Paradoxe De Russell

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Paradoxe de Russell

Publié pour la première fois le 8 décembre 1995; révision de fond dim.9 oct.2016

Le paradoxe de Russell est le plus célèbre des paradoxes logiques ou théoriques des ensembles. Également connu sous le nom de paradoxe de Russell-Zermelo, le paradoxe surgit dans la théorie des ensembles naïve en considérant l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes. Un tel ensemble semble être membre de lui-même si et seulement s'il n'est pas membre de lui-même. D'où le paradoxe.

Certains ensembles, tels que l'ensemble de toutes les tasses à thé, ne sont pas membres d'eux-mêmes. D'autres ensembles, tels que l'ensemble de toutes les non-tasses à thé, sont des membres d'eux-mêmes. Appelez l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes «R». Si R est membre de lui-même, alors par définition il ne doit pas être membre de lui-même. De même, si R n'est pas membre de lui-même, alors par définition, il doit être membre de lui-même.

Bien qu'également remarquée par Ernst Zermelo, la contradiction n'a pas été jugée importante jusqu'à ce qu'elle ait été découverte indépendamment par Bertrand Russell au printemps de 1901. Depuis lors, le paradoxe a suscité de nombreux travaux en logique, théorie des ensembles et philosophie et fondements des mathématiques.

  • 1. Le paradoxe
  • 2. Histoire du paradoxe
  • 3. Premières réponses au paradoxe
  • 4. Paradoxe de Russell dans la logique contemporaine
  • Bibliographie
  • Outils académiques
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Le paradoxe

Un énoncé des conditions dans lesquelles les ensembles sont formés est au cœur de toute théorie des ensembles. En plus de simplement lister les membres d'un ensemble, il a été initialement supposé que toute condition bien définie (ou propriété précisément spécifiée) pouvait être utilisée pour déterminer un ensemble. Par exemple, si T est la propriété d'être une tasse de thé, alors l'ensemble, S, de toutes les tasses de thé pourrait être défini comme S = {x: T (x)}, l'ensemble de tous les individus, x, tel que x a le propriété d'être T. Même une propriété contradictoire peut être utilisée pour déterminer un ensemble. Par exemple, la propriété d'être à la fois T et non-T déterminerait l'ensemble vide, l'ensemble n'ayant aucun membre.

Plus précisément, la théorie naïve des ensembles suppose le soi-disant axiome de compréhension naïf ou non restreint, l'axiome que pour toute formule φ (x) contenant x comme variable libre, il existera l'ensemble {x: φ (x)} dont les membres sont exactement les objets qui satisfont φ (x). Ainsi, si la formule φ (x) signifie «x est premier», alors {x: φ (x)} sera l'ensemble des nombres premiers. Si φ (x) signifie «~ (x = x)», alors {x: φ (x)} sera l'ensemble vide.

Mais de l'hypothèse de cet axiome, la contradiction de Russell découle. Par exemple, si on laisse φ (x) représenter x ∈ x et que R = {x: ~ φ (x)}, alors R est l'ensemble dont les membres sont exactement les objets qui ne sont pas membres d'eux-mêmes.

R est-il membre de lui-même? Si c'est le cas, alors il doit satisfaire à la condition de ne pas être membre de lui-même et il ne l'est donc pas. Si ce n'est pas le cas, alors il ne doit pas remplir la condition de ne pas être membre de lui-même, et donc il doit être membre de lui-même. Puisque, par la logique classique, un cas ou l'autre doit tenir - soit R est un membre de lui-même, soit il ne l'est pas - il s'ensuit que la théorie implique une contradiction.

Comme Russell nous le dit, c'est après avoir appliqué le même type de raisonnement trouvé dans l'argumentation diagonale de Cantor à une «classe supposée de tous les objets imaginables» qu'il a été conduit à la contradiction:

La classe globale que nous envisageons, qui doit tout embrasser, doit s’embrasser comme l’un de ses membres. En d'autres termes, s'il existe une chose telle que «tout», alors «tout» est quelque chose et fait partie de la classe «tout». Mais normalement, une classe n'est pas membre d'elle-même. L'humanité, par exemple, n'est pas un homme. Formez maintenant l'assemblage de toutes les classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes. C'est une classe: est-elle membre d'elle-même ou non? Si c'est le cas, c'est l'une de ces classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes, c'est-à-dire qu'elle n'est pas membre d'elle-même. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une de ces classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes, c'est-à-dire qu'elle est membre d'elle-même. Ainsi des deux hypothèses - qu'elle est, et qu'elle n'est pas, membre de soi - chacune implique sa contradiction. C'est une contradiction. (1919, 136)

Les réponses standard au paradoxe tentent de limiter d'une certaine manière les conditions dans lesquelles les ensembles se forment. Le but est généralement à la fois d'éliminer R (et des ensembles contradictoires similaires) et, en même temps, de conserver tous les autres ensembles nécessaires aux mathématiques. Ceci est souvent fait en remplaçant l'axiome de compréhension sans restriction par l'axiome de séparation plus restrictif, à savoir l'axiome qui, étant donné tout ensemble (cohérent) S et toute formule φ (x) avec x libre, il y aura un ensemble {x ∈ S: φ (x)} dont les membres sont exactement les membres de S qui satisfont φ (x). Si l'on laisse maintenant φ (x) représenter la formule x ∉ x, il s'avère que l'ensemble correspondant, {x ∈ S: x ∉ x} ne sera pas contradictoire puisqu'il ne comprend que les membres trouvés dans S qui ne le sont pas membres d'eux-mêmes. Par conséquent, l'ensemble ne s'inclut pas.

Une variété de paradoxes liés est discutée dans le deuxième chapitre de l'Introduction à Whitehead et Russell (1910, 2e éd. 60-65), ainsi que dans l'entrée sur les paradoxes et la logique contemporaine de cette encyclopédie.

2. Histoire du paradoxe

Russell semble avoir découvert son paradoxe à la fin du printemps 1901, alors qu'il travaillait sur ses Principes de mathématiques (1903). La date exacte à laquelle la découverte a eu lieu n'est pas claire. Russell déclare initialement qu'il est tombé sur le paradoxe «en juin 1901» (1944, 13). Plus tard, il rapporte que la découverte a eu lieu «au printemps 1901» (1959, 75). Plus tard encore, il rapporte qu'il est tombé sur le paradoxe, non pas en juin, mais en mai de cette année (1969, 221). Cesare Burali-Forti, un assistant de Giuseppe Peano, avait découvert une antinomie similaire en 1897 lorsqu'il remarqua que puisque l'ensemble des ordinaux est bien ordonné, il doit aussi avoir un ordinal. Cependant, cet ordinal doit être à la fois un élément de l'ensemble de tous les ordinaux et encore plus grand que chacun de ces éléments.

Contrairement au paradoxe de Burali-Forti, le paradoxe de Russell n'implique ni les ordinaux ni les cardinaux, se basant uniquement sur les notions primitives d'inclusion d'ensemble et d'ensemble. Zermelo a remarqué une contradiction similaire entre 1897 et 1902, anticipant peut-être Russell de quelques années (Ebbinghaus et Peckhaus 2007, 43-48; Tappenden 2013, 336), bien que Kanamori conclut que la découverte aurait pu facilement être aussi tardive qu'en 1902 (Kanamori 2009, 411). Dans tous les cas, on pensait que le paradoxe était d'une importance mineure jusqu'à ce qu'on se rende compte à quel point il était préjudiciable aux fondements mathématiques de Gottlob Frege.

Russell écrivit à Frege avec des nouvelles de son paradoxe le 16 juin 1902. (Pour la correspondance pertinente, voir Russell (1902) et Frege (1902) dans van Heijenoort (1967).) Le paradoxe était important pour le travail logique de Frege puisque, en effet, cela montrait que les axiomes que Frege utilisait pour formaliser sa logique étaient incohérents. Plus précisément, l'Axiome V de Frege exige qu'une expression telle que φ (x) soit considérée à la fois comme une fonction de l'argument x et une fonction de l'argument φ. (Plus précisément, la loi de Frege stipule que le cours des valeurs d'un concept f est identique au cours des valeurs d'un concept g si et seulement si f et g s'accordent sur la valeur de chaque argument, c'est-à-dire si et seulement si pour chaque objet x, f (x) = g (x). Voir la section 2.4.1 de l'entrée sur Gottlob Frege dans cette encyclopédie pour plus de détails.) En effet,c'est cette ambiguïté qui a permis à Russell de construire R de telle sorte qu'il puisse à la fois être et ne pas être membre de lui-même.

La lettre de Russell est arrivée juste au moment où le deuxième volume de Grundgesetze der Arithmetik de Frege (Les lois fondamentales de l'arithmétique, 1893, 1903) était sous presse. Appréciant immédiatement la difficulté que posait le paradoxe, Frege ajouta au Grundgesetze une annexe composée à la hâte discutant de la découverte de Russell. Dans l'appendice, Frege observe que les conséquences du paradoxe de Russell ne sont pas immédiatement claires. Par exemple, «Est-il toujours permis de parler d'extension d'un concept, d'une classe? Et sinon, comment reconnaître les cas exceptionnels? Peut-on toujours déduire de l'extension d'un concept coïncidant avec celle d'un second, que tout objet qui relève du premier concept tombe également sous le second? Telles sont les questions », note Frege,« soulevées par la communication de M. Russell »(1903, 127). A cause de ces soucis,Frege s'est finalement senti obligé d'abandonner nombre de ses vues sur la logique et les mathématiques.

Même ainsi, comme le souligne Russell, Frege a accueilli la nouvelle du paradoxe avec une force remarquable:

En pensant aux actes d'intégrité et de grâce, je me rends compte qu'il n'y a rien à ma connaissance à comparer avec le dévouement de Frege à la vérité. L'œuvre de toute sa vie était sur le point d'être achevée, une grande partie de son travail avait été ignorée au profit d'hommes infiniment moins capables, son deuxième volume était sur le point d'être publié, et après avoir constaté que son hypothèse fondamentale était erronée, il a répondu avec plaisir intellectuel submergeant clairement tout sentiment de déception personnelle. C'était presque surhumain et une indication révélatrice de ce dont les hommes sont capables si leur dévouement est au travail créatif et à la connaissance au lieu d'efforts plus grossiers pour dominer et être connus. (Cité dans van Heijenoort (1967), 127)

Bien sûr, Russell était également préoccupé par les conséquences de la contradiction. En apprenant que Frege était d'accord avec lui sur la signification du résultat, il a immédiatement commencé à rédiger une annexe pour ses propres Principes de mathématiques à paraître bientôt. Intitulée «Annexe B: La doctrine des types», l'appendice représente la première tentative de Russell de fournir une méthode de principe pour éviter ce qui allait bientôt devenir le «paradoxe de Russell».

3. Premières réponses au paradoxe

La signification du paradoxe de Russell peut être vue une fois que l'on se rend compte que, en utilisant la logique classique, toutes les phrases découlent d'une contradiction. Par exemple, en supposant à la fois P et ~ P, toute proposition arbitraire, Q, peut être prouvée comme suit: à partir de P on obtient P ∨ Q par la règle d'addition; puis à partir de P ∨ Q et ~ P on obtient Q par la règle du syllogisme disjonctif. Parce que la théorie des ensembles sous-tend toutes les branches des mathématiques, de nombreuses personnes ont commencé à s'inquiéter du fait que l'incohérence de la théorie des ensembles signifierait qu'aucune preuve mathématique ne pourrait être entièrement digne de confiance. Ce n'est qu'en éliminant le paradoxe de Russell que les mathématiques dans leur ensemble pourraient retrouver leur cohérence.

Le paradoxe de Russell découle finalement de l'idée que toute condition ou propriété peut être utilisée pour déterminer un ensemble. Par exemple, la propriété d'être uniformément divisible par lui-même et le nombre un distingue l'ensemble des nombres premiers de l'ensemble des nombres entiers. La propriété d'avoir des glandes mammaires distingue l'ensemble des mammifères des reptiles, oiseaux et autres organismes vivants. La propriété d'être à la fois carré et non carré (ou toute autre conjonction de propriétés contradictoires) détermine l'ensemble vide, et ainsi de suite.

Un des premiers sceptiques concernant un axiome de Compréhension (ou Abstraction) sans restriction était le créateur de la théorie des ensembles moderne, Georg Cantor. Même avant la découverte de Russell, Cantor avait rejeté la compréhension illimitée en faveur de ce qui était, en fait, une distinction entre les ensembles et les classes, reconnaissant que certaines propriétés (telles que la propriété d'être un ordinal) produisaient des collections qui étaient tout simplement trop grandes pour être ensembles, et que toute hypothèse contraire conduirait à une incohérence. (Des détails peuvent être trouvés dans Moore (1982), Hallett (1984) et Menzel (1984).)

La propre réponse de Russell au paradoxe est venue avec sa théorie des types bien nommée. Croyant que l'auto-application était au cœur du paradoxe, l'idée de base de Russell était que nous pouvons éviter l'engagement envers R (l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes) en arrangeant toutes les phrases (ou, plus précisément, toutes les fonctions propositionnelles, fonctions qui donnent des propositions comme valeurs) dans une hiérarchie. Il est alors possible de faire référence à tous les objets pour lesquels une condition (ou un prédicat) donné ne tient que s'ils sont tous au même niveau ou du même «type».

Cette solution au paradoxe de Russell est motivée en grande partie par l'adoption du principe dit du cercle vicieux. Le principe en effet stipule qu'aucune fonction propositionnelle ne peut être définie avant de spécifier le champ d'application de la fonction. En d'autres termes, avant qu'une fonction puisse être définie, il faut d'abord spécifier exactement les objets auxquels la fonction s'appliquera (le domaine de la fonction). Par exemple, avant de définir le prédicat «est un nombre premier», il faut d'abord définir la collection d'objets qui pourraient éventuellement satisfaire ce prédicat, à savoir l'ensemble, N, des nombres naturels.

Comme l'expliquent Whitehead et Russell,

L'analyse des paradoxes à éviter montre qu'ils résultent tous d'une sorte de cercle vicieux. Les cercles vicieux en question découlent de la supposition qu'une collection d'objets peut contenir des membres qui ne peuvent être définis qu'au moyen de la collection dans son ensemble. Ainsi, par exemple, la collection de propositions sera supposée contenir une proposition indiquant que «toutes les propositions sont soit vraies soit fausses». Il semblerait, cependant, qu'une telle déclaration ne pourrait être légitime que si «toutes les propositions» se référaient à une collection déjà définie, ce qu'elle ne peut pas faire si de nouvelles propositions sont créées par des déclarations sur «toutes les propositions». Nous devrons donc dire que les déclarations sur «toutes les propositions» n'ont pas de sens. … Le principe qui permet d'éviter les totalités illégitimes peut être énoncé comme suit:«Tout ce qui concerne toute une collection ne doit pas faire partie de la collection»; ou, inversement: "Si, à condition qu'une certaine collection ait un total, elle aurait des membres définissables uniquement en fonction de ce total, alors ladite collection n'a pas de total." Nous appellerons cela le «principe du cercle vicieux», car il permet d'éviter les cercles vicieux impliqués dans l'hypothèse de totalités illégitimes. (1910, 2e édition 37)

Si Whitehead et Russell ont raison, il s'ensuit qu'aucune portée d'application d'une fonction ne pourra jamais inclure un objet présupposé par la fonction elle-même. En conséquence, les fonctions propositionnelles (avec leurs propositions correspondantes) finiront par être organisées dans une hiérarchie du type que Russell propose.

Bien que Russell ait introduit pour la première fois sa théorie des types dans ses Principes de mathématiques de 1903, il a immédiatement reconnu qu'il fallait faire plus de travail puisque son exposé initial semblait résoudre certains des paradoxes, mais pas tous. Parmi les alternatives qu'il a envisagées, il y avait une théorie dite de substitution (Galaugher 2013). Cela a conduit à son tour à l'expression plus mature de la théorie des types cinq ans plus tard dans l'article de Russell de 1908, «Mathematical Logic as Based on the Theory of Types», et dans l'ouvrage monumental qu'il a co-écrit avec Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). La théorie des types de Russell apparaît ainsi en deux versions: la «théorie simple» de 1903 et la «théorie ramifiée» de 1908. Les deux versions ont été critiquées pour être trop ad hoc pour éliminer avec succès le paradoxe.

En réponse au paradoxe de Russell, David Hilbert a également élargi son programme de construction d'une base cohérente et axiomatique pour les mathématiques de manière à inclure une base axiomatique pour la logique et la théorie des ensembles (Peckhaus 2004). À la base de cette approche formaliste se trouvait l'idée de ne permettre l'utilisation que d'objets finis, bien définis et constructibles, ainsi que des règles d'inférence réputées absolument certaines.

Enfin, Luitzen Brouwer a développé l'intuitionnisme, dont l'idée de base était qu'on ne peut affirmer l'existence d'un objet mathématique que si l'on peut définir une procédure pour le construire.

Ensemble, toutes ces réponses ont aidé à attirer l'attention sur les liens entre la logique, le langage et les mathématiques. Ils ont également aidé les logiciens à développer une conscience explicite de la nature des systèmes formels et des types de résultats métalogiques et métamathématiques qui se sont avérés être au cœur de la recherche sur les fondements de la logique et des mathématiques au cours des cent dernières années.

4. Paradoxe de Russell dans la logique contemporaine

Le paradoxe de Russell est parfois vu comme un développement négatif - comme faisant tomber le Grundgesetze de Frege et comme l'un des péchés conceptuels originaux conduisant à notre expulsion du paradis de Cantor. WV Quine décrit le paradoxe comme une «antinomie» qui «contient une surprise qui ne peut être accommodée que par une répudiation de notre héritage conceptuel» (1966, 11). Quine fait référence au principe de compréhension naïve évoqué plus haut. En symboles, le principe stipule que

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

où A n'est pas libre dans la formule φ. Cela dit: "Il existe un ensemble A tel que pour tout objet x, x est un élément de A si et seulement si la condition exprimée par φ est vérifiée." Le paradoxe de Russell survient en prenant φ pour la formule: x ∉ x.

Malgré le commentaire de Quine, il est possible de voir le paradoxe de Russell sous un jour plus positif. D'une part, bien que la question reste controversée, des recherches ultérieures ont révélé que le paradoxe ne court-circuite pas nécessairement la dérivation de Frege de l'arithmétique à partir de la logique seule. La version de Frege de NC (son Axiom V) peut simplement être abandonnée. (Pour plus de détails, voir l'entrée sur le théorème de Frege.) Pour un autre, Church donne une formulation élégante de la théorie simple des types qui s'est avérée fructueuse même dans des domaines éloignés des fondements des mathématiques. (Pour plus de détails, voir l'entrée sur la théorie des types.) Enfin,le développement de théories axiomatiques (par opposition à naïves) des ensembles qui présentent diverses façons ingénieuses et mathématiquement et philosophiquement significatives de traiter le paradoxe de Russell a ouvert la voie à des résultats étonnants dans la métamathématique de la théorie des ensembles. Ces résultats ont inclus les théorèmes de Gödel et Cohen sur l'indépendance de l'axiome du choix et l'hypothèse du continuum de Cantor. Voyons donc, en gros, comment certaines de ces méthodes - en particulier, les méthodes dites «non typées» - traitent du paradoxe de Russell.

Zermelo remplace NC par le schéma d'axiome suivant de séparation (ou Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Encore une fois, pour éviter la circularité, B ne peut pas être libre dans φ. Cela exige que pour entrer dans B, x doit être membre d'un ensemble existant A. Comme on pourrait l'imaginer, cela nécessite une foule d'axiomes d'existence d'ensemble supplémentaires, dont aucun ne serait nécessaire si NC avait tenu le coup.

Comment ZA évite-t-elle le paradoxe de Russell? On pourrait penser au début que non. Après tout, si nous laissons A être V - l'univers entier des ensembles - et φ être x ∉ x, une contradiction apparaît à nouveau. Mais dans ce cas, tout ce que montre la contradiction est que V n'est pas un ensemble. Toute la contradiction montre que «V» est un nom vide (c'est-à-dire qu'il n'a pas de référence, que V n'existe pas), puisque l'ontologie du système de Zermelo est constituée uniquement d'ensembles.

Ce même point peut être fait d'une autre manière encore, impliquant une forme relativisée de l'argument de Russell. Soit B n'importe quel ensemble. Par ZA, l'ensemble R B = {x ∈ B: x ∉ x} existe, mais il ne peut pas être un élément de B. Car si c'est un élément de B, alors on peut se demander s'il est ou non un élément de R B; et c'est si et seulement si ce n'est pas le cas. Ainsi quelque chose, à savoir R B, est «manquant» dans chaque ensemble B. Encore une fois, V n'est pas un ensemble, puisque rien ne peut manquer à V. Mais notez la subtilité suivante: contrairement à l'argument précédent impliquant l'application directe d'Aussonderungs à V, le présent argument laisse entendre que, tandis que V n'est pas un défini, «V» n'est pas un nom vide. La prochaine stratégie pour faire face au paradoxe de Russell capitalise sur cet indice.

La méthode non typée de John von Neumann (1925) pour traiter les paradoxes, et le paradoxe de Russell en particulier, est simple et ingénieuse. Von Neumann introduit une distinction entre appartenance et non-appartenance et, sur cette base, établit une distinction entre les ensembles et les classes. Un objet est un membre (simpliciter) s'il est membre d'une classe; et c'est un non-membre s'il n'est membre d'aucune classe. (En fait, von Neumann développe une théorie des fonctions, considérée comme primitive, plutôt que comme des classes, dans laquelle, correspondant à la distinction membre / non-membre, on a une distinction entre un objet qui peut être un argument d'une fonction et un qui ne le peut pas. sa forme moderne, due à Bernays et Gödel, c'est une théorie des classes à un seul tri.)

Les ensembles sont ensuite définis comme des membres et les non-membres sont appelés «classes appropriées». Ainsi, par exemple, la classe Russell, R, ne peut être membre d'aucune classe et doit donc être une classe appropriée. Si R est supposé être un élément d'une classe A, alors il résulte de l'un des axiomes de von Neumann que R n'est pas équivalent à V. Mais R est équivalent à V, et donc pas un élément de A. Ainsi, la méthode de von Neumann est étroitement liée au résultat indiqué ci-dessus à propos de l'ensemble R B, pour B arbitraire. La méthode de Von Neumann, bien qu'admirée par Gödel et Bernays, a été sous-évaluée ces dernières années.

Quine (1937) et (1967) fournissent de la même manière une autre méthode non typée (dans la lettre sinon dans l'esprit) pour bloquer le paradoxe de Russell, et qui regorge d'anomalies intéressantes. L'idée de base de Quine est d'introduire un axiome de compréhension stratifié. En effet, l'axiome bloque la circularité en introduisant une hiérarchie (ou stratification) qui est similaire à la théorie des types à certains égards, et différente à d'autres. (Les détails peuvent être trouvés dans l'entrée sur les nouvelles fondations de Quine.)

Contrairement aux stratégies de Zermelo, von Neumann et Quine, qui sont en un sens purement théoriques, il y a également eu des tentatives pour éviter le paradoxe de Russell en modifiant la logique sous-jacente. Il y a eu beaucoup de tentatives de ce type et nous ne les passerons pas toutes en revue, mais l'une se distingue comme étant, pour le moment, à la fois radicale et assez populaire (mais pas avec les théoriciens des ensembles en soi): c'est l'approche paraconsistante, qui limite effet d'une contradiction isolée sur toute une théorie. La logique classique exige que toute contradiction banalise une théorie en rendant chaque phrase de la théorie prouvable. En effet, dans la logique classique, ce qui suit est un théorème:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Maintenant, pratiquement le seul moyen d'éviter l'EFQ est d'abandonner le syllogisme disjonctif, c'est-à-dire, étant donné les définitions habituelles des connecteurs, modus ponens! Donc, modifier la logique sententielle de base de cette manière est en effet radical - mais possible. Malheureusement, même abandonner EFQ ne suffit pas pour conserver un semblant de NC. Il faut également renoncer au théorème supplémentaire suivant de la logique sententielle de base:

(Contraction) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

On peut alors soutenir que la NC conduit directement, non seulement à une contradiction isolée, mais à la trivialité. (Pour l'argument selon lequel il en est ainsi, voir l'entrée sur le paradoxe de Curry, section 2.2. Notez également qu'il ne suffit pas de conserver simplement le nom «modus ponens», c'est la règle elle-même qui se modifie dans les logiques non traditionnelles.) Ainsi, il semble que les malheurs de NC ne se limitent pas au paradoxe de Russell, mais incluent également un paradoxe sans négation dû à Curry.

Une autre suggestion pourrait être de conclure que le paradoxe dépend d'une instance du principe du milieu exclu, que soit R est membre de R, soit il ne l'est pas. C'est un principe qui est rejeté par certaines approches non classiques de la logique, y compris l'intuitionnisme. Cependant, il est possible de formuler le paradoxe sans faire appel au Moyen Exclu en s'appuyant plutôt sur la Loi de Non-contradiction. Nous procédons comme suit: Étant donné la définition de R, il s'ensuit que R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Donc R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Mais on sait aussi que R ∈ R ⊃ R ∈ R. Donc R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Mais par la loi de non-contradiction, nous savons que ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Donc, par modus tollens, nous concluons que ~ (R ∈ R). En même temps on sait aussi que puisque R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), il s'ensuit que ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, et donc que R ∈ R. Nous pouvons donc déduire à la fois R ∈ R et sa négation en utilisant uniquement des méthodes acceptables d'un point de vue intutioniste.

Il semble donc que les tenants des logiques non classiques ne peuvent pas prétendre avoir conservé la NC dans un sens significatif, autre que la préservation de la forme purement syntaxique du principe, et ni l'intuitionnisme ni la paraconsistance plus l'abandon de la contraction n'offriront un avantage sur la solutions non typées de Zermelo, von Neumann ou Quine. (Une discussion plus approfondie peut être trouvée dans Meyer, Routley et Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, ch.18), Weber (2010), Weber (2012) et dans les articles sur le paradoxe de Curry (sec. 2.2) et logique paraconsistante (sec.2.3).)

Il est également intéressant de noter que le paradoxe de Russell n'était pas le seul paradoxe qui a troublé Russell et, par conséquent, pas la seule motivation pour les restrictions de type que l'on trouve dans Principia Mathematica. Dans ses travaux antérieurs, The Principles of Mathematics, Russell consacre un chapitre à «la contradiction» (le paradoxe de Russell), la présentant sous plusieurs formes et rejetant plusieurs réponses non initiales. Il signale ensuite qu'il discutera «prochainement» de la doctrine des types. Cela ne se produit pas avant plusieurs centaines de pages, jusqu'à ce que nous atteignions la toute fin du livre, à l'annexe B! Russell y présente une théorie naissante et simple des types, et non la théorie des types que nous trouvons dans Principia Mathematica. Pourquoi la dernière théorie était-elle nécessaire? La raison en est que dans l'annexe B, Russell présente également un autre paradoxe qui, selon lui, ne peut être résolu au moyen de la simple théorie des types. Ce nouveau paradoxe concerne les propositions, non les classes, et il, avec les paradoxes sémantiques, a conduit Russell à formuler sa version ramifiée de la théorie des types.

La nouvelle version propositionnelle du paradoxe n'a pas figuré en bonne place dans le développement ultérieur de la logique et de la théorie des ensembles, mais elle a énormément intrigué Russell. D'une part, cela semble contredire le théorème de Cantor. Russell écrit: «Nous ne pouvons admettre qu'il y ait plus de gammes [de classes de propositions] que de propositions» (1903, 527). La raison en est qu'il semble y avoir des corrélations simples et individuelles entre les classes de propositions et les propositions. Par exemple, la classe m de propositions peut être corrélée avec la proposition que toute proposition de m est vraie. Ceci, combiné à un principe fin d'individuation des propositions (affirmant, d'une part, que si les classes m et n des propositions diffèrent, alors toute proposition sur m différera de toute proposition sur n) conduit à la contradiction.

Il y a eu relativement peu de discussions sur ce paradoxe, bien qu'il ait joué un rôle clé dans le développement de la logique du sens et de la dénotation de l'Église. Bien que nous ayons le choix entre plusieurs théories d'ensemble, nous n'avons rien de comparable à une théorie bien développée des propositions russelliennes, bien que de telles propositions soient au cœur des vues de Millians et des théoriciens de la référence directe. On pourrait penser qu'une telle théorie serait nécessaire pour les fondements de la sémantique, sinon pour les fondements des mathématiques. Ainsi, alors que l'un des paradoxes de Russell a conduit au développement fructueux des fondements des mathématiques, son «autre» paradoxe n'a pas encore abouti à quelque chose de très similaire dans les fondements de la sémantique. Être sûr,Church (1974a) et Anderson (1989) ont tenté de développer une logique intensionelle russellienne basée sur la théorie ramifiée des types, mais on peut faire valoir que la théorie ramifiée est trop restrictive pour servir de base à la sémantique du langage naturel. Il y a également eu quelques tentatives récentes pour obtenir les prémices d'une logique intensionelle russellienne basée sur des théories des ensembles non typés (Cantini 2004; Deutsch 2014). Il est plutôt ironique que, bien que les propositions russelliennes à grain fin soient favorisées dans la philosophie du langage, le développement formel de la logique intensionelle soit dominé par la grammaire de Montague, avec sa théorie des propositions bien rodée. Il y a également eu quelques tentatives récentes pour obtenir les prémices d'une logique intensionelle russellienne basée sur des théories des ensembles non typés (Cantini 2004; Deutsch 2014). Il est plutôt ironique que, bien que les propositions russelliennes à grain fin soient favorisées dans la philosophie du langage, le développement formel de la logique intensionelle soit dominé par la grammaire de Montague, avec sa théorie des propositions bien rodée. Il y a également eu quelques tentatives récentes pour obtenir les prémices d'une logique intensionelle russellienne basée sur des théories des ensembles non typés (Cantini 2004; Deutsch 2014). Il est plutôt ironique que, bien que les propositions russelliennes à grain fin soient favorisées dans la philosophie du langage, le développement formel de la logique intensionelle soit dominé par la grammaire de Montague, avec sa théorie des propositions bien rodée.

Il convient également de noter qu'un certain nombre de principes apparemment purement théoriques des ensembles sont en réalité des instances (appliquées) de théorèmes de logique pure (c'est-à-dire de théorie de quantification du premier ordre avec identité)! Il en existe une liste (partielle) dans Kalish, Montague et Mar (2000). Le paradoxe de Russell est une instance de T269 dans cette liste:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

En lisant la lettre de prédicat dyadique «F» comme «est membre de», cela dit qu'il n'est pas le cas qu'il y ait ay tel que pour tout x, x soit membre de y si et seulement si x n'est pas membre de X. Cela signifie-t-il que le paradoxe de Russell se réduit à T269?

Certes, la preuve de T269 distille l'essence de l'argument de Russell, son modèle de raisonnement. Mais ce schéma sous-tend également une liste interminable de «paradoxes» apparemment frivoles comme le fameux paradoxe du coiffeur qui rase tout et seulement ceux qui ne se rasent pas ou, de même, le paradoxe du Dieu bienveillant mais efficace qui aide tous et seulement ceux qui ne s'aident pas.

En quoi ces «pseudo paradoxes», comme on les appelle parfois, diffèrent, voire pas du tout, du paradoxe de Russell? Le modèle de raisonnement est le même et la conclusion - qu'il n'y a pas de tel Barbier, pas de Dieu efficace, pas de tel ensemble d'ensembles non auto-membres - est la même: de telles choses n'existent tout simplement pas. (Cependant, comme l'a montré von Neumann, il n'est pas nécessaire d'aller tout à fait aussi loin. La méthode de Von Neumann nous enseigne non pas que des choses telles que R n'existent pas, mais simplement que nous ne pouvons pas en dire grand-chose, dans la mesure où R et autres ne peuvent pas tombent dans l'extension de tout prédicat qualifié de classe.)

La réponse standard à cette question est que la différence réside dans le sujet. Quine demande: «pourquoi [le paradoxe de Russell] compte-t-il comme une antinomie et le paradoxe du barbier non?»; et il répond: «La raison en est qu'il y a eu dans nos habitudes de pensée une présomption écrasante de l'existence d'une telle classe, mais aucune présomption de l'existence d'un tel coiffeur» (1966, 14). Même ainsi, le discours psychologique sur les «habitudes de pensée» n'est pas particulièrement éclairant. Plus précisément, le paradoxe de Russell soulève sensiblement la question de savoir quels ensembles existent; mais il est absurde de se demander, pour des raisons telles que T269, quels barbiers ou dieux il y a!

Ce verdict n'est cependant pas tout à fait juste pour les fans du Barber ou du T269 en général. Ils insisteront sur le fait que la question soulevée par T269 n'est pas de savoir quels sont les barbiers ou les dieux, mais plutôt quels sont les objets non paradoxaux. Cette question est pratiquement la même que celle soulevée par le paradoxe de Russell lui-même. Ainsi, de ce point de vue, la relation entre le paradoxe de Barber et Russell est beaucoup plus étroite que beaucoup (à la suite de Quine) ont été disposés à le permettre (Salmon 2013).

Nous notons qu'il existe une formule logique du premier ordre qui a le même rapport avec le principe des R B que T269 porte au paradoxe de Russell. C'est le suivant:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Nous avons pris la liberté d'étendre la numérotation utilisée dans Kalish, Montague et Mar (2000) à T273.) Mais tous les paradoxes de la théorie des ensembles ne sont pas liés de la même manière aux théorèmes logiques du premier ordre. Le paradoxe Burali-Forti en est un exemple, puisque la notion de bien ordonner n'est pas élémentaire; c'est-à-dire qu'il n'est pas définissable de premier ordre.

Le paradoxe de Russell n'a jamais été dépassé, mais récemment, il y a eu une explosion d'intérêt de la part des chercheurs impliqués dans la recherche en logique mathématique et dans les études philosophiques et historiques de la logique moderne. Un coup d'œil sur le contenu du volume de 2004 Cent ans du paradoxe de Russell montre d'éminents logiciens et historiens de la logique mathématique et philosophique se déversant sur le paradoxe, proposant de nouvelles voies pour retourner au paradis de Cantor, ou d'autres moyens de résoudre le problème. Leurs recherches incluent des voies radicalement nouvelles pour sortir du dilemme posé par le paradoxe, de nouvelles études sur les théories des types (simples et ramifiées, et leurs extensions), de nouvelles interprétations du paradoxe de Russell et des théories constructives, du paradoxe des propositions de Russell et des siennes propres. tentative d'une théorie non typée (la théorie de la substitution), et ainsi de suite.

Tout cela nous rappelle qu'un travail fructueux peut naître des observations les plus improbables. Comme Dana Scott l'a dit, «Il faut comprendre dès le départ que le paradoxe de Russell ne doit pas être considéré comme un désastre. Elle et les paradoxes associés montrent que la notion naïve de collections tout compris est intenable. C'est un résultat intéressant, sans aucun doute »(1974, 207).

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