Théorie Du Modèle

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Théorie du modèle

Publié pour la première fois le samedi 10 novembre 2001; révision de fond mer.17 juil.2013

La théorie des modèles a commencé par l'étude des langues formelles et de leurs interprétations, et des types de classification qu'une langue formelle particulière peut faire. La théorie des modèles grand public est maintenant une branche sophistiquée des mathématiques (voir l'entrée sur la théorie des modèles du premier ordre). Mais dans un sens plus large, la théorie des modèles est l'étude de l'interprétation de tout langage, formel ou naturel, au moyen de structures théoriques des ensembles, avec la définition de la vérité d'Alfred Tarski comme paradigme. Dans ce sens plus large, la théorie des modèles rencontre la philosophie en plusieurs points, par exemple dans la théorie de la conséquence logique et dans la sémantique des langages naturels.

  • 1. Notions de base de la théorie des modèles
  • 2. Définition de la théorie des modèles
  • 3. Conséquence théorique des modèles
  • 4. Force expressive
  • 5. Modèles et modélisation
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Notions de base de la théorie des modèles

Parfois, nous écrivons ou prononçons une phrase (S) qui n'exprime rien de vrai ou de faux, car il manque des informations cruciales sur la signification des mots. Si nous ajoutons ces informations, de sorte que (S) en vienne à exprimer une déclaration vraie ou fausse, on dit que nous interprétons (S), et les informations ajoutées sont appelées une interprétation de (S). Si l'interprétation (I) fait que (S) énonce quelque chose de vrai, nous disons que (I) est un modèle de (S), ou que (I) satisfait (S)), dans les symboles '(I / vDash S)'. Une autre façon de dire que (I) est un modèle de (S) est de dire que (S) est vrai dans (I), et nous avons donc la notion de vérité théorique du modèle, qui est la vérité dans une interprétation particulière. Mais il faut se rappeler que la déclaration '(S) est vrai dans (I)' est juste une paraphrase de '(S), interprété comme dans (I), est vrai' 'la vérité théorique des modèles est donc parasite de la vérité ordinaire et nous pouvons toujours la paraphraser.

Par exemple je pourrais dire

Il les tue tous,

et proposez l'interprétation selon laquelle «il» est Alfonso Arblaster de 35 The Crescent, Beetleford, et que «eux» sont les pigeons de son colombier. Cette interprétation explique (a) à quels objets se réfèrent certaines expressions, et (b) à quelles classes se situent certains quantificateurs. (Dans cet exemple, il y a un quantificateur: «tous»). Les interprétations qui se composent des éléments (a) et (b) apparaissent très souvent dans la théorie des modèles et sont appelées structures. Des types particuliers de théorie des modèles utilisent des types particuliers de structure; par exemple, la théorie mathématique des modèles a tendance à utiliser des structures dites du premier ordre, la théorie des modèles de la logique modale utilise des structures de Kripke, etc.

La structure (I) dans le paragraphe précédent implique un objet fixe et une classe fixe. Depuis que nous avons décrit la structure aujourd'hui, la classe est la classe des pigeons du colombier d'Alfonso aujourd'hui, pas ceux qui viendront demain pour les remplacer. Si Alfonso Arblaster tue tous les pigeons dans son colombier aujourd'hui, alors (I) satisfait la phrase citée aujourd'hui mais ne la satisfera pas demain, car Alfonso ne peut pas tuer les mêmes pigeons deux fois. Selon ce que vous souhaitez utiliser la théorie des modèles, vous pouvez être heureux d'évaluer les phrases aujourd'hui (l'heure par défaut), ou vous pouvez enregistrer comment elles sont satisfaites à un moment donné et pas à un autre. Dans ce dernier cas, vous pouvez relativiser la notion de modèle et écrire '(I / vDash_t S)' pour signifier que (I) est un modèle de (S) au temps (t). La même chose s'applique aux lieux,ou à toute autre chose qui pourrait être captée par d'autres caractéristiques indexiques implicites dans la phrase. Par exemple, si vous croyez aux mondes possibles, vous pouvez indexer (vDash) par le monde possible dans lequel la phrase doit être évaluée. Outre l'utilisation de la théorie des ensembles, la théorie des modèles est totalement indépendante des types de choses qui existent.

Notez que les objets et les classes d'une structure portent des étiquettes qui les dirigent vers les bonnes expressions dans la phrase. Ces étiquettes sont une partie essentielle de la structure.

Si la même classe est utilisée pour interpréter tous les quantificateurs, la classe est appelée le domaine ou l'univers de la structure. Mais parfois, il existe des quantificateurs couvrant différentes classes. Par exemple si je dis

L'une de ces maladies truculentes est de tuer tous les oiseaux.

vous rechercherez une interprétation qui attribue une classe de maladies à «ces maladies machos» et une classe d'oiseaux à «les oiseaux». On dit que les interprétations qui donnent deux classes ou plus pour différents quantificateurs à étendre sont triées en plusieurs, et les classes sont parfois appelées les sortes.

Les idées ci-dessus peuvent toujours être utiles si nous commençons par une phrase (S) qui dit quelque chose de vrai ou de faux sans avoir besoin d'interprétation supplémentaire. (Les théoriciens des modèles disent qu'une telle phrase est entièrement interprétée.) Par exemple, nous pouvons considérer les interprétations erronées (I) d'une phrase pleinement interprétée (S). Une mauvaise interprétation de (S) qui le rend vrai est connue comme un modèle non standard ou non intentionnel de (S). La branche des mathématiques appelée analyse non standard est basée sur des modèles non standard d'énoncés mathématiques sur les systèmes de nombres réels ou complexes; voir la section 4 ci-dessous.

On parle également de sémantique théorique des modèles des langues naturelles, qui est une manière de décrire les significations des phrases en langage naturel, et non une manière de leur donner des significations. Le lien entre cette sémantique et la théorie des modèles est un peu indirect. Cela réside dans la définition de vérité de Tarski de 1933. Voir l'entrée sur les définitions de vérité de Tarski pour plus de détails.

2. Définition de la théorie des modèles

Une phrase (S) divise toutes ses interprétations possibles en deux classes, celles qui en sont des modèles et celles qui ne le sont pas. De cette façon, il définit une classe, à savoir la classe de tous ses modèles, écrite (Mod (S)). Pour prendre un exemple juridique, la phrase

La première personne a transféré la propriété à la deuxième personne, qui détient ainsi la propriété au profit de la troisième personne.

définit une classe de structures qui prennent la forme de 4 tuples étiquetés, comme par exemple (écrire l'étiquette à gauche):

  • la première personne = Alfonso Arblaster;
  • la propriété = le terrain abandonné derrière la maison d'Alfonso;
  • la deuxième personne = John Doe;
  • la troisième personne = Richard Roe.

Il s'agit d'une définition typique de la théorie des modèles, définissant une classe de structures (dans ce cas, la classe connue des avocats sous le nom de trusts).

Nous pouvons étendre l'idée de définition de la théorie des modèles d'une seule phrase (S) à un ensemble (T) de phrases; (Mod (T)) est la classe de toutes les interprétations qui sont simultanément des modèles de toutes les phrases de (T). Lorsqu'un ensemble (T) de phrases est utilisé pour définir une classe de cette manière, les mathématiciens disent que (T) est une théorie ou un ensemble d'axiomes, et que (T) axiomatise la classe (Mod (T)).

Prenons par exemple l'ensemble suivant de phrases de premier ordre:

) begin {align *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / end {align *})

Ici, les étiquettes sont le symbole d'addition '+', le symbole moins '(-)' et le symbole constant '0'. Une interprétation doit également spécifier un domaine pour les quantificateurs. Avec une réserve, les modèles de cet ensemble de phrases sont précisément les structures que les mathématiciens appellent des groupes abéliens. La condition est que dans un groupe abélien (A), le domaine contienne l'interprétation du symbole 0, et il doit être fermé sous les interprétations des symboles + et (-). Dans la théorie mathématique des modèles, on construit cette condition (ou les conditions correspondantes pour d'autres fonctions et symboles constants) dans la définition d'une structure.

Chaque structure mathématique est liée à une langue particulière de premier ordre. Une structure contient des interprétations de certains symboles de prédicat, de fonction et de constante; chaque symbole de prédicat ou de fonction a une arité fixe. La collection (K) de ces symboles est appelée la signature de la structure. Les symboles dans la signature sont souvent appelés constantes non logiques, et leur ancien nom est primitif. Le langage de signature du premier ordre (K) est le langage du premier ordre construit en utilisant les symboles dans (K), avec le signe d'égalité =, pour construire ses formules atomiques. (Voir l'entrée sur la logique classique.) Si (K) est une signature, (S) est une phrase du langage de signature (K) et (A) est une structure dont la signature est (K), alors parce que les symboles correspondent, nous savons que (A) rend (S) vrai ou faux. On définit donc la classe des groupes abéliens comme étant la classe de toutes ces structures de signature (+), (-), (0) qui sont des modèles des phrases ci-dessus. Outre le fait qu'il utilise un langage formel du premier ordre, c'est exactement la définition habituelle des algébres de la classe des groupes abéliens; la théorie des modèles formalise une sorte de définition extrêmement courante en mathématiques.

Maintenant, les axiomes qui définissent les groupes abéliens ont trois types de symboles (mis à part la ponctuation). Il y a d'abord le symbole logique = avec une signification fixe. Deuxièmement, il y a les constantes non logiques, qui obtiennent leur interprétation en étant appliquées à une structure particulière; il faut regrouper les symboles quantificateurs avec eux, car la structure détermine également le domaine sur lequel se situent les quantificateurs. Et troisièmement, il y a les variables (x, y) etc. Ce modèle à trois niveaux de symboles nous permet de définir des classes d'une seconde manière. Au lieu de chercher les interprétations des constantes non logiques qui rendront une phrase vraie, nous fixons les interprétations des constantes non logiques en choisissant une structure particulière (A), et nous cherchons des affectations d'éléments de (A) à variables qui rendront une formule donnée vraie dans (A).

Par exemple, soit (mathbb {Z}) le groupe additif d'entiers. Ses éléments sont les entiers (positifs, négatifs et 0), et les symboles (+), (-), (0) ont leur signification habituelle. Considérez la formule

[v_1 + v_1 = v_2.)

Si nous attribuons le nombre (- 3) à (v_1) et le nombre (- 6) à (v_2), la formule sera vraie dans (mathbb {Z}). Nous exprimons cela en disant que la paire ((- 3, -6)) satisfait cette formule dans (mathbf {Z}). De même (15,30) et (0,0) le satisfont, mais pas ((2, -4)) et (3,3). Ainsi la formule définit une relation binaire sur les entiers, à savoir l'ensemble des paires d'entiers qui la satisfont. Une relation définie de cette manière dans une structure (A) est appelée une relation définissable du premier ordre dans (A). Une généralisation utile est de permettre à la formule de définition d'utiliser des noms ajoutés pour certains éléments spécifiques de (A); ces éléments sont appelés paramètres et la relation est alors définissable avec des paramètres.

Ce deuxième type de définition, définissant des relations à l'intérieur d'une structure plutôt que des classes de structure, formalise également une pratique mathématique courante. Mais cette fois, la pratique appartient à la géométrie plutôt qu'à l'algèbre. Vous pouvez reconnaître la relation dans le champ des nombres réels défini par la formule

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

C'est le cercle de rayon 1 autour de l'origine dans le plan réel. La géométrie algébrique regorge de définitions de ce genre.

Au cours des années 1940, plusieurs personnes (principalement Anatolii Mal'tsev en Russie, Alfred Tarski aux États-Unis et Abraham Robinson en Grande-Bretagne) ont pensé que les métathéorèmes de la logique classique pouvaient être utilisés pour prouver des théorèmes mathématiques sur des classes définies de deux manières. juste décrit. En 1950, Robinson et Tarski furent invités à s'adresser au Congrès international des mathématiciens à Cambridge Mass. Sur cette nouvelle discipline (qui n'avait pas encore de nom - Tarski proposa le nom de «théorie des modèles» en 1954). La conclusion de l'allocution de Robinson à ce Congrès mérite d'être citée:

[Les] exemples concrets produits dans le présent article auront montré que la logique symbolique contemporaine peut produire des outils utiles - bien que nullement omnipotents - pour le développement des mathématiques réelles, plus particulièrement pour le développement de l'algèbre et, semble-t-il, de géométrie algébrique. C'est la concrétisation d'une ambition exprimée par Leibniz dans une lettre à Huyghens dès 1679.

En fait, Mal'tsev avait déjà fait des applications assez profondes de la théorie des modèles dans la théorie des groupes plusieurs années auparavant, mais dans les conditions politiques de l'époque, son travail en Russie n'était pas encore connu en Occident. À la fin du vingtième siècle, les espérances de Robinson s'étaient amplement réalisées; voir l'entrée sur la théorie des modèles du premier ordre.

Il existe au moins deux autres types de définition dans la théorie des modèles en plus des deux ci-dessus. La troisième est connue sous le nom d'interprétation (un cas particulier des interprétations par lesquelles nous avons commencé). Ici, nous commençons par une structure (A), et nous construisons une autre structure (B) dont la signature n'a pas besoin d'être liée à celle de (A), en définissant le domaine (X) de (B) et toutes les relations et fonctions étiquetées de (B) pour être les relations définissables dans (A) par certaines formules avec paramètres. Un raffinement supplémentaire est de trouver une relation d'équivalence définissable sur (X) et de prendre le domaine de (B) comme n'étant pas (X) lui-même mais l'ensemble des classes d'équivalence de cette relation. La structure (B) ainsi construite est dite interprétée dans la structure (A).

Un exemple simple, toujours issu des mathématiques standard, est l'interprétation du groupe (mathbb {Z}) d'entiers dans la structure (mathbb {N}) constituée des nombres naturels 0, 1, 2 etc. avec des étiquettes pour 0, 1 et +. Pour construire le domaine de (mathbb {Z}), nous prenons d'abord l'ensemble (X) de toutes les paires ordonnées de nombres naturels (clairement une relation définissable dans (mathbb {N})), et sur cet ensemble (X) on définit la relation d'équivalence (sim) par

[(a, b) sim (c, d) text {si et seulement si} a + d = b + c)

(à nouveau définissable). Le domaine de (mathbb {Z}) est constitué des classes d'équivalence de cette relation. On définit l'addition sur (mathbb {Z}) par

[(a, b) + (c, d) = (e, f) text {si et seulement si} a + c + f = b + d + e.)

La classe d'équivalence de ((a, b)) devient l'entier (a - b).

Lorsqu'une structure (B) est interprétée dans une structure (A), chaque instruction du premier ordre sur (B) peut être traduite en une instruction de premier ordre sur (A), et dans ce façon dont nous pouvons lire la théorie complète de (B) à partir de celle de (A). En fait, si nous effectuons cette construction non seulement pour une seule structure (A) mais pour une famille de modèles d'une théorie (T), en utilisant toujours les mêmes formules de définition, alors les structures résultantes seront toutes des modèles de une théorie (T ') qui peut être lue à partir de (T) et des formules de définition. Cela donne un sens précis à l'affirmation selon laquelle la théorie (T ') est interprétée dans la théorie (T). Les philosophes des sciences ont parfois expérimenté cette notion d'interprétation pour préciser ce que signifie pour une théorie d'être réductible à une autre. Mais les exemples réalistes de réductions entre théories scientifiques semblent généralement beaucoup plus subtils que ne le permet cette idée de théorie des modèles simple d'esprit. Voir l'entrée sur les relations interthéories en physique.

Le quatrième type de définissabilité est une paire de notions, la définissabilité implicite et la définissabilité explicite d'une relation particulière dans une théorie. Voir la section 3.3 de l'entrée sur la théorie des modèles du premier ordre.

Malheureusement, il y avait une théorie très confuse sur les axiomes de la théorie des modèles, qui allait également sous le nom de définition implicite. À la fin du dix-neuvième siècle, la géométrie mathématique avait généralement cessé d'être une étude de l'espace, et elle était devenue l'étude de classes de structures qui satisfont à certains axiomes «géométriques». Des termes géométriques comme «point», «ligne» et «entre» ont survécu, mais seulement comme symboles primitifs dans les axiomes; ils n'avaient plus aucun sens qui leur était associé. Ainsi, la vieille question de savoir si le postulat parallèle d'Euclide (en tant qu'énoncé sur l'espace) était déductible des autres hypothèses d'Euclide sur l'espace, n'était plus intéressante pour les géomètres. Au lieu de cela, les géomètres ont montré que si l'on écrivait une version à jour des autres hypothèses d'Euclide, sous la forme d'une théorie (T),alors il a été possible de trouver des modèles de (T) qui ne satisfont pas le postulat parallèle. (Voir l'entrée sur la géométrie au 19e siècle pour les contributions de Lobachevski et Klein à cette réalisation.) En 1899, David Hilbert a publié un livre dans lequel il a construit de tels modèles, en utilisant exactement la méthode d'interprétation que nous venons de décrire.

Des problèmes sont survenus à cause de la façon dont Hilbert et d'autres ont décrit ce qu'ils faisaient. L'histoire est compliquée, mais à peu près ce qui suit s'est produit. Vers le milieu du XIXe siècle, les gens ont remarqué, par exemple, que dans un groupe abélien, la fonction moins est définissable en termes de 0 et + (à savoir: (- a) est l'élément (b) tel que (a + b = 0)). Puisque cette description du moins est en fait l'un des axiomes définissant les groupes abéliens, on peut dire (en utilisant un terme tiré de JD Gergonne, qui ne devrait pas être tenu responsable de l'usage ultérieur qui en a été fait) que les axiomes des groupes abéliens définissent implicitement moins. Dans le jargon de l'époque, on disait non pas que les axiomes définissent la fonction moins, mais qu'ils définissent le concept moins. Supposons maintenant que nous basculions et essayions de définir plus en termes de moins et de 0. De cette façon, cela ne peut pas être fait, car on peut avoir deux groupes abéliens avec le même 0 et le moins mais des fonctions plus différentes. Plutôt que de dire cela, les mathématiciens du dix-neuvième siècle ont conclu que les axiomes ne définissent que partiellement plus en termes de moins et de 0. Ayant avalé cela, ils ont poursuivi en disant que les axiomes forment ensemble une définition implicite des concepts plus, moins et 0. ensemble, et que cette définition implicite n'est que partielle, mais elle en dit précisément autant que nous avons besoin d'en savoir.ils ont poursuivi en disant que les axiomes forment ensemble une définition implicite des concepts plus, moins et 0 ensemble, et que cette définition implicite n'est que partielle, mais elle en dit précisément autant que nous devons en savoir.ils ont poursuivi en disant que les axiomes forment ensemble une définition implicite des concepts plus, moins et 0 ensemble, et que cette définition implicite n'est que partielle, mais elle en dit précisément autant que nous devons en savoir.

On se demande comment il a pu arriver que pendant cinquante ans personne n'ait contesté cette absurdité. En fait, certaines personnes l'ont contestée, notamment le géomètre Moritz Pasch qui, dans la section 12 de son Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882), a insisté sur le fait que les axiomes géométriques ne nous disent rien sur les significations de `` point '', `` ligne '', etc. dit, les axiomes nous donnent des relations entre les concepts. Si l'on considère une structure comme une sorte de (n) - tuple ordonné d'ensembles etc., alors une classe (Mod (T)) devient une relation (n) - aire, et le récit de Pasch est d'accord avec le nôtre. Mais il a été incapable de préciser les détails, et il y a des preuves que ses contemporains (et certains commentateurs plus récents) pensaient qu'il disait que les axiomes peuvent ne pas déterminer les significations de `` point '' et de `` ligne '',mais ils déterminent ceux des termes relationnels tels que «entre» et «incident avec»! La démolition par Frege de la doctrine de la définition implicite était magistrale, mais il est venu trop tard pour empêcher Hilbert de dire, au début de son Grundlagen der Geometrie, que ses axiomes donnent `` la description exacte et mathématiquement adéquate '' des relations `` mensonge '', '' entre 'et' congruent '. Heureusement, les mathématiques de Hilbert parlent d'elles-mêmes, et on peut simplement contourner ces faux pas philosophiques. Le récit de la théorie des modèles que nous considérons maintenant comme une description correcte de cette ligne de travail semble avoir fait surface pour la première fois dans le groupe autour de Giuseppe Peano dans les années 1890, et il a atteint le monde anglophone grâce aux Principes de mathématiques de Bertrand Russell en 1903.mais il est venu trop tard pour empêcher Hilbert de dire, au début de son Grundlagen der Geometrie, que ses axiomes donnent «la description exacte et mathématiquement adéquate» des relations «mensonge», «entre» et «congruentes». Heureusement, les mathématiques de Hilbert parlent d'elles-mêmes, et on peut simplement contourner ces faux pas philosophiques. Le récit de la théorie des modèles que nous considérons maintenant comme une description correcte de cette ligne de travail semble avoir fait surface pour la première fois dans le groupe autour de Giuseppe Peano dans les années 1890, et il a atteint le monde anglophone grâce aux Principes de mathématiques de Bertrand Russell en 1903.mais il est venu trop tard pour empêcher Hilbert de dire, au début de son Grundlagen der Geometrie, que ses axiomes donnent «la description exacte et mathématiquement adéquate» des relations «mensonge», «entre» et «congruentes». Heureusement, les mathématiques de Hilbert parlent d'elles-mêmes, et on peut simplement contourner ces faux pas philosophiques. Le récit de la théorie des modèles que nous considérons maintenant comme une description correcte de cette ligne de travail semble avoir fait surface pour la première fois dans le groupe autour de Giuseppe Peano dans les années 1890, et il a atteint le monde anglophone grâce aux Principes de mathématiques de Bertrand Russell en 1903. Heureusement, les mathématiques de Hilbert parlent d'elles-mêmes, et on peut simplement contourner ces faux pas philosophiques. Le récit de la théorie des modèles que nous considérons maintenant comme une description correcte de cette ligne de travail semble avoir fait surface pour la première fois dans le groupe autour de Giuseppe Peano dans les années 1890, et il a atteint le monde anglophone grâce aux Principes de mathématiques de Bertrand Russell en 1903. Heureusement, les mathématiques de Hilbert parlent d'elles-mêmes, et on peut simplement contourner ces faux pas philosophiques. Le récit de la théorie des modèles que nous considérons maintenant comme une description correcte de cette ligne de travail semble avoir fait surface pour la première fois dans le groupe autour de Giuseppe Peano dans les années 1890, et il a atteint le monde anglophone grâce aux Principes de mathématiques de Bertrand Russell en 1903.

3. Conséquence théorique des modèles

Supposons que (L) est une langue de signature (K, T) est un ensemble de phrases de (L) et (phi) est une phrase de (L). Puis la relation

) Mod (T) subseteq / Mod (phi))

exprime que toute structure de signature (K) qui est un modèle de (T) est aussi un modèle de (phi). Ceci est connu sous le nom de relation de conséquence théorique du modèle, et s'écrit en abrégé

[T / vDash / phi)

La double utilisation de (vDash) est un malheur. Mais dans le cas particulier où (L) est de premier ordre, le théorème de complétude (voir l'entrée sur la logique classique) nous dit que '(T / vDash / phi)' vaut si et seulement s'il y a une preuve de (phi) de (T), une relation couramment écrite

[T / vdash / phi)

Puisque (vDash) et (vdash) expriment exactement la même relation dans ce cas, les théoriciens du modèle évitent souvent la double utilisation de (vDash) en utilisant (vdash) pour la conséquence de la théorie du modèle. Mais comme ce qui suit n'est pas limité aux langages du premier ordre, la sécurité suggère de s'en tenir à (vDash) ici.

Avant le milieu du XIXe siècle, les manuels de logique enseignaient généralement à l'étudiant comment vérifier la validité d'un argument (par exemple en anglais) en montrant qu'il a l'une des nombreuses formes standard, ou en le paraphrasant sous une telle forme. Les formes standard étaient des formes d'argumentation syntaxique et / ou sémantique en anglais. Le processus était hasardeux: les formes sémantiques sont presque par définition invisibles en surface, et il n'y a pas de forme purement syntaxique qui garantit la validité d'un argument. Pour cette raison, la plupart des anciens manuels comportaient une longue section sur les «erreurs» - des façons dont un argument invalide peut sembler valable.

En 1847, George Boole a changé cet arrangement. Par exemple, pour valider l'argument

Tous les monarques sont des êtres humains. Aucun être humain n'est infaillible. Par conséquent, aucun être infaillible n'est un monarque.

Boole interpréterait les symboles (P, Q, R) comme des noms de classes:

(P) est la classe de tous les monarques.

(Q) est la classe de tous les êtres humains.

(R) est la classe de tous les êtres infaillibles.

Ensuite, il ferait remarquer que l'argument original paraphrase en une conséquence théorique des ensembles:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Cet exemple est tiré de Stanley Jevons, 1869. Le propre récit de Boole est idiosyncratique, mais je crois que l'exemple de Jevons représente avec précision les intentions de Boole.) Aujourd'hui, nous écririons (forall x (Px / rightarrow Qx)) plutôt que (P / subseteq Q), mais c'est essentiellement la définition standard de (P / subseteq Q), donc la différence entre nous et Boole est légère.

Dans la mesure où ils suivent Boole, les manuels modernes de logique établissent que les arguments anglais sont valides en les réduisant à des conséquences théoriques des modèles. Puisque la classe des conséquences théoriques des modèles, du moins dans la logique du premier ordre, n'a aucune des vagues des anciennes formes d'argumentation, les manuels de logique de ce style ont depuis longtemps cessé d'avoir un chapitre sur les erreurs.

Mais il y a un avertissement qui survit des anciens manuels: si vous formalisez votre argument d'une manière qui n'est pas une conséquence de la théorie des modèles, cela ne signifie pas que l'argument n'est pas valide. Cela peut seulement signifier que vous n'avez pas suffisamment analysé les concepts de l'argument avant de vous officialiser. Les anciens manuels utilisaient pour discuter de cela dans une section ragbag appelée «sujets» (c'est-à-dire des conseils pour trouver des arguments que vous auriez pu manquer). Voici un exemple des Summulae Logicales de Pierre d'Espagne du XIIIe siècle:

«Il y a un père. Il y a donc un enfant. … D'où vient la validité de cet argument? De la relation. La maxime est la suivante: lorsque l'un d'une paire corrélée est posé, l'autre l'est aussi.

Hilbert et Ackermann, probablement le manuel qui a fait le plus pour établir le style moderne, discutent dans leur section III.3 d'un exemple très similaire: «S'il y a un fils, alors il y a un père». Ils soulignent que toute tentative de justifier cela en utilisant le symbolisme

) existe xSx / rightarrow / existe xFx)

est voué à l'échec. «Une preuve de cette affirmation n'est possible que si nous analysons conceptuellement les significations des deux prédicats qui se produisent», comme ils continuent à illustrer. Et bien sûr, l'analyse trouve précisément la relation à laquelle Pierre d'Espagne a fait allusion.

D'un autre côté, si votre argument anglais se traduit par une conséquence théorique du modèle invalide, un contre-exemple à la conséquence peut bien donner des indices sur la façon dont vous pouvez décrire une situation qui rendrait les prémisses de votre argument vraies et la conclusion fausse. Mais ce n'est pas garanti.

On peut soulever un certain nombre de questions quant à savoir si la procédure des manuels modernes saisit vraiment une notion sensible de conséquence logique. Par exemple, dans le cas de Boole, les conséquences de la théorie des ensembles sur lesquelles il s'appuie sont toutes facilement prouvables par des preuves formelles en logique du premier ordre, sans même utiliser d'axiomes de la théorie des ensembles; et par le théorème de complétude (voir l'entrée sur la logique classique), il en va de même pour la logique du premier ordre. Mais pour certaines autres logiques, ce n'est certainement pas vrai. Par exemple, la relation de conséquence modèle-théorique pour certaines logiques du temps présuppose des faits sur la structure physique du temps. De plus, comme Boole lui-même l'a souligné, sa traduction d'un argument anglais à sa forme théorique des ensembles nous oblige à croire que pour chaque propriété utilisée dans l'argument,il y a une classe correspondante de toutes les choses qui ont la propriété. Cela se rapproche dangereusement de l'axiome de compréhension incohérente de Frege!

En 1936, Alfred Tarski a proposé une définition de la conséquence logique pour les arguments dans un langage formel pleinement interprété. Sa proposition était qu'un argument est valable si et seulement si: sous toute réinterprétation autorisée de ses symboles non logiques, si les prémisses sont vraies, alors la conclusion l'est aussi. Tarski a supposé que la classe des réinterprétations autorisées pouvait être lue à partir de la sémantique du langage, comme indiqué dans sa définition de la vérité. Il n'a pas déterminé quels symboles comptaient comme non logiques; en fait, il espérait que cette liberté permettrait de définir différents types de nécessité, en séparant peut-être «logique» de «analytique». Une chose qui rend la proposition de Tarski difficile à évaluer est qu'il ignore complètement la question que nous avons discutée ci-dessus, celle de l'analyse des concepts pour atteindre toutes les connexions logiques entre eux. La seule explication plausible que je puisse voir à cela réside dans sa remarque entre parenthèses sur

la nécessité d'éliminer les signes définis qui pourraient éventuellement apparaître dans les phrases concernées, c'est-à-dire de les remplacer par des signes primitifs.

Cela me suggère qu'il veut que ses signes primitifs soient par stipulation inanalysables. Mais alors par stipulation, ce sera purement accidentel si sa notion de conséquence logique saisit tout ce que l'on compterait normalement comme une conséquence logique.

Les historiens notent une ressemblance entre la proposition de Tarski et celle de la section 147 de la Wissenschaftslehre de Bernard Bolzano de 1837. Comme Tarski, Bolzano définit la validité d'une proposition en termes de vérité d'une famille de propositions apparentées. Contrairement à Tarski, Bolzano fait sa proposition de propositions dans la langue vernaculaire, pas pour des phrases d'un langage formel avec une sémantique précisément définie.

Sur l'ensemble de cette section, voir aussi l'entrée sur la conséquence logique.

4. Force expressive

Une phrase (S) définit sa classe (Mod (S)) de modèles. Étant donné deux langues (L) et (L '), nous pouvons les comparer en demandant si chaque classe (Mod (S)), avec (S) une phrase de (L), est aussi une classe de la forme (Mod (S ')) où (S') est une phrase de (L '). Si la réponse est Oui, nous disons que (L) est réductible à (L '), ou que (L') est au moins aussi expressif que (L).

Par exemple, si (L) est une langue de premier ordre avec identité, dont la signature est constituée de symboles de prédicat 1-aire, et (L ') est la langue dont les phrases sont constituées des quatre formes syllogistiques (All (A) sont (B), Certains (A) sont (B), Non (A) sont (B), Certains (A) ne sont pas (B)) utilisant les mêmes symboles de prédicat, alors (L ') est réductible à (L), car les formes syllogistiques sont exprimables en logique du premier ordre. (Il y a des querelles pour savoir quelle est la bonne façon de les exprimer; voir l'entrée sur le carré traditionnel de l'opposition.) Mais le langage de premier ordre (L) n'est certainement pas réductible au langage (L ') des syllogismes, puisque dans (L) nous pouvons écrire une phrase disant qu'exactement trois éléments satisfont (Px), et il n'y a aucun moyen de le dire en utilisant uniquement les formes syllogistiques. Ou bouger dans l'autre sens,si l'on forme un troisième langage (L '') en ajoutant à (L) le quantificateur (Qx) avec le sens "Il y a un nombre incalculable d'éléments (x) tels que…", alors trivialement (L) est réductible à (L ''), mais le théorème de Loewenheim-Skolem descendant montre tout de suite que (L '') n'est pas réductible à (L).

Ces notions sont utiles pour analyser la force des langages de requête de base de données. Nous pouvons considérer les états possibles d'une base de données comme des structures, et une simple requête Oui / Non devient une phrase qui suscite la réponse Oui si la base de données en est un modèle et Non sinon. Si un langage de requête de base de données n'est pas réductible à un autre, le premier peut exprimer une requête qui ne peut pas être exprimée dans le second.

Nous avons donc besoin de techniques pour comparer les forces expressives des langues. L'une des techniques les plus puissantes disponibles est constituée des allers-retours d'Ehrenfeucht et de Fraïssé entre les deux joueurs Spoiler et Duplicator; voir l'entrée sur la logique et les jeux pour plus de détails. Imaginons par exemple que nous jouions au jeu de va-et-vient habituel du premier ordre (G) entre deux structures (A) et (B). La théorie de ces jeux établit que si une phrase du premier ordre (phi) est vraie dans exactement l'un des (A) et (B), alors il y a un nombre (n), calculable à partir de (phi), avec la propriété que Spoiler a une stratégie pour (G) qui garantira qu'il gagne dans au plus (n) étapes. Donc inversement, pour montrer que la logique du premier ordre ne peut pas faire la distinction entre (A) et (B), il suffit de montrer que pour tout fini (n),Duplicator a une stratégie qui garantira qu'elle ne perdra pas (G) dans les premières (n) étapes. Si nous réussissons à le montrer, il s'ensuit que tout langage qui fait la distinction entre (A) et (B) n'est pas réductible au langage du premier ordre des structures (A) et (B).

Ces jeux de va-et-vient sont extrêmement flexibles. Pour commencer, ils ont autant de sens sur les structures finies que sur l'infini; de nombreuses autres techniques de la théorie classique des modèles supposent que les structures sont infinies. Ils peuvent également être adaptés en douceur à de nombreuses langues autres que de premier ordre.

En 1969, Per Lindström a utilisé des jeux de va-et-vient pour donner des caractérisations abstraites de la logique du premier ordre en termes de son pouvoir expressif. Un de ses théorèmes dit que si (L) est un langage avec une signature (K, L) est fermé sous toutes les opérations syntaxiques du premier ordre, et (L) obéit au théorème de Loewenheim-Skolem descendant pour phrases simples, et le théorème de compacité, alors (L) est réductible au langage du premier ordre de signature (K). Ces théorèmes sont très attractifs; voir le chapitre XII d'Ebbinghaus, Flum et Thomas pour un bon compte rendu. Mais ils n'ont jamais vraiment tenu leur promesse. Il a été difficile de trouver des caractérisations similaires d'autres logiques. Même pour la logique de premier ordre, il est un peu difficile de voir exactement ce que les caractérisations nous disent. Mais très grosso modo,ils nous disent que la logique du premier ordre est la logique unique avec deux propriétés: (1) nous pouvons l'utiliser pour exprimer des choses arbitrairement compliquées sur des modèles finis, et (2) il est sans espoir de discriminer entre un cardinal infini et un autre.

Ces deux propriétés (1) et (2) ne sont que les propriétés de la logique du premier ordre qui ont permis à Abraham Robinson de construire son analyse non standard. Le contexte est que Leibniz, lorsqu'il a inventé le calcul différentiel et intégral, a utilisé des nombres infinitésimaux, c'est-à-dire des nombres supérieurs à 0 et inférieurs à tous les 1/2, 1/3, 1/4 etc. Malheureusement, il n'y a pas de tels nombres réels. Au cours du XIXe siècle, toutes les définitions et preuves dans le style Leibniz ont été réécrites pour parler de limites au lieu d'infinitésimales. Soit maintenant (mathbb {R}) la structure constituée du champ de nombres réels avec toutes les caractéristiques structurelles auxquelles nous nous soucions de donner des noms: certainement plus et temps, peut-être l'ordre, l'ensemble des entiers, les fonctions sin et log, etc. Soit (L) le langage du premier ordre dont la signature est celle de (mathbb {R}). En raison de la force expressive de (L), nous pouvons écrire n'importe quel nombre de théorèmes de calcul sous forme de phrases de (L). En raison de la faiblesse expressive de (L), il n'y a aucun moyen d'exprimer dans (L) que (mathbb {R}) n'a pas de nombres infinitésimaux. En fait, Robinson a utilisé le théorème de compacité pour construire une structure (mathbb {R} ') qui est un modèle d'exactement les mêmes phrases de (L) que (mathbb {R}), mais qui a infinitésimales. Comme Robinson l'a montré, nous pouvons copier les arguments de Leibniz en utilisant les infinitésimales dans (mathbb {R} '), et ainsi prouver que divers théorèmes de calcul sont vrais dans (mathbb {R}'). Mais ces théorèmes sont exprimables en (L), ils doivent donc également être vrais en (mathbb {R}).il n'y a aucun moyen d'exprimer dans (L) que (mathbb {R}) n'a pas de nombres infinitésimaux. En fait, Robinson a utilisé le théorème de compacité pour construire une structure (mathbb {R} ') qui est un modèle d'exactement les mêmes phrases de (L) que (mathbb {R}), mais qui a infinitésimales. Comme Robinson l'a montré, nous pouvons copier les arguments de Leibniz en utilisant les infinitésimales dans (mathbb {R} '), et ainsi prouver que divers théorèmes de calcul sont vrais dans (mathbb {R}'). Mais ces théorèmes sont exprimables en (L), ils doivent donc également être vrais en (mathbb {R}).il n'y a aucun moyen d'exprimer dans (L) que (mathbb {R}) n'a pas de nombres infinitésimaux. En fait, Robinson a utilisé le théorème de compacité pour construire une structure (mathbb {R} ') qui est un modèle d'exactement les mêmes phrases de (L) que (mathbb {R}), mais qui a infinitésimales. Comme Robinson l'a montré, nous pouvons copier les arguments de Leibniz en utilisant les infinitésimales dans (mathbb {R} '), et ainsi prouver que divers théorèmes de calcul sont vrais dans (mathbb {R}'). Mais ces théorèmes sont exprimables en (L), ils doivent donc également être vrais en (mathbb {R}).nous pouvons copier les arguments de Leibniz en utilisant les infinitésimales dans (mathbb {R} '), et ainsi prouver que divers théorèmes de calcul sont vrais dans (mathbb {R}'). Mais ces théorèmes sont exprimables en (L), ils doivent donc également être vrais en (mathbb {R}).nous pouvons copier les arguments de Leibniz en utilisant les infinitésimales dans (mathbb {R} '), et ainsi prouver que divers théorèmes de calcul sont vrais dans (mathbb {R}'). Mais ces théorèmes sont exprimables en (L), ils doivent donc également être vrais en (mathbb {R}).

Étant donné que les arguments utilisant des nombres infinitésimaux sont généralement plus faciles à visualiser que les arguments utilisant des limites, l'analyse non standard est un outil utile pour les analystes mathématiques. Jacques Fleuriot dans son doctorat thesis (2001) a automatisé la théorie de la preuve de l'analyse non standard et l'a utilisée pour mécaniser certaines des preuves dans les Principia de Newton.

5. Modèles et modélisation

Modéliser un phénomène, c'est construire une théorie formelle qui le décrit et l'explique. Dans un sens étroitement lié, vous modélisez un système ou une structure que vous prévoyez de construire, en écrivant une description de celui-ci. Ce sont des sens du «modèle» très différents de ceux de la théorie des modèles: le «modèle» du phénomène ou du système n'est pas une structure mais une théorie, souvent dans un langage formel. Le langage de modélisation universel, UML en abrégé, est un langage formel conçu à cet effet. Il a été rapporté que la marine australienne avait embauché une fois un théoricien des modèles pour un travail de «modélisation des phénomènes hydrodynamiques». (Veuillez ne pas les éclairer!)

Un peu d'histoire montrera comment le mot «modèle» en est venu à avoir ces deux usages différents. En latin tardif, un «modèle» était un appareil de mesure, par exemple pour mesurer l'eau ou le lait. Par les aléas du langage, le mot a généré trois mots différents en anglais: moule, module, modèle. Souvent, un appareil qui mesure une quantité d'une substance impose également une forme à la substance. Nous le voyons avec un moule à fromage, et aussi avec les lettres métalliques (appelées «modules» au début du 17e siècle) qui transportent l'encre sur le papier dans l'impression. Ainsi, `` modèle '' en vient à signifier un objet en main qui exprime la conception de certains autres objets dans le monde: le modèle de l'artiste porte la forme que l'artiste dépeint, et le `` module '' de Christopher Wren de la cathédrale Saint-Paul sert à guider les constructeurs.

Déjà à la fin du 17ème siècle, le mot «modèle» pouvait signifier un objet qui montre la forme, non pas d'objets du monde réel, mais de constructions mathématiques. Leibniz se vantait de ne pas avoir besoin de modèles pour faire des mathématiques. D'autres mathématiciens étaient heureux d'utiliser des modèles en plâtre ou en métal de surfaces intéressantes. Les modèles de théorie des modèles sont d'abord apparus comme des versions abstraites de ce type de modèle, avec des théories à la place de l'équation définissant une surface. D'un autre côté, on peut rester avec des objets du monde réel mais montrer leur forme à travers une théorie plutôt qu'une copie physique en main; la «modélisation» construit une telle théorie.

Nous sommes dans une situation à mi-chemin déroutante lorsqu'un scientifique décrit un phénomène dans le monde par une équation, par exemple une équation différentielle avec des fonctions exponentielles comme solutions. Le modèle est-il la théorie consistant en l'équation, ou ces fonctions exponentielles sont-elles elles-mêmes des modèles du phénomène? Des exemples de ce type, où la théorie et les structures donnent essentiellement les mêmes informations, étayent l'affirmation de Patrick Suppes selon laquelle «le sens du concept de modèle est le même en mathématiques et en sciences empiriques» (page 12 de son livre de 1969 cité au dessous de). Plusieurs philosophes de la science ont poursuivi l'idée d'utiliser une version informelle des modèles théoriques des modèles pour la modélisation scientifique. Parfois, les modèles sont décrits comme non linguistiques - cela peut être difficile à concilier avec notre définition des modèles dans la section 1 ci-dessus.

La science cognitive est un domaine où la différence entre les modèles et la modélisation tend à s'estomper. Une question centrale de la science cognitive est de savoir comment nous représentons les faits ou les possibilités dans notre esprit. Si l'on formalise ces représentations mentales, elles deviennent quelque chose comme des «modèles de phénomènes». Mais c'est une hypothèse sérieuse qu'en fait nos représentations mentales ont beaucoup en commun avec des structures simples de la théorie des ensembles, de sorte qu'elles sont aussi des «modèles» au sens de la théorie des modèles. En 1983, deux ouvrages influents de la science cognitive ont été publiés, tous deux sous le titre Mental Models. Le premier, édité par Dedre Gentner et Albert Stevens, portait sur les «conceptualisations» par les gens des faits élémentaires de la physique; il appartient carrément au monde de la «modélisation des phénomènes». Le second, de Philip Johnson-Laird, porte en grande partie sur le raisonnement,et fait plusieurs appels à la «sémantique de la théorie des modèles» dans notre sens. Les chercheurs de la tradition Johnson-Laird ont tendance à qualifier leur approche de «théorie des modèles» et à la considérer comme étant en quelque sorte liée à ce que nous avons appelé la théorie des modèles.

Les images et les diagrammes semblent au premier abord se situer au milieu des théories et des modèles. Dans la pratique, les théoriciens des modèles se dessinent souvent eux-mêmes des images de structures et utilisent ces images pour réfléchir aux structures. D'un autre côté, les images ne portent généralement pas l'étiquetage qui est une caractéristique essentielle des structures de la théorie des modèles. Il existe un nombre croissant de travaux sur le raisonnement avec des diagrammes, et la tendance dominante de ce travail est de voir les images et les diagrammes comme une forme de langage plutôt que comme une forme de structure. Par exemple, Eric Hammer et Norman Danner (dans le livre édité par Allwein et Barwise, voir la Bibliographie) décrivent une «théorie des modèles des diagrammes de Venn»; les diagrammes de Venn eux-mêmes sont la syntaxe et la théorie des modèles est une explication théorique des ensembles de leur signification.

Le théoricien des modèles Yuri Gurevich a introduit des machines à états abstraites (ASM) comme moyen d'utiliser des idées de théorie des modèles pour la spécification en informatique. Selon le site Web de Abstract State Machine (voir Autres ressources Internet ci-dessous),

tout algorithme peut être modélisé à son niveau d'abstraction naturelle par un ASM approprié. … Les ASM utilisent des structures mathématiques classiques pour décrire les états d'un calcul; les structures sont des modèles précis et bien compris.

Le livre de Börger et Stärk cité ci-dessous est un compte rendu faisant autorité sur les ASM et leurs utilisations.

Aujourd'hui, vous pouvez faire votre nom et votre fortune en trouvant un bon système de représentation. Il n'y a aucune raison de s'attendre à ce que chacun de ces systèmes s'intègre parfaitement dans le cadre syntaxique / sémantique de la théorie des modèles, mais il sera surprenant que les idées de la théorie des modèles ne continuent pas à apporter une contribution majeure dans ce domaine.

Bibliographie

Textes introductifs

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  • Suppes, P., 1969, Études sur la méthodologie et les fondements de la science, Dordrecht: Reidel.

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Autres ressources Internet

  • mentalmodelsblog: Modèles mentaux dans la pensée et le raisonnement humains, par Ruth Byrne.
  • Théorie des modèles algorithmiques, par E. Graedel, D. Berwanger et M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
  • Machines d'état abstraites, par Jim Huggins

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