Frontière

Table des matières:

Frontière
Frontière

Vidéo: Frontière

Vidéo: Frontière
Vidéo: Expliquez-moi... Les frontières 2024, Mars
Anonim

Ceci est un fichier dans les archives de l'Encyclopédie de Stanford de Philosophie.

Frontière

Publié pour la première fois le 9 février 2004; révision de fond sam 29 mars 2008

Nous pensons à une frontière chaque fois que nous pensons à une entité délimitée de son environnement. Il y a une frontière (une surface) délimitant l'intérieur d'une sphère de son extérieur; il y a une frontière (une frontière) séparant le Maryland et la Pennsylvanie. Parfois, l'emplacement exact d'une frontière n'est pas clair ou controversé (comme lorsque vous essayez de tracer les marges du mont Everest, ou même la limite de votre propre corps). Parfois, la frontière est biaisée par rapport à une discontinuité physique ou une différenciation qualitative (comme avec la frontière du Wyoming, ou la limite entre les moitiés supérieure et inférieure d'une sphère homogène). Mais qu'il soit net ou flou, naturel ou artificiel, pour chaque objet, il semble y avoir une frontière qui le distingue du reste du monde. Les événements aussi ont des limites - au moins des limites temporelles. Nos vies sont limitées par nos naissances et par nos morts; le match de football a commencé à 15 heures précises et s'est terminé par le coup de sifflet final de l'arbitre à 16 h 45. Et il est parfois suggéré que les entités abstraites, telles que les concepts ou les ensembles, ont leurs propres limites. Cependant, si tout ce discours sur les limites est cohérent et s'il reflète la structure du monde ou l'activité organisatrice de notre intellect, sont des sujets de profonde controverse philosophique.sont des sujets de profonde controverse philosophique.sont des sujets de profonde controverse philosophique.

  • 1. Problèmes

    • 1.1 Limites détenues et non détenues
    • 1.2 Limites naturelles et artificielles
    • 1.3 Limites nettes ou vagues
    • 1.4 Limites sans corps ou encombrantes
  • 2. Théories

    • 2.1 Théories réalistes
    • 2.2 Théories éliminativistes
  • Annexe: Un bouquet de citations
  • Bibliographie
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. Problèmes

Euclide a défini une frontière comme «ce qui est une extrémité de quoi que ce soit» (Éléments Bk I, Df 13), et Aristote l'a précisé en définissant l'extrémité d'une chose x comme «la première chose en dehors de laquelle aucune partie [de x] doit être trouvée, et la première chose à l'intérieur de laquelle chaque partie [de x] doit être trouvée. " (Métaphysique 1022 a) Cette définition est assez intuitive et peut être considérée comme le point de départ naturel de toute enquête sur le concept de frontière. En effet, bien que la définition d'Aristote ne visait qu'à s'appliquer aux objets matériels, elle s'applique intuitivement aussi bien aux événements (dans la mesure où ils ont une structure méréologique) et par extension aussi aux entités abstraites telles que les concepts et les ensembles (comparez la notion topologiquement standard de la frontière d'un ensemble x comme l'ensemble de ces points dont tous les voisinages croisent à la fois x et le complément de x.) A première vue, cependant, cette caractérisation intuitive est la source de plusieurs énigmes qui justifient une préoccupation philosophique, en particulier en ce qui concerne les limites des particularités spatio-temporelles telles que les objets et les événements.

1.1 Limites détenues et non détenues

Le premier type d'énigme concerne l'intuition qu'une frontière sépare deux entités (ou deux parties de la même entité), qui sont dites continues l'une avec l'autre. Imaginez-vous voyager du Maryland à la Pennsylvanie. Que se passe-t-il lorsque nous franchissons la ligne Mason-Dixon? Passons-nous par un dernier point p dans le Maryland et un premier point q en Pennsylvanie? Clairement non, étant donné la densité du continuum; car alors nous devrions admettre un nombre infini de points supplémentaires entre p et q qui ne seraient dans aucun des États. Mais, tout aussi clairement, nous pouvons difficilement reconnaître l'existence d'un seul de p et q, comme le veut le traitement mathématique standard du continuum; cela reviendrait à assigner la frontière entre les deux États à un seul des États,et l'un ou l'autre choix équivaudrait à un privilège particulier d'un État sur l'autre. Et nous ne pouvons pas non plus identifier p avec q, car nous parlons de deux États adjacents, donc leurs territoires ne peuvent avoir aucune partie en commun. Alors, où est la ligne Mason-Dixon, et comment se rapporte-t-elle aux deux entités adjacentes qu'elle sépare?

Le puzzle n'est pas spécifique à cet exemple. Considérez la propre énigme d'Aristote sur le mouvement: au moment où un objet cesse de bouger, est-il en mouvement ou est-il au repos? (Physique VI, 234a et suiv.) Ou considérez le dilemme soulevé par Léonard dans ses Cahiers: qu'est-ce qui sépare l'atmosphère de l'eau? Est-ce de l'air ou de l'eau? (1938: 75-76). Ou, encore une fois, considérez le puzzle de Peirce: De quelle couleur est la ligne de démarcation entre une tache noire et son fond blanc? (1893: 98) On pourrait peut-être invoquer des considérations de figure / fond pour apporter une réponse dans ce dernier cas, sur la base du principe que la frontière appartient toujours à la figure - l'arrière-plan est topologiquement ouvert (Jackendoff 1987, Annexe B). Mais qu'est-ce que la figure et qu'est-ce que le sol quand il s'agit de deux moitiés adjacentes de la tache noire? Qu'est-ce que la figure et qu'est-ce que le terrain quand il s'agit du Maryland et de la Pennsylvanie? Que se passe-t-il lorsque nous plongeons dans l'eau? Dans de tels cas, l'intuition n'a pas de compte simple à offrir. Pourtant, on peut difficilement nier que ces questions définissent des choix importants à faire par toute théorie des frontières - ou toute théorie basée sur les frontières du monde des entités spatio-temporelles étendues.

1.2 Limites naturelles et artificielles

Une deuxième sorte d'énigme concerne le fait que la définition méréologique d'Aristote (et l'intuition de bon sens qu'elle capte) ne semble s'appliquer qu'à un domaine d'entités continues. Modulo la difficulté mentionnée ci-dessus, l'idée que le Maryland et la Pennsylvanie sont délimités par la ligne Mason-Dixon est assez juste. Mais les objets matériels ordinaires - on pourrait le constater - ne sont pas à proprement parler continus (ou denses) et parler de la frontière d'un objet revient à parler du «sommet plat» d'un lit de clous de fakir (Simons 1991: 91). En y regardant de plus près, les limites spatiales des objets physiques sont des entités imaginaires entourant des essaims de particules subatomiques,et leur forme et leur emplacement exacts impliquent le même degré d'arbitraire que ceux d'un graphe mathématique lissé à partir de données éparses et inexactes (ou celles des figures d'une peinture impressionniste). De même, en y regardant de plus près, l'être en mouvement d'un corps revient au fait que la somme vectorielle des mouvements de zillions de particules agitées, moyennée dans le temps, est non nulle, donc cela n'a aucun sens de parler de l'instant auquel un corps s'arrête de bouger (Galton 1994: 4). La question se pose donc: les frontières sont-elles des entités imaginaires - des projections de l'esprit - ou sont-elles de véritables habitants de la réalité?il est donc insensé de parler de l'instant auquel un corps cesse de bouger (Galton 1994: 4). La question se pose donc: les frontières sont-elles des entités imaginaires - des projections de l'esprit - ou sont-elles de véritables habitants de la réalité?il est donc insensé de parler de l'instant auquel un corps cesse de bouger (Galton 1994: 4). La question se pose donc: les frontières sont-elles des entités imaginaires - des projections de l'esprit - ou sont-elles de véritables habitants de la réalité?

Même en référence à la ligne Mason-Dixon - et, plus généralement, à ces frontières qui délimitent les parties adjacentes d'une variété continue, comme lorsqu'un agent cognitif individuel conceptualise une tache noire comme étant composée de deux moitiés - on peut se poser la question de leur statut ontologique. Ces frontières reflètent à des degrés divers l'activité organisatrice de notre intellect ou de nos pratiques sociales. Et on pourrait soutenir que la croyance en leur objectivité incarne une forme de réalisme métaphysique qui réclame une justification. Nous pouvons, à cet égard, introduire une distinction conceptuelle entre les frontières naturelles ou de bonne foi, qui sont fondées sur une certaine discontinuité physique ou une hétérogénéité qualitative entre une entité et son environnement, et des frontières artificielles ou fiat, qui ne sont pas si ancrées dans l'autonomie,monde indépendant de l'esprit (Smith 1995). Les frontières géopolitiques telles que la ligne Mason-Dixon sont du type fiat, et il se peut bien que même les surfaces d'objets matériels ordinaires tels que les tables ou les balles de tennis impliquent, à y regarder de plus près, des articulations fiat d'une certaine sorte. La question est donc: y a-t-il des limites de bonne foi? Et, sinon, la nature fiat de notre discours sur les frontières est-elle une raison pour justifier une attitude anti-réaliste à l'égard des frontières? (Comparez également comment le problème se pose dans le domaine des entités abstraites: y a-t-il des concepts qui sculpter le monde «aux articulations», selon la recette de Platon dans le Phaedrus 265e?)à y regarder de plus près, des articulations fiat de quelque sorte. La question est donc: y a-t-il des limites de bonne foi? Et, sinon, la nature fiat de notre discours sur les frontières est-elle une raison pour justifier une attitude anti-réaliste à l'égard des frontières? (Comparez également comment le problème se pose dans le domaine des entités abstraites: y a-t-il des concepts qui sculpter le monde «aux articulations», selon la recette de Platon dans le Phaedrus 265e?)à y regarder de plus près, des articulations fiat de quelque sorte. La question est donc: y a-t-il des limites de bonne foi? Et, sinon, la nature fiat de notre discours sur les frontières est-elle une raison pour justifier une attitude anti-réaliste à l'égard des frontières? (Comparez également comment le problème se pose dans le domaine des entités abstraites: y a-t-il des concepts qui sculpter le monde «aux articulations», selon la recette de Platon dans le Phaedrus 265e?)

En outre, une fois que l'opposition fiat / véritable a été reconnue, il est clair qu'elle peut également être établie en relation avec des objets et des événements entiers (Smith e Varzi 2000, Smith 2001). Dans la mesure où (une partie de) la frontière d'un tout est de type fiat, le tout lui-même peut être vu comme une construction conceptuelle, d'où la question du statut ontologique des frontières devient d'un morceau avec la question plus générale du statut conventionnel d'objets et d'événements ordinaires (Heller 1990). Cela ne veut pas dire que nous nous retrouvons avec des ensembles imaginaires ou irréels: comme l'a écrit Frege, l'objectivité de la mer du Nord «n'est pas affectée par le fait qu'il s'agit de notre choix arbitraire de savoir quelle partie de toute l'eau sur le la surface de la terre que nous délimitons et choisissons d'appeler la «mer du Nord» »(1884, §26). Il fait, cependant,s'ensuit que les entités en question ne jouiraient d'une individualité que du fait de notre fiat, comme les cookies taillés dans la grosse pâte: leur objectivité est indépendante, mais leur individualité - elles sont ce qu'elles sont, peut-être même qu'elles ont l'identité et conditions de persistance dont ils disposent - dépend de l'action du boulanger.

1.3 Limites nettes ou vagues

Un troisième casse-tête concerne l'imprécision. La définition d'Aristote (ainsi que la topologie standard) suggère qu'il y a toujours une démarcation nette entre l'intérieur et l'extérieur d'une chose. Pourtant, on peut observer que les objets et événements ordinaires, ainsi que les extensions de nombreux concepts ordinaires, peuvent avoir des limites qui sont en un certain sens floues ou indéterminées. Les nuages, les déserts, les montagnes, sans parler des figures d'une peinture impressionniste, semblent tous échapper à la notion idéalisée d'un objet aux limites brusques. De même, les limites temporelles de nombreux événements (sans parler de leurs limites spatiales) semblent indéterminées. Quand exactement la révolution industrielle a-t-elle commencé? Quand cela s'est-il terminé? (Où cela s'est-il passé?) Et il est certain que les concepts correspondant à des prédicats tels que «chauve» ou «grand» ne possèdent pas de frontières nettes; comme Frege l'a dit,à de tels concepts, il semble correspondre «une zone qui n’a pas une ligne de démarcation nette tout autour, mais qui par endroits s’évanouit vaguement dans l’arrière-plan» (1903: §56)

Comment interpréter un tel flou? Une option est d'insister sur un récit purement épistémique: le flou résiderait exclusivement dans notre ignorance de l'emplacement exact des frontières pertinentes (Sorensen 1988, Williamson 1994). Alternativement, on peut distinguer ici un compte de re et un compte de dicto. En fait, le flou est vraiment ontologique; la limite du mont Everest (disons) serait vague dans la mesure où il n'y a pas de fait objectif et déterminé de la question de savoir quelles parcelles de terrain se trouvent de quel côté (Tye 1990; Copeland 1995). De même, pour ce compte, un prédicat tel que «chauve» serait vague car il représente un ensemble vague, un ensemble avec des limites vraiment floues. En revanche, le récit de dicto correspond à une notion purement linguistique (ou conceptuelle) du flou. Il n'y a pas de frontière vague délimitant le mont Everest sur cette vue; au contraire, il existe de nombreuses parcelles de terre distinctes, chacune avec une frontière précise, mais nos pratiques linguistiques n'ont imposé le choix d'aucune d'entre elles comme référent officiel du nom «Everest» (Lewis 1986; McGee 1997). De même, selon ce point de vue, l'ensemble des personnes chauves n'a pas de frontière floue; au contraire, nos stipulations linguistiques ne spécifient pas complètement quel groupe de personnes correspond à l'extension de «chauve». Pour les frontières de la sorte fiat, un compte de dicto se suggère naturellement: dans la mesure où le processus conduisant à la définition d'une frontière peut ne pas être précis, la question de savoir si quelque chose se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur de la frontière peut être sémantiquement indéterminée. Mais ce récit ne cadre pas bien avec les limites du genre de bonne foi (le cas échéant);si une telle frontière était vague, elle le serait indépendamment de nos articulations cognitives ou sociales, donc un compte de re semble être nécessaire, ce qui signifie qu'il y aurait une véritable indétermination mondaine.

1.4 Limites sans corps ou encombrantes

Une quatrième source de préoccupation concerne l'intuition, implicite dans la définition d'Aristote, selon laquelle les frontières sont des entités de dimension inférieure, c'est-à-dire qu'elles ont au moins une dimension de moins que les entités qu'elles relient. La surface d'une sphère (continue), par exemple, est bidimensionnelle (elle n'a pas de «substance» ou de «volume divisible»), la ligne Mason-Dixon est unidimensionnelle (elle a une «longueur» mais pas de «largeur»), et un point limite tel que le sommet d'une pyramide est de dimension zéro (il ne s'étend dans aucune direction). Cette intuition est pertinente pour une grande partie de ce que nous disons habituellement sur les frontières. Mais elle est problématique dans la mesure où elle contraste avec plusieurs intuitions indépendantes qui relèvent à la fois du bon sens et de la théorisation philosophique. Par exemple,il y a une tradition permanente en épistémologie (de Moore 1925 à Gibson 1979) selon laquelle les frontières jouent un rôle crucial dans la perception: nous voyons indirectement les objets physiques (opaques) en voyant leurs surfaces. Mais il n'est pas clair comment on peut voir des entités qui manquent de volume physique. De même, nous parlons souvent de surfaces comme de choses qui peuvent être piquées, ou humides, ou qui peuvent être rayées, polies, poncées, etc., et il n'est pas clair si de tels prédicats peuvent être appliqués à des entités immatérielles. Dans de tels cas, il semblerait plutôt que les surfaces (et les limites plus généralement; voir Jackendoff 1991) doivent être interprétées comme des «couches minces» qui sont schématisées comme ayant moins de dimensions que les ensembles auxquels elles s'appliquent. Mais il n'est pas clair comment on peut voir des entités qui manquent de volume physique. De même, nous parlons souvent de surfaces comme de choses qui peuvent être piquées, ou humides, ou qui peuvent être rayées, polies, poncées, etc., et il n'est pas clair si de tels prédicats peuvent être appliqués à des entités immatérielles. Dans de tels cas, il semblerait plutôt que les surfaces (et les limites plus généralement; voir Jackendoff 1991) doivent être interprétées comme des «couches minces» qui sont schématisées comme ayant moins de dimensions que les ensembles auxquels elles s'appliquent. Mais il n'est pas clair comment on peut voir des entités qui manquent de volume physique. De même, nous parlons souvent de surfaces comme de choses qui peuvent être piquées, ou humides, ou qui peuvent être rayées, polies, poncées, etc., et il n'est pas clair si de tels prédicats peuvent être appliqués à des entités immatérielles. Dans de tels cas, il semblerait plutôt que les surfaces (et les limites plus généralement; voir Jackendoff 1991) doivent être interprétées comme des «couches minces» qui sont schématisées comme ayant moins de dimensions que les ensembles auxquels elles s'appliquent.voir Jackendoff 1991) doivent être interprétées comme des «couches minces» schématisées comme ayant moins de dimensions que les ensembles auxquels elles s'appliquent.voir Jackendoff 1991) doivent être interprétées comme des «couches minces» schématisées comme ayant moins de dimensions que les ensembles auxquels elles s'appliquent.

On peut soutenir que cette tension conceptuelle entre les frontières comprises comme des entités de dimension inférieure et les frontières comprises comme des couches minces reflète une ambiguïté irréductible dans le discours ordinaire (Stroll 1979, 1988). Et, sans doute, ce n'est que la première conception qui donne lieu aux énigmes décrites dans les sections précédentes; les frontières volumineuses peuvent être traitées comme des parties ordinaires propres des corps qu'elles lient. Pourtant, il ne fait aucun doute qu'une théorie générale des frontières devrait également avoir quelque chose à dire sur la deuxième conception - et plus généralement sur l'interaction entre l'idéalisation mathématique associée à la première conception et la signification physique, cognitive et philosophique de la seconde.. (Galton 2007)

2. Théories

Les frontières sont donc, d'une part, au cœur de l'image de bon sens du monde et pourtant, d'autre part, profondément problématiques. On peut ainsi distinguer deux grandes sortes de théories, selon que l'on est prêt à prendre les problèmes au pied de la lettre (théories réalistes) ou à les contourner complètement, en traitant les frontières comme de simples façons de parler (théories éliminativistes).

2.1 Théories réalistes

La plupart des théories réalistes sur les frontières, interprétées comme des entités de dimension inférieure, partagent l'idée que de telles entités sont des parasites ontologiques. Les frontières ne peuvent pas exister isolément des entités qu'elles lient, bien qu'il puisse y avoir un désaccord sur le point de savoir si cette dépendance ontologique est générique (une frontière ne peut exister qu'en tant que frontière de quelque chose) ou spécifique (la frontière de quelque chose ne peut exister qu'en tant que frontière de cette chose) (Brentano 1976; Chisholm 1984). Ce point de vue rend justice à l'intuition que les frontières, si elles sont réelles, sont quelque peu «moins réelles» que les entités volumineuses. Les théories réalistes peuvent toutefois différer considérablement en ce qui concerne la relation entre ces entités dépendantes de dimension inférieure et les entités étendues qu'elles lient (Varzi 1997). Ainsi, en référence au premier puzzle de la section 1,soit A et B deux entités étendues quelconques séparées par une frontière commune (comme le Maryland et la Pennsylvanie). Ensuite, nous pouvons distinguer quatre théories principales:

  1. La frontière ne peut appartenir ni à A ni à B. C'était, en fin de compte, l'opinion de Léonard, bien qu'elle ne trouve pas beaucoup de soutien parmi les philosophes récents (peut-être à l'exception de Hestevold 1986 et, dans certaines limites, Sorensen 1986). Cela implique que le contact peut s'établir entre A et B même si A et B sont topologiquement ouverts, tant que rien ne se trouve entre eux sauf pour leur frontière extérieure commune (c'est-à-dire tant que la fermeture de A chevauche la fermeture de B). Ainsi, de ce point de vue, il n'y a pas de dernier point p du Maryland et pas de premier point q de Pennsylvanie: les États de l'Union n'épuisent pas, à proprement parler, tout le territoire.
  2. La frontière doit appartenir soit à A, soit à B, même si elle peut être indéterminée à laquelle de A et B elle appartient. Cette théorie s'appuie sur la vision de Bolzano (1851), qui à son tour est reflétée par le compte rendu standard de la topologie par ensembles de points. Cela implique que le contact ne peut avoir lieu entre A et B que si A ou B est topologiquement fermé tandis que l'autre est topologiquement ouvert dans la zone de contact pertinente; mais l'appel à l'indétermination permet de laisser la question en suspens. Cette indétermination, à son tour, peut être interprétée comme sémantique ou épistémique, selon que la frontière pertinente est de type fiat, comme avec la ligne Mason-Dixon, ou de type véritable (pour un traitement formel de cette théorie, voir Casati et Varzi 1999, Ch.5, et Varzi 2007, §2.4.1).
  3. La frontière peut appartenir à la fois à A et à B, mais le chevauchement pertinent est sui generis précisément dans la mesure où il implique des parties de dimension inférieure. Les frontières ne prennent pas de place et donc, selon cette théorie, il n'est pas invraisemblable de dire que (par exemple) la ligne Mason-Dixon appartient à la fois au Maryland et à la Pennsylvanie. Dans certains cas, cependant, cette théorie peut exiger une morsure dialéthique de la balle (Priest 1987). En référence au puzzle de Peirce, par exemple, si la ligne de démarcation entre une tache noire et son fond blanc appartient aux deux, alors elle doit être à la fois blanche et noire. Une solution serait de nier que les frontières, en tant que dimension inférieure, puissent bénéficier du même type de propriétés qui caractérisent les corps étendus, telles que les propriétés de couleur (Galton 2003: 167f). On ne sait cependant pas si cette stratégie peut être généralisée. Par exemple,une dialetheia semblerait refaire surface en référence à l'énigme d'Aristote: au moment où un objet (homogène) subit la transition de l'état stationnaire au mouvement, il doit être à la fois stationnaire et en mouvement.
  4. Il peut vraiment y avoir deux limites, l'une appartenant à A et l'autre appartenant à B, et ces deux limites seraient co-localisées - c'est-à-dire qu'elles coïncideraient spatialement sans se chevaucher de manière méréologique. Ce point de vue remonte à Brentano (1976) et a été élaboré en détail par Chisholm (1984, 1992/1993). Elle permet de rejeter la distinction entre entités fermées et ouvertes (que Brentano considérait comme «monstrueuses»), traitant tous les corps étendus comme fermés. Dans le cas des corps matériels, la coïncidence spatiale de leurs frontières équivaudrait à une violation du principe de Locke d'un objet à un lieu (Essais, II-xxvii-1) mais, encore une fois, la violation serait sui generis précisément dans la mesure où le les entités en question ne prennent aucun espace (pour un traitement formel de cette théorie, voir aussi Smith 1997).

Ces théories s'excluent mutuellement, mais elles n'ont pas besoin d'être exhaustives et peuvent être davantage articulées ou intégrées pour résoudre les problèmes soulevés par les autres énigmes de la section 1. Par exemple, en référence au deuxième casse-tête (section 1.2), Smith et Varzi (2000) ont une théorie à double interdiction qui est de type (2) en ce qui concerne les limites de bonne foi et de type (4) en ce qui concerne les limites fiduciaires. (Il n'y a donc pas de coïncidence de frontières réelles mais simplement d'articulations fiat.) De même, l'hypothèse d'indétermination prônée par les théories de type (2) peut être considérée comme étant d'une pièce avec le genre d'indétermination qui est impliqué dans le phénomène de l'imprécision. (Section 1.3). Pour les limites fiat, par exemple, un compte de dicto peut être appliqué dans les deux cas: les déclarations sur ces limites sont vraies ssi elles sont super-vraies, c'est-à-dire,vrai dans toutes les manières admissibles de préciser les articulations fiduciaires pertinentes (Varzi 2001 et les références y figurant).

2.2 Théories éliminativistes

Les théories éliminativistes s'éloignent de l'idée que parler de frontières implique une sorte d'abstraction - une idée que l'on retrouve déjà dans le débat médiéval et moderne sur l'anti-indivisibilisme (Zimmerman 1996, Holden 2004). De quelle sorte d'abstraction s'agit-il? Et comment pouvons-nous expliquer notre discours ordinaire (et mathématique) sur les limites si celles-ci doivent être expliquées comme des abstractions fictives? Avec une référence particulière aux limites des particularités spatio-temporelles, nous pouvons distinguer deux approches principales.

  1. Les substantivalistes de l'espace-temps peuvent voir l'abstraction comme découlant de la relation entre un particulier et son réceptacle spatio-temporel, s'appuyant sur la topologie de l'espace-temps pour rendre compte de notre discours sur les limites lorsqu'il s'agit d'autres entités. Il a été considéré, par exemple, que les corps sont le contenu matériel de régions ouvertes (régulières) de l'espace, le contact de frontière entre les corps s'expliquant en termes de chevauchement entre les fermetures de leurs réceptacles. Cette théorie remonte à Descartes (Principes 2.xv) et a été explicitement articulée par Cartwright (1975). Il donne, certes, un récit hybride, un récit qui ne supprime que les frontières des corps matériels (et, par extension, des événements); leurs réceptacles sont soumis à une topologie standard dans laquelle les limites sont traitées selon la théorie (2) ci-dessus. Mais ce compte est suffisant pour contourner les énigmes mentionnées ci-dessus dans la mesure où il n'y a pas de problème pressant à supposer une topologie standard pour l'espace-temps. Le principal problème de la théorie est plutôt de justifier l'affirmation selon laquelle seules certaines régions (régions régulières ouvertes, par exemple) sont des réceptacles. (Voir Hudson 2002 pour une remise en question de ce point de vue.) D'un autre côté, il existe des théories plus radicales, non hybrides, qui se passent de frontières également en ce qui concerne la structure de l'espace-temps (l'instance la plus influente est la soi-disant Calcul RCC de Randell, Cui et Cohn 1992). À l'heure actuelle, cependant, l'interprétation de telles théories reste une question philosophique ouverte.pour justifier l'affirmation selon laquelle seules certaines régions (régions régulières ouvertes, par exemple) sont des réceptacles. (Voir Hudson 2002 pour une remise en question de ce point de vue.) D'un autre côté, il existe des théories plus radicales, non hybrides, qui se passent de frontières également en ce qui concerne la structure de l'espace-temps (l'instance la plus influente est la soi-disant Calcul RCC de Randell, Cui et Cohn 1992). À l'heure actuelle, cependant, l'interprétation de telles théories reste une question philosophique ouverte.pour justifier l'affirmation selon laquelle seules certaines régions (régions régulières ouvertes, par exemple) sont des réceptacles. (Voir Hudson 2002 pour une remise en question de ce point de vue.) D'un autre côté, il existe des théories plus radicales, non hybrides qui se passent de frontières également en ce qui concerne la structure de l'espace-temps (l'instance la plus influente est la soi-disant Calcul RCC de Randell, Cui et Cohn 1992). À l'heure actuelle, cependant, l'interprétation de telles théories reste une question philosophique ouverte.cependant, l'interprétation de telles théories reste une question philosophique ouverte.cependant, l'interprétation de telles théories reste une question philosophique ouverte.
  2. Si l'on n'est pas substantivaliste de l'espace et / ou du temps, on peut décrire l'abstraction comme invoquant l'idée de couches toujours plus minces de l'entité délimitée (Stroll 1979: 279). La meilleure formulation de cette idée est la théorie de Whitehead de «l'abstraction extensive» (1916, 1919), qui à son tour remonte au moins à Lobachevskii (1835/1938). (Des formulations alternatives peuvent être trouvées dans Tarski 1929, Menger 1940 et Clarke 1985 entre autres.) Pour cette raison, les éléments de frontière ne sont pas inclus parmi les entités primaires, qui ne comprennent que des corps étendus, mais ils sont néanmoins récupérés en tant qu'entités d'ordre supérieur, à savoir. comme classes d'équivalence de séries convergentes de corps imbriqués. Par exemple, la série de toutes les sphères concentriques incluses dans une sphère donnée converge vers le point au centre,la série de tous les cylindres droits concentriques de même longueur inclus dans un cylindre donné converge vers la ligne axiale, et ainsi de suite. Appelez une série convergente de ce type une classe abstractive ssi elle n'a pas de fond, c'est-à-dire ssi aucun objet ne fait partie de chaque membre de la classe. Et appelez deux classes abstractives co-convergentes équivalentes ssi chaque membre de la première classe a un membre de la seconde comme partie, et vice versa. (Par exemple, une classe abstractive de sphères équivaut à la classe de tous les cubes inscrits dans les sphères, qui convergent vers le même point au centre.) Chaque élément de frontière, alors, peut être considéré comme une classe d'équivalence d'abstractive convergente classes, et on peut reconstruire un discours ordinaire sur les limites de dimension inférieure en parlant de telles entités d'ordre supérieur. Cette approche a des analogues également dans le domaine temporel,où les instants sont parfois interprétés comme des ensembles d'intervalles de temps, qui à leur tour sont parfois interprétés comme des ensembles d'événements qui se chevauchent. (Le locus classicus est Russell 1914; voir aussi Walker 1947, Kamp 1979 et van Benthem 1983.)

Une objection standard aux théories des types (2) est que l'abstrait des frontières semble aller à l'encontre de l'abstrait des constructions de la théorie des ensembles. On peut voir et peindre la surface d'une table, et on peut même voir et peindre une série infinie de couches de plus en plus fines d'éléments de table. Mais on ne peut pas peindre l'ensemble de ces pièces (à moins bien sûr que ce ne soit simplement une autre façon de dire que les pièces sont peintes). En effet, De Laguna (1922), l'un des tout premiers sponsors de la méthode de Whitehead, a fait remarquer que l'identification de points et d'autres frontières avec des classes de solides est sujette à de sérieuses erreurs d'interprétation: «Bien que nous percevions des solides, nous ne percevons aucun ensemble abstractif de solides. […] En acceptant l'ensemble abstractif, nous allons aussi véritablement au-delà de l'expérience qu'en acceptant le solide de longueur nulle »(922: 460).

Une troisième option, alternative aux théories de type (1) et de type (2), serait un compte rendu «opérationnaliste» du type préconisé par Adams (1884, 1996), où le processus abstractif par lequel les éléments de frontière sont dérivés les observables concrets sont expliqués en termes de «tests opérationnels». On peut cependant soutenir qu'un tel récit est mieux considéré comme une histoire parallèle, qui offre une explication des connaissances empiriques concernant les frontières tout en restant finalement neutre en ce qui concerne leur statut ontologique.

Annexe: Un bouquet de citations

«Un point est ce qui n'a aucune part. Une ligne a une longueur illimitée. Les extrémités d'une ligne sont des points. […] Une surface est celle qui n'a que la longueur et la largeur. Les extrémités d'une surface sont des lignes. […] Une frontière est ce qui est une extrémité de quoi que ce soit. [Euclide, Elements, Bk I, Dfs 1-3, 5-6, 13]

«Nous appelons une limite l'extrémité de chaque chose, c'est-à-dire la première chose en dehors de laquelle aucune partie [de la chose] ne doit être trouvée, et la première chose à l'intérieur de laquelle chaque partie [de la chose] se trouve. " [Aristote, Métaphysique 1022 a]

«Il existe deux espèces d'incorporelles. Certains d'entre eux, comme Dieu et l'âme, peuvent perdurer dans leur incorporalité en dehors des sensibles. Mais d'autres, comme une ligne sans corps de sujet, sont totalement incapables d'être en dehors de la sensibilité dans laquelle ils se trouvent. [Abelard, Logica 'nostrorum petitioni sociorum' (1994: 26)]

«[L] e corps sphérique ne touche pas le corps plat principalement avec une partie qui est telle que chacune de ses parties touche le corps plat. Par conséquent, il ne le touche pas principalement avec une partie qui précède toutes les autres parties en contact. Au contraire, toute partie touchante donnée est toujours telle qu’une moitié ne touche pas immédiatement, et la moitié de cette moitié ne touche pas immédiatement, et ainsi de suite à l'infini. [Guillaume d'Ockham, Questions Quodlibétales, I, q. 9, a. 2 (1991:…)]

Les points sont des «choses complètement indivisibles», les lignes sont des «choses divisibles seulement dans une dimension» et les surfaces sont des «choses divisibles en deux dimensions». [Grégoire de Rimini, Commentaire des phrases, In secundum Sententiarum (traduction anglaise de Duhem 1913/1959: 25-26)]

«Qu'est-ce qui sépare […] l'atmosphère de l'eau? Il faut qu'il y ait une frontière commune qui ne soit ni air ni eau mais sans substance, car un corps interposé entre deux corps empêche leur contact, et cela ne se produit pas dans l'eau avec l'air. […] Par conséquent, une surface est la frontière commune de deux corps qui ne sont pas continus et ne fait partie ni de l'un ni de l'autre, car si la surface en faisait partie, elle aurait un volume divisible, alors que, cependant, elle n'est pas divisible et le néant sépare ces corps l'un de l'autre. [Léonard de Vinci, Cahiers (1938: 75-76)]

«Le vrai contact se produit dans une entité qui existe vraiment et formellement dans les choses; car le contact lui-même est réel et existe proprement et formellement dans la réalité; il se produit donc dans une entité réelle qui existe formellement dans la chose; et pourtant il se produit dans une chose indivisible; donc une telle entité indivisible existe formellement dans la chose elle-même. [Francisco Suarez, Disputationes Metaphysicae §19 (traduction anglaise de Zimmerman 1996: 160)]

«[B] y superficies, nous n'entendons ici aucune portion du corps environnant, mais simplement l'extrémité qui est entre le corps entouré et ce qui est entouré, qui n'est qu'un mode; ou […] nous entendons la surface commune qui est une surface qui ne fait pas partie d'un corps plutôt que de l'autre, et qui est toujours considérée comme la même, tant qu'elle conserve la même grandeur et la même figure. [René Descartes, Principes de philosophie, partie 2, principe XV (1911: 261)]

«[Certains] philosophes de l'École […] supposent que la nature a mélangé des points mathématiques avec les parties infiniment divisibles pour servir de connexions entre elles et pour constituer les extrémités des corps. Ils croyaient par là pouvoir également répondre à l'objection concernant le contact pénétrant de deux surfaces, mais ce subterfuge est tellement absurde qu'il ne mérite pas d'être réfuté. [Pierre Bayle, Dictionnaire historique et critique (1697: 370)]

«Je définis la limite d'un corps comme l'agrégat de tous les atomes d'éther extrêmes (äusserst) qui lui appartiennent encore. […] Un examen plus approfondi montre en outre que de nombreux corps sont à certains endroits totalement dépourvus d'atomes limitants; aucun de leurs atomes ne peut être qualifié d'extrême parmi ceux qui lui appartiennent encore et qui l'accompagneraient s'il commençait à bouger. [Deux corps sont en contact] lorsque les atomes extrêmes de l'un, […] avec certains atomes de l'autre, forment une extension continue. [Bernard Bolzano Paradoxes de l'Infini § 66 (1851: 167-68)]

«L'une des deux lignes dans lesquelles la ligne serait divisée lors de la division […] aurait un point final, mais l'autre pas de point de départ. Cette inférence a été tout à fait correctement tirée par Bolzano, qui a été conduit par là à sa monstrueuse doctrine selon laquelle il existerait des corps avec et sans surfaces, une classe en contenant autant que l'autre, car le contact ne serait possible qu'entre un corps avec un surface et un autre sans. Il aurait plutôt dû faire attirer son attention par de telles conséquences sur le fait que toute la conception de la ligne et des autres continuums comme ensembles de points va à l'encontre du concept de contact et abolit ainsi précisément ce qui fait l'essence du continuum. » [Franz Brentano, Théories nativistes, empiristes et anoétistes de notre présentation de l'espace (1976: 146)]

"Si une surface rouge et une surface bleue sont en contact l'une avec l'autre, alors une ligne rouge et une ligne bleue coïncident." [Franz Brentano, Sur ce qui est continu (1976: 41)]

«On appelle l'équateur une ligne imaginaire, mais il serait erroné de l'appeler une ligne qui n'a été que pensée. Il n'a pas été créé par la pensée à la suite d'un processus psychologique, mais est seulement appréhendé ou saisi par la pensée. Si son appréhension était une question de son apparition, alors nous ne pourrions rien dire de positif à propos de l'équateur avant que cette supposée apparaisse. [Gottlob Frege, Les fondements de l'arithmétique § 26 (1884: 35)]

«Une définition d'un concept (d'un éventuel prédicat) doit […] déterminer sans ambiguïté, à l'égard de tout objet, s'il relève ou non du concept (si le prédicat en est véritablement affirmable ou non). […] Nous pouvons exprimer cela métaphoriquement comme suit: le concept doit avoir une frontière nette. À un concept sans frontière nette correspondrait une zone qui n’avait pas de ligne de démarcation nette tout autour, mais qui, par endroits, s’était vaguement effacée dans l’arrière-plan. [Gottlob Frege, Les lois fondamentales de l'arithmétique, Vol. II, §56 (1903: 159)]

«[Nous devons faire la distinction entre la catégorie des frontières naturelles et] la catégorie des frontières artificielles, par laquelle on entend les lignes de démarcation qui, ne dépendant pas des caractéristiques naturelles de la surface de la terre pour leur sélection, ont été créées artificiellement ou arbitrairement par l'homme. » [Lord Curzon de Kedleston, Frontiers (1907: 12)].

«Si nous pouvons donner une définition des points qui les obligera à remplir une certaine paire de conditions, cela n'aura pas d'importance, bien que les points en eux-mêmes se révèlent être des entités d'un type très différent de ce que nous avions supposé être. Les deux conditions sont (i) que les points doivent avoir entre eux le genre de relations que la géométrie exige; et (ii) que les points doivent avoir avec des surfaces et des volumes finis une relation telle qu'un sens raisonnable puisse être donné à l'affirmation que ces surfaces et ces volumes peuvent être analysés de manière exhaustive en ensembles de points. » [CD Broad, Scientific Thought (1959: 39)]

«La« surface », il est vrai, est un substantif en grammaire; mais ce n'est pas le nom d'un existant particulier, mais d'un attribut. » [HH Price, Perception (1932: 106)]

«Je tiens à être bien certain que je ne perçois pas directement ma main; et que quand on me dit (comme on peut le dire correctement) de le `` percevoir '', que je `` perçois '' cela signifie que je perçois (dans un sens différent et plus fondamental) quelque chose qui est (dans un sens approprié) représentatif de c'est-à-dire une certaine partie de sa surface. [GE Moore, Une défense du bon sens (1925: 217)]

«Il est […] faux de laisser entendre que tout a une surface. Où et quelle est exactement la surface d'un chat? » [John L. Austin, Sense and Sensibilia (1962: 100)]

«La surface est l'endroit où se déroule l'essentiel de l'action. La surface est l'endroit où la lumière est réfléchie ou absorbée, pas l'intérieur de la substance. La surface est ce qui touche l'animal, pas l'intérieur. La surface est l'endroit où les réactions chimiques se déroulent principalement. La surface est l'endroit où se produit la vaporisation ou la diffusion de substances dans le milieu. Et la surface est l'endroit où les vibrations de la substance sont transmises dans le milieu. [JJ Gibson, L'approche écologique de la perception visuelle (1979: 23)]

«Si l'objet continu est coupé en deux, alors la seule frontière [qui délimite deux parties adjacentes] devient-elle deux limites, une chose devenant ainsi deux choses? […] Mais comment une chose - même si ce n'est qu'une frontière - peut devenir deux choses? Et cela signifie-t-il que lorsque deux choses deviennent continues, alors deux choses qui avaient été diverses deviennent identiques l'une à l'autre, deux choses devenant ainsi une chose? [Roderick Chisholm, Boundaries as Dependent Particulars (1984: 88)]

«La raison pour laquelle il est vague où commence l'outback n'est pas qu'il y a cette chose, l'outback, avec des frontières imprécises; il y a plutôt beaucoup de choses, avec des frontières différentes, et personne n'a été assez fou pour essayer d'imposer le choix de l'un d'entre eux comme référent officiel du mot «outback». » [David K. Lewis, La pluralité des mondes (1986: 212)]

«Il n'y a pas de ligne qui sépare nettement la matière qui compose [le mont] Everest de la matière à l'extérieur. Les limites de l'Everest sont floues. Certaines molécules sont à l'intérieur de l'Everest et certaines molécules à l'extérieur. Mais certains ont un statut indéfini: il n'y a pas de fait objectif et déterminé de l'affaire quant à savoir s'ils sont à l'intérieur ou à l'extérieur. [Michael Tye, Vague Objects (1990: 535)]

«Un concept vague est sans limite en ce qu'aucune limite ne marque les choses qui tombent sous lui des choses qui ne le font pas, et aucune limite ne marque les choses qui tombent définitivement sous lui des choses qui ne le font pas définitivement; etc. Les manifestations sont la réticence de connaître les sujets à tracer de telles limites, l'impossibilité cognitive d'identifier de telles limites, et l'inutilité et même la désutilité de telles limites. [Mark Sainsbury, Concepts sans frontières (1990: 257)]

Bibliographie

  • Abelard, 1994, Logica 'nostrorum petitioni sociorum': glossula super Porphyrium, ing. trans. par PV Spade, «Des« gloses sur le porphyre »», dans PV Spade, cinq textes sur le problème médiéval des universaux, Indianapolis: Hackett, pp. 26-56.
  • Adams, EW, 1984, «On the Superficial», Pacific Philosophical Quarterly 65: 386-407.
  • Adams, EW, 1996, «Topologie, empirisme et opérationnalisme», The Monist 79: 1-20.
  • Aristote, Physics, in J. Barnes (ed.) The Complete Works of Aristotle, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, vol. 1.
  • Aristote, Metaphysics, in J. Barnes (ed.) The Complete Works of Aristotle, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, vol. 2.
  • Austin, JL, 1962, Sense and Sensibilia (éd. Par GJ Warnock), Oxford, Oxford University Press
  • Bayle, P., 1697, Dictionaire historique et critique, Rotterdam: Reinier Leers; Eng. Trans. par RH Popkin, Historical and Critical Dictionary: Selections, Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1965.
  • Bolzano, B., 1851, Paradoxien des Unendlichen, éd. F. Pihonsk, Leipzig: Reclam; Eng. trans. par DA Steele, Paradoxes of the Infinite, Londres: Routledge & Kegan Paul, 1950.
  • Brentano, F., 1976, Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum (éd. Par S. Körner et RM Chisholm), Hambourg: Meiner; Eng. trans. par B. Smith, Philosophical Investigations on Space, Time and the Continuum, Londres: Croom Helm, 1988.
  • Broad, CD, 1923, Pensée scientifique, New York: Harcourt.
  • Cartwright, R., 1975, «Scattered Objects», dans K. Lehrer (éd.), Analysis and Metaphysics, Dordrecht: Reidel, pp. 153-171.
  • Casati, R. et Varzi, AC, 1999, Parts and Places. Les structures de la représentation spatiale, Cambridge (MA) et Londres: MIT Press.
  • Chisholm, RM, 1984, «Boundaries as Dependent Particulars», Grazer philosophische Studien 10: 87-95.
  • Chisholm, RM, 1992/1993, «Continuité spatiale et théorie de la partie et du tout. Une étude Brentano », Brentano Studien 4: 11-23.
  • Clarke, BL, 1985, «Individus et points», Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
  • Copeland, J., 1995, «On Vague Objects, Fuzzy Logic and Fractal Boundaries», Southern Journal of Philosophy 33 (Suppl.): 83-96.
  • Curzon, GN, 1907, Frontiers - The Romanes Lecture, Oxford: Clarendon Press.
  • De Laguna, T., 1922, «Point, ligne et surface, comme ensembles de solides», Journal of Philosophy 19: 449-461.
  • Descartes, R., The Principles of Philosophy, in ES Hildane et GRT Ross (éds.), Cambridge: The University Press, 1911.
  • Duhem, P., 1913/1959, Le système du monde; histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, Paris, Hermann; partielle Eng. trans. par R. Ariew, Medieval Cosmology: Theories of Infinity, Place, Time, Void and the Plurality of Worlds, Chicago: University of Chicago Press, 1985.
  • Euclide, les treize livres des éléments d'Euclide, ing. trans. par TL Heath. Cambridge: The University Press, 1908 (1926 2).
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Köbner; Eng. trans. par JL Austin, The Foundations of Arithmetic, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
  • Frege, G., 1903, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Band II, Iéna, Pohle; partielle Eng. trans. par PT Geach, `` The Fundamental Laws of Arithmetic II '', in PT Geach et M. Black (eds.), Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege, Oxford: Blackwell, 1952, pp. 159-181, 234-244.
  • Galton, AP, 1994, 'Instantaneous Events', in HJ Ohlbach (ed.), Temporal Logic: Proceedings of the ICTL Workshop, Saarbrücken: Max-Planck-Institut für Informatik, Technical Report MPI-I-94-230, pp. 4-11.
  • Galton, AP, 2003, «Sur le statut ontologique des frontières géographiques», dans M. Duckham et al. (eds.), Foundations of Geographic Information Science, Londres: Taylor et Francis, pp. 151-171.
  • Galton, AP, 2007, «On the Paradoxical Nature of Surfaces: Ontology at the Physics / Geometry Interface», The Monist 90, sous presse.
  • Gibson, JJ, 1979, L'approche écologique de la perception visuelle, Boston: Houghton Mifflin.
  • Heller, M., 1990, L'ontologie des objets physiques: quatre morceaux dimensionnels de la matière, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hestevold, HS, 1986, «Boundaries, Surfaces, and Continuous Wholes», Southern Journal of Philosophy 24: 235-245.
  • Holden T., 2004, L'architecture de la matière: Galileo à Kant, Oxford: Clarendon.
  • Hudson, H., 2002, «The Liberal View of Receptacles», Australasian Journal of Philosophy 80: 432-439.
  • Jackendoff, R., 1987, Consciousness and the Computational Mind, Cambridge (MA): MIT Press.
  • Jackendoff, R., 1991, «Parts and Boundaries», Cognition 41: 9-45.
  • Kamp, H., 1979, `` Events, Instants, and Temporal Reference '', dans R. Bäuerle, U. Egli et A. von Stechow (eds.), Semantics from Different Points of View, Berlin et Heidelberg: Springer-Verlag, 376-417.
  • Léonard de Vinci, 1938, Les cahiers de Léonard de Vinci, sélectionné Eng. trans. ed. par E. MacCurdy, Londres: Reynal et Hitchock.
  • Lewis, DK, 1986, Sur la pluralité des mondes, Oxford: Blackwell.
  • Lobachevskii, NI, 1835/1938, «Novye naala geometrii s polnoj teoriej parallel'nyh» [Nouveaux principes de géométrie avec théorie complète des parallèles], Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta.
  • McGee, V., 1997, «Kilimandjaro» », Revue canadienne de philosophie 23 (Suppl.): 141-195.
  • Menger, K., 1940, «Topology Without Points», Brochures 27 du Rice Institute, 80-107.
  • Moore, GE, 1925, 'A Defense of Common Sense', dans JH Muirhead (éd.), Contemporary British Philosophy (Second Series), Londres: Allen & Unwin, pp. 193-223.
  • Ockham, William of, Quodlibetal Questions, Eng. trans. par AJ Freddoso et FE Kelly, New Haven (CN): Yale University Press, 1991.
  • Peirce, CS, 1893, «La logique de la quantité», dans Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. IV, éd. par C. Hartshorne et P. Weiss, Cambridge (MA): Harvard University Press, 1933.
  • Price, HH, 1932, Perception, Londres: Methuen.
  • Priest, G., 1987, En contradiction. Une étude du Transconsistent, Boston et Dordrecht: Nijhoff.
  • Randell, DA, Cui, Z. et Cohn, AG, 1992, «A Spatial Logic Based on Regions and Connection», dans B. Nebel et al. (eds.), Principes de la représentation et du raisonnement des connaissances. Actes de la troisième conférence internationale, Los Altos (CA): Morgan Kaufmann, pp. 165-176.
  • Russell, B., 1914, Notre connaissance du monde extérieur, Londres: Allen & Unwin.
  • Sainsbury, M., 1990, «Concepts Without Boundaries», Leçon inaugurale, Département de philosophie, King's College, Londres; réimprimé dans R. Keefe et P. Smith (eds.), Vagueness. A Reader, Cambridge (MA): MIT Press, 1996, pp. 251-264.
  • Simons, PM, «Faces, Boundaries, and Thin Layers», dans AP Martinich et MJ White (eds.), Certainty and Surface in Epistemology and Philosophical Method. Essais en l'honneur d'Avrum Stroll, Lewiston: Edwin Mellen Press, pp. 87-99.
  • Smith, B., 1995, «On Drawing Lines on a Map», dans AU Frank et W. Kuhn (éds.), Spatial Information Theory. Une base théorique pour le SIG. Actes de la troisième conférence internationale, Berlin: Springer, pp. 475-484.
  • Smith, B., 1997, 'Boundaries: An Essay in Mereotopology', dans LH Hahn (éd.), The Philosophy of Roderick Chisholm, Chicago et La Salle, IL: Open Court, pp. 534-61.
  • Smith, B., 2001, «Fiat Objects», Topoi 20: 131-148.
  • Smith, B., et Varzi, AC, 2000, «Fiat and Bona Fide Boundaries, Philosophy and Phenomenological Research 60: 401-420.
  • Sorensen, RA, 1986, «Transitions», Philosophical Studies 50: 187-193.
  • Sorensen, RA, 1988, Blindspots, Oxford: Clarendon Press.
  • Stroll, A., 1979, «Deux concepts de surfaces», Midwest Studies in Philosophy 4: 277-291.
  • Stroll, A., 1988, Surfaces, Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Tarski A., 1929, «Les fondements de la géométrie des corps», Ksiga Pamitkowa Pierwszkego Polskiego Zjazdu Matematycznego, suppl. aux Annales de la Société Polonaise de Mathématique 7: 29-33; Eng. trans. par JH Woodger, «Fondements de la géométrie des solides», dans A. Tarski, Logics, Semantics, Metamathematics. Documents de 1923 à 1938, Oxford: Clarendon, 1956, p. 24-29.
  • Tye, M., 1990, «Vague Objects», Mind 99: 535-557.
  • van Benthem, J., 1983, The Logic of Time, Dordrecht: Kluwer (2e éd. 1991).
  • Varzi, AC, 1997, «Boundaries, Continuity, and Contact», Noûs 31: 26-58.
  • Varzi, AC, 2001, «Vagueness in Geography», Philosophy & Geography 4: 49-65.
  • Varzi, AC, 2007, «Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes, and Locations», dans M. Aiello et al. (eds.), Handbook of Spatial Logics, Berlin, Springer, pp.945-1038.
  • Walker, AG, 1947, «Durées et instants», Revue Scientifique 85: 131-34.
  • Whitehead, AN, 1916, «La théorie relationniste de l'espace», Revue de Métaphysique et de Morale 23: 423-454; Eng. trans. par PJ Hurley, «The Relational Theory of Space», Philosophy Research Archives 5 (1979): 712-741.
  • Whitehead, AN, 1919, Une enquête concernant les principes de la connaissance humaine, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Williamson, T., 1994, imprécision. Londres: Routledge.
  • Zimmerman, DW, 1996, «Parties indivisibles et objets étendus: quelques épisodes philosophiques de la préhistoire de la topologie», The Monist 79: 148-180.

Autres ressources Internet