématique ont été développées. Voici les plus importants.

3.1 Accès épistémologique

L'objection la plus influente est probablement celle inspirée par Benacerraf (1973). Ce qui suit est une version améliorée de l'objection de Benacerraf due à Field (1989). [12] Cette version repose sur les trois prémisses suivantes.

Prémisse 1. Les mathématiciens sont fiables, en ce sens que pour presque chaque phrase mathématique S, si les mathématiciens acceptent S, alors S est vrai.
Prémisse 2. Pour que la croyance aux mathématiques soit justifiée, il doit au moins en principe être possible d'expliquer la fiabilité décrite dans la prémisse 1.
Prémisse 3. Si le platonisme mathématique est vrai, alors cette fiabilité ne peut être expliquée même en principe.

Si ces trois prémisses sont correctes, il s'ensuivra que le platonisme mathématique sape notre justification de croire aux mathématiques.

Mais les prémisses sont-elles correctes? Les deux premières prémisses sont relativement peu controversées. La plupart des platoniciens sont déjà attachés à la Prémisse 1. Et la Prémisse 2 semble assez sûre. Si la fiabilité d'une procédure de formation des croyances ne pouvait même pas être expliquée en principe, alors la procédure semblerait fonctionner purement par hasard, sapant ainsi toute justification que nous avons pour les croyances produites de cette manière.

La prémisse 3 est beaucoup plus controversée. Field défend cette prémisse en observant que «les valeurs de vérité de nos assertions mathématiques dépendent de faits impliquant des entités platoniques qui résident dans un royaume en dehors de l'espace-temps» (Field 1989, p. 68) et sont donc causalement isolées de nous même en principe. Cependant, ce moyen de défense suppose que toute explication adéquate de la fiabilité en question doit impliquer une corrélation causale. Cela a été contesté par divers philosophes qui ont proposé des explications plus minimales de l'allégation de fiabilité. (Voir Burgess & Rosen 1997, pp. 41–49 et Lewis 1991, pp. 111–112; cf. aussi Clarke-Doane 2016. Voir Linnebo 2006 pour une critique.) [13]

3.2 Une objection métaphysique

Un autre article célèbre de Benacerraf développe une objection métaphysique au platonisme mathématique (Benacerraf 1965, cf. aussi Kitcher 1978). Bien que Benacerraf se concentre sur l'arithmétique, l'objection se généralise naturellement à la plupart des objets mathématiques purs.

Benacerraf ouvre en défendant ce que l'on appelle maintenant une vision structuraliste des nombres naturels, selon laquelle les nombres naturels n'ont pas de propriétés autres que celles qu'ils ont en vertu d'être des positions dans une séquence.. Par exemple, il n'y a rien de plus à être le numéro 3 que d'avoir certaines propriétés relationnelles définies au niveau intrastructurel, telles que réussir 2, être la moitié de 6 et être premier. Peu importe à quel point nous étudions l'arithmétique et la théorie des ensembles, nous ne saurons jamais si 3 est identique au quatrième ordinal de von Neumann, ou à l'ordinal de Zermelo correspondant, ou peut-être, comme Frege l'a suggéré, à la classe de toutes les classes à trois membres (dans certains systèmes qui permettent à de telles classes d'exister).

Benacerraf tire maintenant la conclusion suivante:

Par conséquent, les nombres ne sont pas du tout des objets, car en donnant les propriétés… des nombres, on caractérise simplement une structure abstraite - et la distinction réside dans le fait que les "éléments" de la structure n'ont pas d'autres propriétés que celles qui les relient à d'autres " éléments »de la même structure. (Benacerraf 1965, p. 291)

En d'autres termes, Benacerraf prétend qu'il ne peut y avoir d'objets qui n'ont que des propriétés structurelles. Tous les objets doivent également avoir des propriétés non structurelles. (Voir Benacerraf 1996 pour quelques réflexions ultérieures sur cet argument.)

Les deux étapes de l'argumentation de Benacerraf sont controversées. La première étape - que les nombres naturels n'ont que des propriétés structurelles - a récemment été défendue par divers structuralistes mathématiques (Parsons 1990, Resnik 1997 et Shapiro 1997). Mais cette étape est niée par les logicistes et les néo-logicistes, qui affirment que les nombres naturels sont intrinsèquement liés aux cardinalités des collections qu'ils numérotent. Et la deuxième étape - qu'il ne peut y avoir d'objets avec seulement des propriétés structurelles - est explicitement rejetée par tous les structuralistes qui défendent la première étape. (Pour quelques voix favorables à la deuxième étape, voir Hellman 2001 et MacBride 2005. Voir aussi Linnebo 2008 pour discussion.)

3.3 Autres objections métaphysiques

En plus de Benacerraf, une variété d'objections métaphysiques au platonisme mathématique ont été développées. L'un des exemples les plus célèbres est un argument de Nelson Goodman contre la théorie des ensembles. Goodman (1956) défend le principe du nominalisme, qui stipule que chaque fois que deux entités ont les mêmes constituants de base, elles sont identiques. Ce principe peut être considéré comme un renforcement de l'axiome théorique familier de l'extensionnalité. L'axiome d'extensionnalité déclare que si deux ensembles x et y ont les mêmes éléments - c'est-à-dire si ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y) - alors ils sont identiques. Le principe du nominalisme est obtenu en remplaçant la relation d'appartenance par sa fermeture transitive. [14]Le principe stipule donc que si x et y sont portés ∈ * par les mêmes individus -c'est-à-dire si ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) -alors x et y sont identiques. En approuvant ce principe, Goodman interdit la formation d'ensembles et de classes, ne permettant que la formation de sommes méréologiques et l'application aux opérations méréologiques standard (telles que décrites par son «calcul des individus»).

Cependant, la défense de Goodman du principe du nominalisme est maintenant largement considérée comme peu convaincante, comme en témoigne l'acceptation généralisée par les philosophes et les mathématiciens de la théorie des ensembles comme une branche légitime et précieuse des mathématiques.

4. Entre réalisme d'objet et platonisme mathématique

Le réalisme d'objet dit qu'il existe des objets mathématiques abstraits, tandis que le platonisme ajoute l' indépendance, qui dit que les objets mathématiques sont indépendants des agents intelligents et de leur langage, pensée et pratiques. Cette dernière section examine certaines formes légères de réalisme d'objet qui s'arrêtent avant le platonisme à part entière.

4.1 Comment comprendre l'indépendance

Une glose naturelle sur l' indépendance est la condition contrefactuelle selon laquelle, s'il n'y avait pas eu d'agents intelligents, ou si leur langage, leur pensée ou leurs pratiques avaient été convenablement différents, il y aurait encore eu des objets mathématiques.

Cette indépendance contrefactuelle (comme nous pouvons l'appeler) est acceptée par la plupart des philosophes analytiques. Pour voir pourquoi, considérez le rôle que jouent les mathématiques dans notre raisonnement. Nous raisonnons souvent sur des scénarios qui ne sont pas réels. Si nous devions construire un pont à travers ce canyon, disons, quelle force faudrait-il pour résister aux puissantes rafales de vent? Malheureusement, le pont précédent s'est effondré. L'aurait-il fait si les poutres d'acier avaient été deux fois plus épaisses? Cette forme de raisonnement sur les scénarios contrefactuels est indispensable à la fois à nos délibérations quotidiennes et à la science. La permissibilité d'un tel raisonnement a une conséquence importante. Puisque les vérités des mathématiques pures peuvent être librement invoquées tout au long de notre raisonnement contrefactuel, il s'ensuit que ces vérités sont contrefactuellement indépendantes de nous les humains,et toute autre vie intelligente d'ailleurs. Autrement dit, s'il n'y avait pas eu de vie intelligente, ces vérités seraient restées les mêmes.

Les mathématiques pures sont à cet égard très différentes des vérités empiriques ordinaires. Si la vie intelligente n'avait jamais existé, cet article n'aurait pas été écrit. Plus intéressant encore, les mathématiques pures contrastent également avec diverses conventions et constructions sociales, auxquelles elles sont parfois comparées (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Si la vie intelligente n'avait jamais existé, il n'y aurait eu ni lois, ni contrats, ni mariages, et pourtant les vérités mathématiques seraient restées les mêmes.

Ainsi, si l' indépendance est comprise simplement comme une indépendance contrefactuelle, alors quiconque accepte le réalisme d'objet devrait également accepter le platonisme.

Il est cependant douteux que cette compréhension de l' indépendance soit suffisante. Car l' indépendance vise à justifier une analogie entre les objets mathématiques et les objets physiques ordinaires. Tout comme les électrons et les planètes existent indépendamment de nous, les nombres et les ensembles existent également. Et tout comme les déclarations sur les électrons et les planètes sont rendues vraies ou fausses par les objets qui les concernent et les propriétés parfaitement objectives de ces objets, de même les déclarations sur les nombres et les ensembles. En bref, les objets mathématiques sont tout aussi «réels» que les objets physiques ordinaires (sinon plus, comme le pensait Platon).

Examinons maintenant quelques points de vue qui rejettent cette compréhension plus forte de l' indépendance en termes de l'analogie mentionnée. Ces vues sont donc des formes légères de réalisme d'objet, qui s'arrêtent avant le platonisme à part entière.

4.2 Platonisme plénitude

Une forme légère de réalisme d'objet est le «platonisme à part entière» de Balaguer 1998. Cette vision est caractérisée par un principe de plénitude selon lequel tous les objets mathématiques qui pourraient exister existent réellement. Par exemple, puisque l'hypothèse du continuum est indépendante de l'axiomatisation standard de la théorie des ensembles, il existe un univers d'ensembles dans lequel l'hypothèse est vraie et un autre dans lequel elle est fausse. Et aucun des univers n'est métaphysiquement privilégié. En revanche, le platonisme traditionnel affirme qu'il existe un univers unique d'ensembles dans lequel l'hypothèse du continuum est soit résolument vraie, soit définitivement fausse. [15]

Un avantage allégué de cette vue plénitude réside dans l'épistémologie des mathématiques. Si toute théorie mathématique cohérente est vraie pour un univers d'objets mathématiques, alors la connaissance mathématique sera, dans un certain sens, facile à obtenir: à condition que nos théories mathématiques soient cohérentes, elles sont assurées d'être vraies pour un univers d'objets mathématiques.

Cependant, le «platonisme pur et dur» a fait l’objet de nombreuses critiques. Colyvan et Zalta 1999 lui reprochent de saper la possibilité de faire référence à des objets mathématiques, et Restall 2003, de manquer d'une formulation précise et cohérente du principe de plénitude sur lequel repose la vision. Martin (2001) propose que différents univers d'ensembles soient fusionnés pour donner un seul univers maximal, qui sera privilégié en adaptant notre conception d'ensemble mieux que tout autre univers d'ensembles.

Une version différente du platonisme plenitudinous est développée dans Linsky & Zalta 1995 et une série d'articles supplémentaires. (Voir, par exemple, Linsky & Zalta 2006 et d'autres articles qui y sont cités.) Le platonisme traditionnel va mal en «concevant des objets abstraits sur le modèle des objets physiques» (Linsky & Zalta 1995, p. 533), y compris dans en particulier l'idée que de tels objets sont «clairsemés» plutôt que pleins. Linsky & Zalta développent une approche alternative sur la base de la «théorie des objets» du deuxième auteur. La principale caractéristique de la théorie des objets est un principe de compréhension très général qui affirme l'existence d'une plénitude d'objets abstraits: pour toute collection de propriétés, il existe un objet abstrait qui «encode» précisément ces propriétés. En théorie des objets, en outre,deux objets abstraits sont identiques au cas où ils encoderaient précisément les mêmes propriétés. On dit que le principe de compréhension et le critère d'identité de la théorie des objets «fournissent le lien entre notre faculté cognitive de compréhension et les objets abstraits» (ibid., P. 547). (Voir Ebert & Rossberg 2007 pour une discussion critique.)

4.3 Valeurs sémantiques légères

Supposons que le réalisme des objets est vrai. Pour plus de commodité, supposons également la sémantique classique. Ces hypothèses garantissent que les termes singuliers et les quantificateurs du langage mathématique se réfèrent aux objets abstraits et s'étendent sur eux. Compte tenu de ces hypothèses, faut-il aussi être platoniste mathématique? En d'autres termes, les objets auxquels les phrases mathématiques se réfèrent et quantifient-ils satisfont à l' indépendance ou à une condition similaire?

Il sera utile de reformuler nos hypothèses en des termes plus neutres. Nous pouvons le faire en invoquant la notion de valeur sémantique, qui joue un rôle important dans la sémantique et la philosophie du langage. Dans ces domaines, il est largement admis que chaque expression apporte une contribution certaine à la valeur de vérité des phrases dans lesquelles l'expression se produit. Cette contribution est connue sous le nom de valeur sémantique de l'expression. Il est largement admis que (au moins dans les contextes extensionnels) la valeur sémantique d'un terme singulier est simplement son référent.

Nos hypothèses peuvent maintenant être formulées de manière neutre comme l'affirmation selon laquelle les termes mathématiques singuliers ont des valeurs sémantiques abstraites et que ses quantificateurs s'étendent sur les types d'items qui servent de valeurs sémantiques. Concentrons-nous sur l'affirmation concernant les termes singuliers. Quelle est la signification philosophique de cette affirmation? En particulier, prend-il en charge une version d' Independence ? La réponse dépendra de ce qui est requis pour qu'un terme mathématique singulier ait une valeur sémantique.

Certains philosophes affirment qu'il ne faut pas grand-chose (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 et Linnebo 2012 et 2018). Il suffit que le terme t apporte une contribution définitive aux valeurs de vérité des phrases dans lesquelles il apparaît. Le but même de la notion de valeur sémantique était de représenter de telles contributions. Il suffit donc qu'un terme singulier possède une valeur sémantique pour qu'il apporte une contribution aussi appropriée.

Cela peut même ouvrir la voie à une forme de réductionnisme non éliminatif sur les objets mathématiques (Dummett 1991a, Linnebo 2018). S'il est parfaitement vrai que le terme mathématique singulier t a un objet abstrait comme valeur sémantique, cette vérité peut être obtenue en vertu de faits plus élémentaires qui ne mentionnent pas ou n'impliquent pas l'objet abstrait pertinent. Comparez par exemple la relation de propriété qui existe entre une personne et son compte bancaire. S'il est parfaitement vrai que la personne est propriétaire du compte bancaire, cette vérité peut être acquise en vertu de faits sociologiques ou psychologiques plus élémentaires qui ne mentionnent pas ou n'impliquent pas le compte bancaire.

Si une explication légère des valeurs sémantiques est défendable, nous pouvons accepter les hypothèses de réalisme d'objet et de sémantique classique sans nous engager dans une forme traditionnelle ou robuste de platonisme.

4.4 Deux autres formes légères de réalisme d'objet

Nous concluons en décrivant deux autres exemples de formes légères de réalisme d'objet qui rejettent l'analogie platonicienne entre les objets mathématiques et les objets physiques ordinaires.

Premièrement, peut-être que les objets mathématiques n'existent que d'une manière potentielle, ce qui contraste avec le mode d'existence réel des objets physiques ordinaires. Cette idée est au cœur de l'ancienne notion d'infini potentiel (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Selon Aristote, les nombres naturels sont potentiellement infinis en ce sens que, quel que soit le nombre que nous avons produit (en l'instanciant dans le monde physique), il est possible de produire un nombre encore plus grand. Mais Aristote nie que les nombres naturels soient en réalité infinis: cela exigerait que le monde physique soit infini, ce qui, selon lui, est impossible.

À la suite de Cantor, la plupart des mathématiciens et des philosophes défendent maintenant l'infini réel des nombres naturels. Ceci est rendu possible en partie en niant l'exigence aristotélicienne selon laquelle chaque nombre doit être instancié dans le monde physique. Quand cela est nié, l'infini réel des nombres naturels n'entraîne plus l'infini réel du monde physique.

Cependant, une forme de potentialisme autour de la hiérarchie des ensembles continue de bénéficier d'un soutien considérable, notamment en lien avec la conception itérative des ensembles (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Peu importe le nombre d'ensembles formés, il est possible d'en former encore plus. Si c'est vrai, cela signifierait que les ensembles ont une forme d'existence potentielle qui les distingue nettement des objets physiques ordinaires.

Deuxièmement, peut-être que les objets mathématiques sont ontologiquement dépendants ou dérivés d'une manière qui les distingue des objets physiques existants indépendamment (Rosen 2011, Donaldson 2017). Par exemple, selon la vision aristotélicienne qui vient d'être mentionnée, un nombre naturel dépend pour son existence d'une instanciation ou d'une autre dans le monde physique. Il existe également d'autres versions de la vue. Par exemple, Kit Fine (1995) et d'autres soutiennent qu'un ensemble est ontologiquement dépendant de ses éléments. (Cette vue est également étroitement liée au potentialisme de la théorie des ensembles mentionné ci-dessus.)

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