Méréologie

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Publié pour la première fois le 13 mai 2003; révision de fond jeu 21 août 2003

La Méréologie (du grec μερος, «partie») est la théorie des relations de parti: des relations de partie à tout et des relations de partie à partie dans un tout. Ses racines remontent aux premiers jours de la philosophie, en commençant par les atomistes présocratiques et en continuant tout au long des écrits de Platon (en particulier le Parménide et le Thaetet), Aristote (en particulier la métaphysique, mais aussi la physique, les sujets et De partibus animalium) et Boethius (en particulier In Ciceronis Topica). La métérologie a également occupé un rôle de premier plan dans les écrits d'ontologues et de philosophes scolastiques médiévaux tels que Garland the Computist, Peter Abelard, Thomas Aquinas, Raymond Lull et Albert of Saxony, ainsi que dans Logica Hamburgensis de Jungius (1638), Dissertatio de Leibniz arte combinatoria (1666) et monadologie (1714),et les premiers écrits de Kant (le Gedanken de 1747 et le Monadologia physica de 1756). En tant que théorie formelle des relations de parti, cependant, la méréologie a fait son chemin dans la philosophie moderne principalement à travers les travaux de Franz Brentano et de ses élèves, en particulier la troisième enquête logique de Husserl (1901). Cette dernière peut à juste titre être considérée comme la première tentative de formulation rigoureuse de la théorie, bien que dans un format qui rend difficile de démêler l'analyse des concepts méréologiques de celle d'autres notions ontologiquement pertinentes (comme la relation de dépendance ontologique). Ce n'est que lorsque Leśniewski's Foundations of a General Theory of Manifolds (1916, en polonais) que la pure théorie des relations partielles telle que nous la connaissons aujourd'hui reçut une formulation exacte. Et parce que Leśniewski 'Le travail de s était en grande partie inaccessible aux non-locuteurs de polonais, ce n'est qu'avec la publication de Leonard et Goodman's The Calculus of Individuals (1940) que cette théorie est devenue un chapitre d'intérêt central pour les ontologues et métaphysiciens modernes.

Dans ce qui suit, nous nous concentrerons principalement sur les formulations contemporaines de la méréologie telles qu'elles sont issues de ces théories récentes - celles de Leśniewski et Leonard et Goodman. En effet, bien que ces théories se présentent sous différentes formes logiques, elles sont suffisamment similaires pour être reconnues comme base commune de la plupart des développements ultérieurs. Pour évaluer correctement la force et les faiblesses relatives, cependant, il sera pratique de procéder par étapes. Nous considérons d'abord quelques notions et principes méréologiques fondamentaux. Ensuite, nous procédons à un examen des théories plus fortes qui peuvent être érigées sur cette base.

  • 1. «Part» et Parthood
  • 2. Principes de base

    • 2.1. Parthood en tant que commande partielle
    • 2.2. Autres concepts cérébraux
  • 3. Principes de supplémentation

    • 3.1. Pièces et restes
    • 3.2. Identité et extensionnalité
  • 4. Principes de clôture

    • 4.1. Opérations finitaires
    • 4.2. Fusions sans restriction
    • 4.3. Composition, existence et identité
  • 5. Méréologies atomismistes et sans atome
  • Bibliographie

    • Enquêtes historiques
    • Monographies
    • Ouvrages cités
  • Autres ressources Internet
  • Entrées connexes

1. «Part» et Parthood

Une mise en garde préliminaire s'impose. Cela concerne la notion même de parti pris dont parle la méréologie. Le mot «partie» a de nombreuses significations différentes dans le langage ordinaire, qui ne correspondent pas toutes à la même relation. D'une manière générale, il peut être utilisé pour indiquer n'importe quelle partie d'une entité donnée, qu'elle soit attachée au reste, comme dans (1), ou détachée, comme dans (2); cognitivement saillant, comme dans (1) - (2), ou arbitrairement délimité, comme dans (3); auto-connecté, comme dans (1) - (3), ou déconnecté, comme dans (4); homogène, comme dans (1) - (4), ou gerrymandered, comme dans (5); matériel, comme dans (1) - (5), ou immatériel, comme dans (6); étendu, comme dans (1) - (6), ou non étendu, comme dans (7); spatial, comme dans (1) - (7), ou temporel, comme dans (8); etc.

(1) La poignée fait partie de la tasse.
(2) Cette casquette fait partie de mon stylo.
(3) La moitié gauche est votre part du gâteau.
(4) Les États-Unis font partie de l'Amérique du Nord.
(5) Le contenu de ce sac n'est qu'une partie de ce que j'ai acheté.
(6) Ce coin fait partie du salon.
(7) Les points les plus externes font partie du périmètre.
(8) Le premier acte était la meilleure partie de la pièce.

Tous ces cas illustrent la notion de parti pris qui est au centre de la méréologie. Souvent, cependant, le mot «partie» est utilisé en anglais dans un sens restreint. Par exemple, il peut être utilisé pour désigner uniquement la relation cognitivement saillante de la séparation illustrée en (1) et (2) par opposition à (3). En ce sens, les parties d'un objet x ne sont que ses «composants», c'est-à-dire les parties qui sont disponibles en tant qu'unités individuelles indépendamment de leur interaction avec les autres parties de x. (Un composant est une partie d'un objet, plutôt qu'une partie de celui-ci; voir Tversky 1989). Il est clair que les propriétés de telles relations restreintes peuvent ne pas coïncider avec celles du parti au sens large, il ne faut donc pas s'attendre à ce que les principes de la méréologie se répercutent automatiquement.

Aussi, le mot `` partie '' est parfois utilisé dans un sens plus large, par exemple pour désigner la relation de constitution matérielle, comme dans (9), ou la relation de composition du mélange, comme dans (10), ou même une relation de inclusion, comme dans (11):

(9) L'argile fait partie de la statue.
(dix) Le gin fait partie du martini.
(11) Ecrire des commentaires détaillés fait partie du fait d'être un bon arbitre.

Le statut méréologique de ces relations est cependant controversé. Par exemple, bien que la relation constitutionnelle illustrée dans (9) ait été incluse par Aristote dans sa triple taxonomie (Metaphysics, Δ, 1023b), de nombreux auteurs contemporains préfèrent l'interpréter comme une relation sui generis, non-méréologique (voir par exemple Wiggins 1980, Rea 1995 et Thomson 1998). De même, la relation ingrédient-mélange illustrée dans (10) est sujette à controverse, car les ingrédients peuvent impliquer des connexions structurelles importantes en plus de la proximité spatiale et peuvent donc ne pas conserver certaines caractéristiques chimiques importantes qu'ils ont isolément (voir Sharvy 1983). Quant aux cas comme (11), on peut simplement soutenir que le terme `` partie '' n'apparaît que dans la grammaire de surface et disparaît au niveau de la forme logique, par exemple,si (11) est paraphrasé comme suit: «Tout bon arbitre écrit des commentaires détaillés.» (Pour plus d'exemples et de taxonomies provisoires, voir Winston et al.1987, Iris et al.1988 et Gerstl et Pribbenow 1995.)

Enfin, il vaut la peine de dire explicitement que la méréologie ne suppose aucune restriction ontologique sur le champ de la «partie». Les relata peuvent être aussi différentes que des corps matériels, des événements, des entités géométriques ou des régions géographiques, comme dans (1) - (8), ainsi que des nombres, des ensembles, des types ou des propriétés, comme dans les exemples suivants:

(12) 2 fait partie de 3.
(13) Les nombres entiers font partie des réels.
(14) Le premier chapitre fait partie du roman.
(15) L'humanité fait partie de la personnalité.

Ainsi, bien que les théories originales de Leśniewski et de Leonard et Goodman trahissent une position nominaliste, aboutissant à une conception de la méréologie comme une alternative ontologiquement parcimonieuse à la théorie des ensembles, il n'y a pas de lien nécessaire entre l'analyse des relations de parti et la position philosophique du nominalisme. [1]En tant que théorie formelle (au sens de Husserl de `` formel '', c'est-à-dire par opposition au `` matériel ''), la méréologie est simplement une tentative de poser les principes généraux qui sous-tendent les relations entre une entité et ses parties constitutives, quelle que soit la nature de l'entité, tout comme la théorie des ensembles est une tentative de poser les principes qui sous-tendent les relations entre une classe et ses membres constituants. Contrairement à la théorie des ensembles, la méréologie n'est pas engagée dans l'existence de abstracta: le tout peut être aussi concret que les parties. Mais la méréologie ne comporte pas non plus d'engagement nominaliste: les parties peuvent être aussi abstraites que le tout. Parts of Classes de David Lewis (1991), qui fournit une analyse méréologique de l'univers de la théorie des ensembles, est une bonne illustration de cette «innocence ontologique» de la méréologie.

2. Principes de base

Avec ces réserves, et à l'exception pour le moment des complications découlant de la prise en compte de facteurs intensionnels (tels que le temps et les modalités), passons maintenant en revue quelques principes méréologiques fondamentaux. Dans une certaine mesure, ceux-ci peuvent être considérés comme des axiomes lexicaux fixant la signification voulue du prédicat relationnel «partie». Cependant, la frontière de ce qui n'est pas controversé sur le plan philosophique est difficile à tracer, il sera donc commode de procéder étape par étape, en partant de l'évidence et en ajoutant des principes de fond au fur et à mesure.

2.1 Parthood en tant que commande partielle

L'évidence est la suivante: peu importe ce que l'on ressent sur les questions d'ontologie, si `` partie '' représente la relation générale illustrée par l'ensemble de (1) - (8) ci-dessus, alors elle représente un ordre partiel - un réflexif, antisymétrique, relation transitive:

(16) Tout fait partie de lui-même.
(17) Deux choses distinctes ne peuvent pas faire partie l'une de l'autre.
(18) Toute partie de n'importe quelle partie d'une chose fait elle-même partie de cette chose.

Certes, cette caractérisation n'est pas totalement incontestable. En particulier, depuis Rescher (1955), plusieurs auteurs ont eu des doutes sur le principe de transitivité (18) (voir par exemple Lyons 1977: 313, Cruse 1979 et Moltman 1997). Rescher écrit:

Dans l'usage militaire, par exemple, les personnes peuvent être des parties de petites unités, et de petites unités des parties de plus grandes; mais les personnes ne font jamais partie de grandes unités. D'autres exemples sont donnés par les diverses utilisations hiérarchiques de «partie». Une partie (c'est-à-dire une sous-unité biologique) d'une cellule n'est pas considérée comme faisant partie de l'organe dont cette cellule fait partie. (1955: 10)

On peut cependant soutenir que ces doutes découlent de l'ambiguïté susmentionnée de «partie». Ce qui compte comme une sous-unité biologique d'une cellule peut ne pas compter comme une sous-unité (une partie distinguée) de l'organe, mais elle fait néanmoins partie de l'organe. L'exemple militaire est plus pertinent, mais il échange aussi sur une ambiguïté. S'il y a un sens de «partie» dans lequel les soldats ne font pas partie d'unités plus importantes, c'est un sens restreint: un soldat ne fait pas directement partie d'un bataillon - le soldat ne relève pas du chef du bataillon. De même, on peut affirmer qu'une poignée est une partie fonctionnelle d'une porte, la porte est une partie fonctionnelle de la maison, et pourtant la poignée n'est pas une partie fonctionnelle de la maison. Mais cela implique un écart par rapport à la notion plus large de partage que la méréologie est censée saisir. Pour le dire différemment,si l'interprétation générale voulue de «partie» est limitée par des conditions supplémentaires (par exemple, en exigeant que les parties contribuent directement au fonctionnement de l'ensemble), alors la transitivité peut évidemment échouer. En général, si x est une partie φ de y et y est une partie φ de z, x n'a pas besoin d'être une partie φ de z: le modificateur de prédicat 'φ' peut ne pas se répartir sur la partie. Mais cela montre la non-transitivité de 'φ-partie' (par exemple, de partie directe, ou partie fonctionnelle), pas de 'partie'. Et dans un cadre suffisamment général, cela peut facilement être exprimé à l'aide de modificateurs de prédicat explicites.x n'a pas besoin d'être une partie φ de z: le modificateur de prédicat 'φ' peut ne pas se répartir sur la partie. Mais cela montre la non-transitivité de 'φ-partie' (par exemple, de partie directe, ou partie fonctionnelle), pas de 'partie'. Et dans un cadre suffisamment général, cela peut facilement être exprimé à l'aide de modificateurs de prédicat explicites.x n'a pas besoin d'être une partie φ de z: le modificateur de prédicat 'φ' peut ne pas se répartir sur la partie. Mais cela montre la non-transitivité de 'φ-partie' (par exemple, de partie directe, ou partie fonctionnelle), pas de 'partie'. Et dans un cadre suffisamment général, cela peut facilement être exprimé à l'aide de modificateurs de prédicat explicites.

Les deux autres propriétés - réflexivité et antisymétrie - sont moins controversées, bien qu'à cet égard également, certaines réserves s'imposent. Concernant la réflexivité (16), une objection familière - due à nouveau à Rescher - est que

de nombreux sens légitimes de «partie» ne sont pas réflexifs et n'acceptent pas de dire qu'un tout est une partie (au sens en question) de lui-même. L'utilisation par les biologistes de «partie» pour les sous-unités fonctionnelles d'un organisme en est un bon exemple. (1955: 10)

Cela n'a cependant pas beaucoup d'importance. Prendre la réflexivité (et l'antisymétrie) comme constitutives de la signification de «partie» revient à considérer l'identité comme un cas limite (abusif) de parti. Une relation plus forte, dans laquelle rien ne compte comme faisant partie de lui-même, peut évidemment être définie en termes de relation plus faible, d'où il n'y a pas de perte de généralité (voir section 2.2 ci-dessous). Vice versa, on pourrait formuler une théorie méréologique en prenant la part de parti proprement dite comme primitive à la place. Il s'agit simplement de choisir une primitive appropriée. Formellement, le problème se résume donc au point précédent: une partie φ peut ne pas tout à fait se comporter comme une partie simpliciter, où φ est la condition supplémentaire d'être distincte du tout.

Enfin, concernant le postulat d'antisymétrie (17), on peut observer que cela exclut les structures méréologiques «non fondées». Sanford (1993: 222) se réfère à Aleph de Borges comme exemple:

J'ai revu la terre dans l'Aleph et sur la terre l'Aleph et la terre dans l'Aleph… (Borges 1949: 151)

Dans ce cas, une réponse plausible (à la suite de van Inwagen 1993: 229) est que la fiction ne donne aucune indication aux investigations conceptuelles. La concevabilité peut bien être un guide de la possibilité, mais la fantaisie littéraire n'est pas en elle-même une preuve de concevabilité. Cependant, l'idée d'une relation de parti non fondée n'est pas un pur fantasme. Au vu de certains développements de la théorie des ensembles non fondée (c'est-à-dire de la théorie des ensembles tolérant les cas d'auto-appartenance et, plus généralement, de circularités d'appartenance - voir Aczel 1988; Barwise et Moss 1996), on pourrait en effet suggérer la construction de la méréologie sur la base d'une notion tout aussi moins restrictive de la séparation qui permet des boucles fermées. Ceci est particulièrement significatif compte tenu de la possibilité de reformuler la théorie des ensembles en termes méréologiques - possibilité qui est explorée dans les travaux de Bunt (1985) et Lewis (1991, 1993). Ainsi, en l'espèce, on craint légitimement que l'un des postulats «évidents» de «partie» soit en fait trop restrictif. À l'heure actuelle, cependant, aucune étude systématique de la méréologie non fondée n'a été proposée dans la littérature, de sorte que dans ce qui suit nous nous limiterons aux théories qui acceptent le postulat d'antisymétrie avec la relexivité et la transitivité.ainsi dans ce qui suit nous nous limiterons aux théories qui acceptent le postulat d'antisymétrie avec la relexivité et la transitivité.ainsi dans ce qui suit nous nous limiterons aux théories qui acceptent le postulat d'antisymétrie avec la relexivité et la transitivité.

2.2. Autres concepts cérébraux

Il convient à ce stade d'introduire un certain degré de formalisation avant de poursuivre. Cela évite les ambiguïtés (telles que celles impliquées dans les objections susmentionnées) et facilite les comparaisons et les développements. Pour plus de précision, nous travaillerons dans le cadre d'un langage standard de premier ordre avec identité, fourni avec une constante de prédicat binaire distinguée, «P», à interpréter comme la relation de parti pris. En prenant la logique sous-jacente pour être un calcul de prédicat standard avec identité [2], les conditions minimales ci-dessus sur la partie partielle peuvent alors être considérées comme formant une théorie du premier ordre caractérisée par les axiomes propres suivants pour «P»:

(P.1) P xx Réflexivité
(P.2) (P xy et P yx) → x = y Antisymétrie
(P.3) (P xy et P yz) → P xz Transitivité

(Ici et dans ce qui suit, nous simplifions la notation en laissant tomber tous les quantificateurs universels initiales Toutes les formules doivent être comprises comme fermé universellement..) On peut appeler cette théorie au sol méréologie - M pour court [3] - le considérant comme la commune base de toute théorie globale partielle.

Étant donné (P.1) - (P.3), un certain nombre de prédicats méréologiques supplémentaires peuvent être introduits par définition. Par exemple:

(19)

O xy = df

existe
existe

z (P zx et P zy)

Chevauchement
(20)

U xy = df

existe
existe

z (P xz et P yz)

Underlap
(21) PP xy = df P xy & ¬ P yx Partie appropriée
(22) OX xy = df O xy & ¬ P xy Traversée
(23) UX xy = df U xy & ¬ P yx Sous-passage
(24) PO xy = df OX xy et OX yx Chevauchement correct
(25) PU xy = df UX xy et UX yx. Underlap approprié

Un modèle intuitif pour ces relations, avec «P» interprété comme une inclusion spatiale, est présenté à la figure 1.

Figure 1
Figure 1

Graphique 1. Modèles de base des relations méréologiques. Dans le modèle le plus à gauche, les relations entre parenthèses sont valables s'il y a un z plus grand comprenant à la fois x et y.

Il est immédiatement vérifié que le chevauchement est réflexif et symétrique, mais non transitif:

(26) O xx
(27) O xy → O yx.

De même pour underlap. En revanche, il découle de (P.1) - (P.3) que la partition propre est transitive mais irréflexive et asymétrique - un ordre partiel strict:

(28) ¬ PP xx
(29) PP xy → ¬ PP yx
(30) (PP xy et PP yz) → PP xz.

Comme mentionné, on pourrait utiliser la séparation appropriée comme point de départ alternatif (en utilisant (28) - (30) comme axiomes). Cela découle du fait que l'équivalence suivante est prouvable dans M:

(31) P xy ↔ (PP xy

ou
ou

x = y)

et on pourrait donc utiliser le côté droit de (31) pour définir «P» en termes de «PP» et «=». D'autre part, comme pour tout ordre partiel, il convient de noter que l'identité pourrait elle-même être introduite par définition, en raison de la conséquence immédiate suivante de (P.2):

(32) x = y ↔ (P xy et P yx).

Par conséquent, la théorie M pourrait être formulée dans un langage pur du premier ordre en supposant (P.1) et (P.3) et en remplaçant (P.2) par la variante suivante de l'axiome de Leibniz pour l'identité (où φ est une formule):

(P.2 ') (P xy & P yx) → (φ x ↔ φ y).

Dans ce qui suit, cependant, nous continuerons à supposer que M est formulé dans un langage avec à la fois «P» et «=» comme primitives.

3. Principes de supplémentation

La théorie M peut être considérée comme incarnant le tronc commun de toute théorie méréologique. Cependant, pas n'importe quel ordre partiel ne peut être considéré comme une relation partie-tout, et établir à quels autres principes devraient être ajoutés (P.1) - (P.3) est précisément la question à laquelle une bonne théorie méréologique est censée répondre. Ces autres principes sont plus substantiels et sont dans une certaine mesure stipulatifs. Cependant, certaines options principales peuvent être identifiées.

D'une manière générale, une théorie méréologique peut être considérée comme le résultat de l'extension de M au moyen de principes affirmant l'existence (conditionnelle) de certains items méréologiques étant donné l'existence d'autres items. Ainsi, on peut considérer l'idée que chaque fois qu'un objet a une partie propre, il en a plus d'une - c'est-à-dire qu'il y a toujours une différence méréologique entre un tout et ses parties propres. Cela ne doit pas être vrai dans tous les modèles pour M: un monde avec seulement deux éléments, dont l'un est lié P à l'autre mais pas l'inverse, serait un contre-exemple, mais pas celui qui pourrait être illustré avec le genre de diagramme géométrique utilisé dans la figure 1. De même, on peut considérez l'idée qu'il y a toujours une somme méréologique de deux parties ou plus - c'est-à-dire que pour n'importe quel nombre d'objets, il existe un tout qui consiste exactement en ces objets. Encore une fois, cela n'a pas besoin d'être vrai dans un modèle pour M, et la question de savoir si l'idée doit être valable sans restriction est controversée. Plus généralement, on peut envisager d'étendre Men exigeant que le domaine du discours soit fermé - à certaines conditions - sous diverses opérations méréologiques (somme, produit, différence, et éventuellement d'autres). Enfin, on peut considérer la question de savoir s'il existe des atomes méréologiques (objets sans parties propres), et aussi si chaque objet est finalement composé d'atomes (ou à quelles conditions un objet peut être supposé être composé d'atomes). Ces deux options sont compatibles avec M, et la possibilité d'ajouter des axiomes correspondants a des ramifications philosophiques intéressantes.

3.1. Pièces et restes

Commençons par le premier type d'extension. L'idée sous-jacente peut prendre au moins deux formes distinctes. Le plus simple consiste à renforcer M en ajoutant un quatrième axiome à l'effet que toute partie propre doit être complétée par une autre partie disjointe - un reste:

(P.4)

PP xy →

existe
existe

z (P zy et ¬O zx)

Supplémentation faible

Appelez cette extension Minimal Mereology (MM). Certains auteurs (notamment Peter Simons 1987, à qui le terme `` supplémentation '' est emprunté) considèrent (P.4) comme constitutif de la signification de `` partie '' et l'énuméreraient en conséquence avec les postulats de base de la méréologie. Cependant, certaines théories de la littérature violent ce principe et il convient donc de le séparer de (P.1) - (P.3). Un exemple typique serait la théorie des accidents de Brentano en 1933, selon laquelle une âme est une partie appropriée d'une âme pensante même s'il n'y a rien pour compenser la différence. (Voir Chisholm 1978; pour une évaluation, voir Baumgartner et Simons 1994.) Un autre exemple est fourni par la théorie de Whitehead de 1929 sur la connexion extensive, où aucun élément de frontière n'est inclus dans le domaine de la quantification:selon cette théorie, une région topologiquement fermée inclut son intérieur ouvert comme une partie propre bien qu'il n'y ait pas d'éléments de frontière pour les distinguer. (Voir Clarke 1981 pour une formulation rigoureuse.)

La deuxième façon d'exprimer l'intuition de la supplémentation est plus forte. Il correspond à l'axiome suivant, qui diffère de (P.4) dans l'antécédent:

(P.5)

¬P yx →

existe
existe

z (P zy et ¬O zx)

Supplémentation forte

Cela dit que si un objet ne parvient pas à en inclure un autre parmi ses parties, il doit y avoir un reste. On voit aisément que (P.5) implique (P.4), donc toute théorie rejetant (P.4) rejettera a fortiori (P.5). (Par exemple, sur la théorie sans frontières de Whitehead de la connexion extensive, une région fermée ne fait pas partie de son intérieur bien qu'elle ait exactement les mêmes parties étendues.) Cependant, l'inverse ne tient pas. Considérons un modèle avec quatre objets distincts, a, b, c, d, tels que c et d sont liés à P à la fois a et b. Alors l'instance correspondante de (P.4) est vraie, puisque chaque partie propre compte comme un supplément de l'autre; cependant (P.5) est faux, puisque les deux parties de a font partie de (et se chevauchent donc) b, et les deux parties de b font partie de (et se chevauchent) a. Certes, il est difficile d'imaginer de tels objets;il est difficile de dessiner une image illustrant deux objets distincts avec les mêmes parties, car dessiner un objet c'est dessiner ses parties. Une fois les pièces dessinées, il ne reste plus rien à faire pour obtenir un dessin de l'objet entier. Mais cela prouve seulement que les images sont biaisées vers (P.5). Dans le domaine non spatial, par exemple, le contre-modèle envisagé à (P.5) peut être mis en place en identifiant a et b avec les paires ordonnées <c, d> et <d, c>, respectivement, en interprétant 'P' comme relation d'appartenance pour les ensembles ordonnés.le contre-modèle envisagé à (P.5) peut être établi en identifiant a et b avec les paires ordonnées <c, d> et <d, c>, respectivement, en interprétant «P» comme la relation d'appartenance pour des ensembles ordonnés.le contre-modèle envisagé à (P.5) peut être établi en identifiant a et b avec les paires ordonnées <c, d> et <d, c>, respectivement, en interprétant «P» comme la relation d'appartenance pour des ensembles ordonnés.

La théorie obtenue en ajoutant (P.5) à (P.1) - (P.3) est donc une extension appropriée de la théorie de la Méréologie Minimale obtenue en ajoutant (P.4). Nous appelons cette théorie plus forte de la Méréologie Extensionnelle (EM). L'attribut «extensif» se justifie précisément par l'exclusion des contre-modèles qui, comme ceux que nous venons de mentionner, contiennent des objets distincts avec les mêmes parties propres. En fait, ce qui suit est un théorème de EM:

(33)

existe
existe

z PP zx → (

pour tous
pour tous

z (PP zx → PP zy) → P xy).

d'où il résulte que les objets non atomiques avec les mêmes parties propres sont identiques:

(34) (

existe
existe

z PP zx

ou
ou
existe
existe

z PP zy) → (x = y ↔

pour tous
pour tous

z (PP zx ↔ PP zy)).

(L'analogue pour `` P '' est déjà prouvable dans M, puisque P est réflexif et antisymétrique.) C'est la contrepartie méréologique du principe familier d'extensionnalité de la théorie des ensembles, car il reflète l'idée qu'un objet est défini de manière exhaustive par ses parties constituantes, tout comme un ensemble est défini de manière exhaustive par ses éléments constitutifs. Nelson Goodman a qualifié à juste titre ce principe méréologique d '«hyper-extensionalisme» (1958: 66), en le reliant à la parcimonie ontologique du nominalisme:

Une classe (par exemple, celle des comtés de l'Utah) n'est différente ni de l'individu unique (tout l'état de l'Utah) qui contient exactement ses membres, ni de toute autre classe (par exemple, celle des acres de l'Utah) dont les membres épuisent exactement ce même ensemble. Le platonicien peut distinguer ces entités en s'aventurant dans une nouvelle dimension de forme pure, mais le nominaliste ne reconnaît aucune distinction d'entités sans distinction de contenu. (Goodman 1951: 26)

3.2. Identité et extensionnalité

Est EMune théorie plausible? En dehors des contre-exemples à (P.5) mentionnés ci-dessus, plusieurs objections ont été soulevées contre (34), malgré sa plausibilité intuitive dans le contexte de l'exemple géographique de Goodman. D'une part, on fait parfois valoir que la similitude des parties n'est pas suffisante pour l'identité, car certaines entités peuvent différer exclusivement en ce qui concerne la disposition de leurs parties. Deux phrases composées des mêmes mots - «John aime Mary» et «Mary loves John» - en seraient un bon exemple (Hempel 1953: 110; Rescher 1955: 10). De même, l'identité d'un bouquet de fleurs peut dépendre de manière cruciale de la disposition des fleurs individuelles (Eberle 1970: §2.10). Une deuxième objection familière est familière de la littérature sur la constitution matérielle,où le principe d'extensionnalité méréologique est parfois considéré comme contredisant la possibilité qu'un objet puisse être distinct de la matière qui le constitue. Un chat peut survivre à l'annihilation de sa queue, soutient-on. Mais la quantité de tissu félin constitué de la queue du chat et du reste du corps du chat ne peut pas survivre à l'annihilation de la queue. Ainsi, un chat et la quantité correspondante de tissu félin ont des propriétés différentes (tendues ou modales) et ne doivent pas être identifiés bien qu'ils partagent exactement les mêmes parties réelles. (Voir par exemple Wiggins 1968, Doepke 1982, Lowe 1989, Johnston 1992, et Baker 1999, Sanford 2003 pour cette ligne d'objection.) Inversement, si la relation d'identité est considérée comme s'étendant sur les temps ou sur des mondes possibles, comme dans le standard tendu et conversation modale,alors la possibilité d'un changement méréologique implique que la similitude des parties n'est pas nécessaire à l'identité. Si un chat survit à l'anéantissement de sa queue, alors le chat avec queue (avant l'accident) et le chat sans queue (après l'accident) sont numériquement les mêmes malgré leurs parties propres différentes (Wiggins 1980). Si l'un de ces arguments est accepté, il est clair que (34) est un principe trop fort pour être imposé à la relation de parti. Et puisque (34) découle de (P.5), on pourrait conclure quealors clairement (34) est un principe trop fort pour être imposé à la relation de parti. Et puisque (34) découle de (P.5), on pourrait conclure quealors clairement (34) est un principe trop fort pour être imposé à la relation de parti. Et puisque (34) découle de (P.5), on pourrait conclure que EM devrait être rejeté en faveur de la théorie méréologique plus faible MM.

Une discussion approfondie de ces questions dépasse le cadre de cette entrée. (Voir les entrées sur l'identité et la persistance). Certaines remarques s'imposent cependant. Concernant la suffisance de l'extensionnalité méréologique, c'est-à-dire le conditionnel de droite à gauche dans le conséquent de (34):

(35)

pour tous
pour tous

z (PP zx ↔ PP zy) → x = y,

il faut noter que la première sorte d'objection mentionnée ci-dessus peut être facilement supprimée. On peut soutenir que les phrases composées des mêmes mots sont mieux décrites comme des jetons de phrase différents composés de jetons distincts des mêmes types de mots. Il n'y a donc pas de violation de (35) dans l'opposition entre «Jean aime Marie» et «Marie aime Jean» (par exemple), d'où aucune raison de rejeter (P.5) pour ces motifs. En outre, même en ce qui concerne les types, on pourrait souligner que les phrases «Jean aime Marie» et «Marie aime Jean» ne partagent pas toutes leurs parties propres. La chaîne «Jean aime», par exemple, n'est incluse que dans la première phrase. Quant à des exemples plus concrets comme un bouquet de fleurs, un système planétaire ou une formation de flotte,il convient de noter que ceux-ci ne violent l'extensionnalité que dans la mesure où nous nous engageons dans un discours tendu ou contrefactuel. Il pourrait être plausible de soutenir qu'un bouquet de fleurs ne serait pas (ou plus) ce qu'il est si les fleurs étaient disposées différemment ou si elles étaient dispersées sur le sol. Ainsi, si les variables de (35) sont prises pour s'étendre sur des entités existant à des moments différents, ou à différents mondes possibles, alors en fait (35) semblerait trop forte. Cependant, il ne s'ensuit pas que nous ayons trouvé un contre-exemple à l'extensionnalité si nous nous limitons aux problèmes d'identité syncronique dans le monde actuel. (Essentiellement, cela revient à traiter des phrases deou s'ils étaient éparpillés sur le sol. Ainsi, si les variables de (35) sont prises pour s'étendre sur des entités existant à des moments différents, ou à différents mondes possibles, alors en fait (35) semblerait trop forte. Cependant, il ne s'ensuit pas que nous ayons trouvé un contre-exemple à l'extensionnalité si nous nous limitons aux problèmes d'identité syncronique dans le monde actuel. (Essentiellement, cela revient à traiter des phrases deou s'ils étaient éparpillés sur le sol. Ainsi, si les variables de (35) sont prises pour s'étendre sur des entités existant à des moments différents, ou à différents mondes possibles, alors en fait (35) semblerait trop forte. Cependant, il ne s'ensuit pas que nous ayons trouvé un contre-exemple à l'extensionnalité si nous nous limitons aux problèmes d'identité syncronique dans le monde actuel. (Essentiellement, cela revient à traiter des phrases de EM comme présent tendu. La question intéressante est donc: la méréologie parfaitement générale, si elle fait ce mouvement, nécessite une logique tendue et modale?)

Ceci conduit à la deuxième objection à la suffisance de l'extensionnalité, qui est plus délicate. Comme une condition suffisante pour l'identité individuelle (35) est en effet très stricte. En même temps, l'abandonner peut conduire à une multiplication ontologique massive: si le chat est différent de l'agrégat méréologique queue + reste, il doit aussi être différent de l'agrégat tête + reste, et du nez agrégé + reste, etc.. Combien d'entités occupent alors la région occupée par le chat? À quel critère de principe pouvons-nous faire appel pour éviter cette pente glissante? (De même,si un bouquet de fleurs se distingue du simple agrégat des fleurs individuelles le constituant en raison du fait qu'elles ont des propriétés modales différentes - ce dernier pourrait alors que le premier ne pourrait pas survivre au réarrangement des parties - alors il faut les distinguer également de nombreux autres agrégats méréologiques: celui constitué de rose # 1 + reste, celui constitué de tulipe # 2 + reste, et ainsi de suite.)

Au nom de EM, et pour résister à une telle exubérance ontologique, il faut noter que l'appel à la loi de Leibniz dans ce contexte doit être soigneusement évalué. Laissez 'Tibbles' nommer notre chat et 'Tail' sa queue, et accordons la vérité sur

(36) Tibbles peut survivre à l'annihilation de Tail.

Il y a, en effet, un sens intuitif dans lequel ce qui suit est également vrai:

(37) La quantité de tissu félin composé de Tail et du reste du corps de Tibbles ne peut pas survivre à l'annihilation de Tail.

Cependant, ce sens intuitif correspond à une lecture de dicto de la modalité, où la description dans (37) a une portée étroite:

(38) Dans tous les mondes possibles, la quantité de tissu félin constitué de la queue et du reste du corps de Tibbles a la queue comme partie appropriée.

Sur cette lecture (37) est difficilement négociable (en fait, logiquement vrai). Pourtant, cela n'est pas pertinent dans le présent contexte, car (38) n'équivaut pas à l'attribution d'une propriété modale et ne peut pas être utilisé en relation avec la loi de Leibniz. (Comparez l'argument fallacieux suivant: George W. Bush pourrait ne pas avoir été un président des États - Unis, le 43 e président des États - Unis est nécessairement un président américain, d' où George W. Bush est pas le 43 e président américain.) D'autre part, envisager une relecture de (37), où la description a une large portée:

(39) La quantité de tissu félin constitué de la queue et du reste du corps de Tibbles a la queue comme partie appropriée dans tous les mondes possibles.

A cette lecture, l'appel à la loi de Leibniz serait légitime (modulo toute préoccupation concernant le statut des propriétés modales) et on pourrait se fier à la vérité de (36) et (37) (c.-à-d. (39)) pour conclure que Tibbles est distinct de la quantité appropriée de tissu félin. Cependant, il n'y a aucune raison évidente pour laquelle (37) devrait être considéré comme vrai à cette lecture. Autrement dit, il n'y a aucune raison évidente de supposer que la quantité de tissu félin qui, dans le monde réel, se compose de Tail et du reste du corps de Tibbles - cette quantité de tissu félin qui repose maintenant sur le tapis - ne peut pas survivre à l'annihilation. de la queue. En effet, il semblerait que toute raison en faveur de cette affirmation vis-à-vis de la vérité de (36) devrait présupposer la distinction des entités en question, donc pas d'appel à Leibniz ». La loi serait légitime pour établir la distinction (sous peine de circularité). Cela ne veut pas dire que le contre-exemple putatif de (35) est erroné. Mais cela nécessite un véritable travail métaphysique et cela fait du rejet du principe de supplémentation forte (P.5) un sujet de véritable controverse philosophique. (Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composait pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)Cela ne veut pas dire que le contre-exemple putatif de (35) est erroné. Mais cela nécessite un véritable travail métaphysique et cela fait du rejet du principe de supplémentation forte (P.5) un sujet de véritable controverse philosophique. (Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composait pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)Cela ne veut pas dire que le contre-exemple putatif de (35) est erroné. Mais cela nécessite un véritable travail métaphysique et cela fait du rejet du principe de supplémentation forte (P.5) un véritable sujet de controverse philosophique. (Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composaient pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)Mais cela nécessite un véritable travail métaphysique et cela fait du rejet du principe de supplémentation forte (P.5) un sujet de véritable controverse philosophique. (Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composait pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)Mais cela nécessite un véritable travail métaphysique et cela fait du rejet du principe de supplémentation forte (P.5) un sujet de véritable controverse philosophique. (Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composait pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)(Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composait pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)(Des remarques similaires s'appliqueraient à tout argument visant à rejeter l'extensionnalité sur la base d'intuitions modales concurrentes concernant la possibilité d'un réarrangement méréologique, plutôt que d'un changement méréologique, comme dans l'exemple des fleurs. En relecture, l'affirmation selon laquelle un bouquet de fleurs ne pouvait pas survivre au réarrangement des parties - alors que l'agrégat des fleurs individuelles qui le composait pourrait - doit être soutenu par une véritable théorie métaphysique sur ces entités.)

Enfin, considérons l'objection contre (P.5) basée sur l'intuition que la similitude des parties n'est pas nécessaire pour l'identité, contrairement au conditionnel de gauche à droite dans le conséquent de (34):

(40) x = y →

pour tous
pour tous

z (PP zx ↔ PP zy).

Cette objection découle de la considération que les entités ordinaires telles que les chats et autres organismes vivants (et peut-être aussi d'autres entités, telles que les statues et les navires) survivent à toutes sortes de changements méréologiques progressifs. Il s'agit manifestement d'une objection sérieuse, à moins que ces entités ne soient interprétées comme des entia succcessiva fictives (Chisholm 1976). Cependant, la difficulté n'est pas propre à la méréologie extensionnelle. Car (40) n'est qu'un corollaire de l'axiome d'identité

(ID) x = y → (φ x ↔ φ y).

Et il est bien connu que cet axiome appelle des révisions lorsque «=» reçoit une lecture diachronique. On peut soutenir que de telles révisions affecteront également l'affaire en cause et, en ce sens, l'objection mentionnée ci-dessus à (40) peut être ignorée. Par exemple, si le prédicat de partie de base était réinterprété comme une relation indexée dans le temps (Thomson 1983), alors le problème disparaîtrait car la version tendue de (P.5) ne justifierait que la variante suivante de (40):

(41) x = y →

pour tous
pour tous

t

pour tous
pour tous

z (PP t zx ↔ PP t zy).

De même, le problème disparaîtrait si les variables de (40) étaient considérées comme s'étendant sur des entités à quatre dimensions dont les parties peuvent s'étendre aussi bien dans le temps que dans l'espace (Heller 1984, Sider 1997), ou si l'identité elle-même était interprétée comme un contingent relation qui peut tenir à certains moments mais pas à d'autres (Gibbard 1975, Myro 1985, Gallois 1998). De telles révisions peuvent être considérées comme un indicateur de la neutralité ontologique limitée de la méréologie extensionnelle. Mais leur motivation indépendante témoigne également du fait que les controverses sur l'extensionnalité, et en particulier sur (40), découlent de véritables énigmes philosophiques fondamentales et ne peuvent être appréciées en faisant appel à nos intuitions sur le sens de `` partie ''.

4. Principes de clôture

Considérons maintenant la seconde façon d'étendre M, correspondant à l'idée qu'un domaine méréologique doit être fermé sous diverses opérations.

4.1. Opérations finitaires

Prenons d'abord les opérations de somme et de produit. (La somme cérébrale est parfois appelée «fusion».) Si deux choses se chevauchent, alors nous pouvons supposer qu'il y a une plus petite chose dont elles font partie - une chose qui épuise exactement et complètement les deux. Par exemple, votre pouce gauche et votre index se chevauchent, car ils font tous deux partie de vous. Il y a d'autres choses dont ils font partie - par exemple, votre main gauche. Et nous pouvons supposer qu'il existe une plus petite chose de ce genre: la partie de votre main gauche qui consiste exactement en votre pouce et votre index gauches. De même, si deux choses se chevauchent (par exemple, deux routes qui se croisent), alors nous pouvons supposer qu'il y a une chose la plus grande qui fait partie des deux (la partie commune à leur jonction). Ces deux hypothèses peuvent être exprimées au moyen des axiomes suivants, respectivement:

(P.6)

U xy →

existe
existe

z

pour tous
pour tous

w (O wz ↔ (O wx

ou
ou

O wy))

Somme
(P.7)

O xy →

existe
existe

z

pour tous
pour tous

w (P wz ↔ (P wx & P wy))

Produit

Appelez l'extension de M obtenue en ajoutant (P.6) et (P.7) Closure Mereology (CM). Le résultat de l'ajout de ces axiomes à MM ou EM donne à la place des Méréologies de fermeture minimale ou extensionnelle correspondantes (CMM et CEM), respectivement.

L'idée intuitive derrière ces deux axiomes est mieux appréciée en présence d'extensionnalité, car dans ce cas les entités dont l'existence conditionnelle est affirmée par (P.6) et (P.7) doivent être uniques. Ainsi, si le langage a un opérateur de description 'ι', [4] CEM prend en charge les définitions suivantes:

(42)

x + y = df ι z

pour tous
pour tous

w (O wz ↔ (O wx

ou
ou

O wy))

(43)

x × y = df ι z

pour tous
pour tous

w (P wz ↔ (P wx & P wy))

et (P.6) et (P.7) peuvent être reformulés avec plus de perspicacité comme

(P.6 ')

U xy →

existe
existe

z (z = x + y)

(P.7 ')

O xy →

existe
existe

z (z = x × y).

En d'autres termes, deux éléments sous-jacents ont une somme mérelogique unique, et deux éléments se chevauchant ont un produit unique. En fait, la connexion avec l'extensionnalité est plus subtile. En présence du principe de supplémentation faible (P.4), la fermeture du produit (P.7) implique le principe de supplémentation forte (P.5). Ainsi, CMM s'avère être la même théorie que CEM.

On pourrait envisager d'ajouter d'autres postulats de clôture. Par exemple, il peut être raisonnable d'exiger qu'un domaine méréologique soit fermé sous les opérations de la différence méréologique et du complément méréologique. En présence d'extensionnalité, ces notions peuvent être définies comme suit:

(44)

x - y = df ι z

pour tous
pour tous

w (P wz ↔ (P wx & ¬O wy))

(45)

~ x = df ι z

pour tous
pour tous

w (P wz ↔ ¬O wx)

Les principes de fermeture correspondants peuvent donc être énoncés ainsi:

(P.8)

¬P yx →

existe
existe

z (z = y - x)

Reste
(P.9)
existe
existe

z ¬P zx →

existe
existe

z (z = ~ x)

Complémentation

Le premier de ceux-ci est équivalent à (P.5), mais le second est indépendant de l'un des principes considérés jusqu'à présent. Dans de nombreuses versions, une théorie de la fermeture implique également un postulat selon lequel le domaine a une limite supérieure - c'est-à-dire qu'il y a quelque chose dont tout fait partie:

(P.10)
existe
existe

z

pour tous
pour tous

x P xz

Haut

Encore une fois, en présence d'extensionnalité, un tel «individu universel» est unique et facile à définir:

(46) U = df ι z

pour tous
pour tous

x P xz

L'existence de U rend la structure algébrique de CEM encore plus nette, car elle garantit que deux entités quelconques se chevauchent et, par conséquent, ont une somme. Ainsi, en présence de (P.10), l'antécédent de (P.6) peut être supprimé. En revanche, peu d'auteurs sont allés jusqu'à postuler l'existence d'une «entité nulle» qui fait partie de tout:

(P.11)
existe
existe

z

pour tous
pour tous

x P zx

Bas

(Deux exceptions sont Martin 1965 et Bunt 1985; voir aussi Bunge 1966 pour une théorie à plusieurs individus nuls.) Sans une telle entité, que l'on pourrait difficilement admettre sauf pour de bonnes raisons algébriques, l'existence d'un produit méréologique n'est pas toujours garantie. Par conséquent (P.7) doit rester sous forme conditionnelle. De même, les différences et les compléments peuvent ne pas être définis - par exemple, par rapport à l'univers U. Par conséquent, les principes de clôture correspondants (P.8) et (P.9) doivent également rester sous forme conditionnelle.

4.2. Fusions sans restriction

Dans la littérature, les mérélogies de fermeture sont tout aussi controversées que les méréologies extensionnelles, bien que pour des raisons tout à fait indépendantes. Nous nous pencherons sur ces raisons sous peu. Notons d'abord la possibilité d'ajouter des conditions de fermeture infinies. On peut admettre des sommes d'ensembles d'objets arbitraires non vides, et par conséquent aussi des produits d'ensembles arbitraires d'objets qui se chevauchent (le produit de tous les membres d'une classe A est juste la somme de toutes ces choses qui font partie de chaque membre de UNE). Il n'est pas immédiatement évident comment cela peut être fait si l'on veut éviter de s'engager dans des classes et s'en tenir à une théorie ordinaire du premier ordre - par exemple, sans recourir au mécanisme de quantification plurielle de Boolos (1984). En fait, dans certaines théories classiques, comme celles de Tarski (1929) et Leonard et Goodman (1940),la formulation de ces conditions implique une référence explicite aux classes. (Goodman a produit une version sans classe du calcul des individus en 1951.) Nous pouvons cependant éviter une telle référence en nous appuyant sur un schéma axiome qui n'implique que des prédicats ou des formules ouvertes. Plus précisément, nous pouvons dire que pour chaque propriété ou condition satisfaite φ il existe une entité constituée de toutes ces choses qui satisfont φ. Puisqu'un langage ordinaire de premier ordre a une quantité dénombrable de formules ouvertes, au plus dénombrable de nombreuses classes (dans un domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale ((Goodman a produit une version sans classe du calcul des individus en 1951.) Nous pouvons cependant éviter une telle référence en nous appuyant sur un schéma axiome qui n'implique que des prédicats ou des formules ouvertes. Plus précisément, nous pouvons dire que pour chaque propriété ou condition satisfaite φ il existe une entité constituée de toutes ces choses qui satisfont φ. Puisqu'un langage ordinaire de premier ordre a une quantité dénombrable de formules ouvertes, au plus dénombrable de nombreuses classes (dans un domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale ((Goodman a produit une version sans classe du calcul des individus en 1951.) Nous pouvons cependant éviter une telle référence en nous appuyant sur un schéma axiome qui n'implique que des prédicats ou des formules ouvertes. Plus précisément, nous pouvons dire que pour chaque propriété ou condition satisfaite φ il existe une entité constituée de toutes ces choses qui satisfont φ. Puisqu'un langage ordinaire de premier ordre a une quantité dénombrable de formules ouvertes, au plus dénombrable de nombreuses classes (dans un domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale (éviter une telle référence en s'appuyant sur un schéma axiome qui n'implique que des prédicats ou des formules ouvertes. Plus précisément, nous pouvons dire que pour chaque propriété ou condition satisfaite φ il existe une entité constituée de toutes ces choses qui satisfont φ. Puisqu'un langage ordinaire de premier ordre a une quantité dénombrable de formules ouvertes, au plus dénombrable de nombreuses classes (dans un domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale (éviter une telle référence en s'appuyant sur un schéma axiome qui n'implique que des prédicats ou des formules ouvertes. Plus précisément, nous pouvons dire que pour chaque propriété ou condition satisfaite φ, il existe une entité constituée de toutes ces choses qui satisfont φ. Puisqu'un langage ordinaire de premier ordre a une quantité dénombrable de formules ouvertes, au plus dénombrable de nombreuses classes (dans n'importe quel domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale (au plus dénombrable de nombreuses classes (dans n'importe quel domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale (au plus dénombrable de nombreuses classes (dans n'importe quel domaine donné) peuvent être spécifiées de cette manière. Mais cette limitation est, en quelque sorte, négligeable, surtout si l'on est enclin à nier que les classes n'existent qu'en tant que nomina. Nous arrivons ainsi à ce que l'on appelle désormais la Méréologie Classique ou Générale (GM), qui est obtenu à partir de M en ajoutant le schéma d'axiome

(P.12)
existe
existe

x φ →

existe
existe

z

pour tous
pour tous

y (O yz ↔

existe
existe

x (φ & O yx))

Fusion illimitée

(où, encore une fois, φ est n'importe quelle formule dans la langue). Le résultat de l'ajout de ce schéma à EM ou MM produit des théories méréologiques proportionnellement plus fortes. En fait, MM et EM s'étendent au même renforcement extensif de GM - la théorie de la Méréologie Extensionnelle Générale, ou GEM - puisque (P.12) implique (P.7) et (P.7) + (P. 4) impliquent (P.5) (Simons 1987: 31). Il est également clair que GM et GEM sont des extensions de CM et CEM, puisque (P.6) découle également de (P.12). L'espace logique de toutes ces théories peut ainsi être représenté schématiquement comme sur la figure 2.

Figure 2
Figure 2

Graphique 2. Diagramme de Hasse des théories méréologiques (du plus faible au plus fort, en montée).

Il est intéressant de noter que si le principe d'extensionnalité est satisfait, alors encore une fois au plus une entité peut satisfaire le conséquent de (P.12). En conséquence, dans GEM, nous pouvons définir les opérations de somme générale (σ) et de produit (π):

(47)

σ x φ = df ι z

pour tous
pour tous

y (O yz ↔

existe
existe

x (φ & O yx))

(48)

π x φ = df σ z

pour tous
pour tous

x (φ → P zx).

(P.12) devient alors

(P.12 ')

existe
existe

x φ →

existe
existe

z (z = σ x φ),

ce qui implique

(49) (

existe
existe

x φ &

existe
existe

y

pour tous
pour tous

x (φ → P yx)) →

existe
existe

z (z = π x φ),

et nous avons les identités définitionnelles suivantes chaque fois que les présuppositions existentielles pertinentes sont satisfaites:

(50)

x + y = σ z (P zx

ou
ou

P zy)

(51) x × y = σ z (P zx et P zy)
(52) x - y = σ z (P zx et ¬O zy)
(53) ~ x = σ z ¬O zx
(54) U = σ z P zz

(Il peut être instructif de comparer ces identités avec les définitions des notions théoriques des ensembles correspondantes, avec une abstraction d'ensemble à la place de l'opérateur de fusion.) Cela nous donne toute la force de GEM, qui est en fait connu pour avoir une riche algébrique. structure: Tarski (1935) a prouvé que la relation de séparation axiomatisée par GEM a les mêmes propriétés que la relation ensemble-inclusion - plus précisément, comme la relation d'inclusion restreinte à l'ensemble de tous les sous-ensembles non vides d'un ensemble donné, qui est pour dire une algèbre booléenne complète avec l'élément zéro supprimé. (Comparez Clay 1974 pour un résultat correspondant par rapport à la méréologie de Leśniewski, qui n'est pas basée sur la logique classique.)

Diverses autres formulations équivalentes de GEM sont également disponibles, utilisant différentes primitives ou différents ensembles d'axiomes. Par exemple, c'est un théorème de toute méréologie extensionnelle que la séparation équivaut à l'inclusion de superposeurs:

(55) P xy ↔

pour tous
pour tous

z (O zx → O zy).

Il s'ensuit que dans une méréologie extensionnelle, «O» pourrait être utilisé comme primitif et «P» défini en conséquence. En fait, la théorie définie en postulant (55) avec l'axiome de fusion (P.12 ') et l'axiome d'antisymétrie (P.2) est équivalente à GEM, mais plus élégante. Une autre axiomatisation élégante de GEM, due à Tarski (1929), est obtenue en prenant comme seuls postulats l'axiome de transitivité (P.3) et l'axiome de fusion unique (P.12 ').

4.3. Composition, existence et identité

La force algébrique de GEM, et de ses variantes finitaires les plus faibles, reflète des postulats méréologiques substantiels que certains peuvent trouver peu attrayants. En effet, comme prévu ci-dessus, les mérélogies de fermeture sont tout aussi controversées - philosophiquement - que les méréologies extensionnelles. Deux objections, en particulier, ont été sérieusement examinées dans la littérature. La première est que de telles théories sont ontologiquement exubérantes - elles impliquent une augmentation significative du nombre d'entités à inclure dans un inventaire du monde, contrairement à l'idée que la méréologie devrait être «ontologiquement innocente». La deuxième objection est qu'elles sont ontologiquement extravagantes - elles impliquent un engagement envers une multitude d'entités totalement contre-intuitives et pour lesquelles nous n'avons aucune place dans notre schéma conceptuel, contrairement à l'idée que la méréologie devrait être «ontologiquement neutre».

Pour commencer par la première objection, il ne fait aucun doute qu'un modèle C (E) M typique (sans parler d'un modèle G (E) M) est plus densément peuplé qu'un (E) M (ou MM) modèle. Si l'engagement ontologique d'une théorie est mesuré exclusivement en termes quinéens - via le dicton «être c'est être une valeur d'une variable liée» - alors clairement une théorie méréologique acceptant un principe de clôture tel que (P.6), (P.7) ou (P.12) impliqueront des engagements ontologiques plus importants qu'une théorie rejetant de tels principes, et on pourrait trouver cela désagréable. Ceci est particulièrement vrai pour les théories qui acceptent les principes de somme (P.7) ou (P.12) mais pas le postulat de forte supplémentation (P.5) - d'où le principe d'extensionnalité (34) - pour alors l'exubérance ontologique de de telles théories peuvent donner lieu à une multiplication massive, comme vu dans la section 3.2. Il y a, en conséquence,il ne fait aucun doute que l'acceptation d'un principe de clôture nécessite une défense philosophique de fond et ne peut guère être motivée exclusivement en termes de sens de «partie». Néanmoins, deux sortes de remarques pourraient être faites au nom de GEM et de ses variantes finitaires les plus faibles.

Premièrement, on peut observer que l'exubérance ontologique associée aux principes de clôture pertinents n'est pas substantielle - que l'augmentation des entités dans le domaine de la quantification d'une méréologie de fermeture n'implique aucun engagement supplémentaire substantiel en dehors de ceux déjà impliqués avant la fermeture. Ceci est peut-être mieux apprécié dans le cas d'un principe de clôture tel que (P.7), selon lequel deux entités qui se chevauchent ont un produit méréologique. Après tout, un produit n'ajoute rien. Mais on pourrait dire la même chose des principes tels que (P.6) et (P.12), qui affirment l'existence de sommes méréologiques finitaires ou infinitaires. Au moins, cela semble raisonnable en présence d'extensionnalité. Car, dans ce cas, on peut affirmer que même une somme n'est, en un sens, rien «au-dessus» de ses éléments constitutifs. Comme l'a dit David Lewis:

Étant donné un engagement préalable envers les chats, par exemple, un engagement envers les fusions de chats n'est pas un engagement supplémentaire. La fusion n'est rien au-delà des chats qui la composent. C'est juste eux. Ils le sont simplement. Prenez-les ensemble ou prenez-les séparément, les chats sont la même partie de la réalité de toute façon. (1991: 81)

Ainsi, le «sont» de la composition méréologique - la relation plusieurs-un des parties à un tout - est pour Lewis une sorte de forme plurielle du «est» de l'identité. Pour certains auteurs (par exemple, Baxter 1988), la composition méréologique est plus qu'analogue à l'identité ordinaire. C'est l'identité. La fusion n'est que les parties comptées vaguement; c'est strictement une multitude et vaguement une seule chose. C'est la thèse connue dans la littérature comme «la composition est identité». Et si ce point de vue est accepté, alors on peut parler d'une puissante théorie méréologique telle que GEMcomme étant «ontologiquement innocent» après tout - non seulement dans la mesure où il est neutre sur le sujet et indépendant du domaine, mais aussi dans la mesure où il ne comporte aucun engagement ontologique supplémentaire en plus de ceux qui viennent déjà avec le choix d'un modèle pour un plus faible théorie telle que EM. (Pour plus d'informations sur cette question, voir van Inwagen 1994, Yi 1999, Merricks 2000, Varzi 2000.)

Deuxièmement, on peut constater que l'objection en question ne mord pas au bon niveau. Si, étant donné deux objets x 1 et x 2, la contenance d'une somme x 1 + x 2 est considérée comme un cas d'engagement ontologique supplémentaire, alors étant donné à un objet méréologiquement composite y 1 + y 2 la contenance de ses parties propres y 1 et y 2 pourrait également être considéré comme un cas d'engagement ontologique supplémentaire. Après tout, chaque objet est distinct de ses propres parties. Donc l'objection en question s'appliquerait également dans ce dernier cas - il y aurait une exubérance ontologique à accepter y 1 et y 2avec y 1 + y 2. Pourtant, cela n'a rien à voir avec l'axiome Sum; il s'agit plutôt de savoir s'il y a un intérêt à accepter un tout avec ses parties. Et si la réponse est négative, alors la méréologie tout court semble peu utile. Du point de vue de la présente objection, il semblerait que le seul compte rendu parfaitement parcimonieux serait celui qui rejette non seulement certaines sommes logiquement recevables, mais une telle somme. Les seules entités existantes seraient des atomes méréologiques, des entités sans parties propres. Et un tel récit, bien que parfaitement défendable, serait purement inintéressant: rien ne ferait partie de quoi que ce soit d'autre et la séparation s'effondrerait en identité.(Ce récit est parfois appelé nihilisme méréologique - contrairement à l'universalisme méréologique représenté par l'adhésion au principe de composition illimitée. La terminologie est tirée de van Inwagen 1990: 72ff.[5] Pour une défense détaillée du nihilisme, voir Rosen et Dorr 2002.)

La deuxième ligne d'objection aux méréologies de fermeture - en ce sens qu'elles sont ontologiquement extravagantes - pourrait bien être appelée l'objection de contre-intuitivité et s'applique particulièrement aux théories acceptant le principe de la fusion sans restriction (P.12). Selon cette objection, il est normal d'admettre certaines sommes méréologiques comme des entités de bonne foi - par exemple lorsque les convocations constituent un objet ou un événement ordinaire. Même lorsque les sommets sont des objets matériels dispersés dans l'espace (par exemple), il peut parfois être raisonnable de parler d'eux conjointement comme formant une seule chose, comme lorsque nous parlons du nouveau bikini de Mary, de ma copie de la Recherche de Proust, du système solaire, ou d'une inscription imprimée composée de jetons de lettre séparés (voir Cartwright 1975). Cependant - l'objection va - un principe tel que (P.12) nous obligerait à accepter toutes sortes d'objets épars, toutes sortes d'entités étranges constituées de sommets dispersés ou autrement mal assortis, comme vous et moi, mon chat et votre parapluie, ou le pied gauche de Chisholm et le sommet de l'Empire State Building - sans parler des sommations catégoriquement distinctes telles que le pied gauche de Chisholm et la promenade de Sebastian, votre vie et mon restaurant chinois préféré, ou la couleur rouge et le numéro 2. De telles «sommes» ne montrent aucun degré d'intégrité que ce soit et là ne semble pas justifier de les traiter comme des ensembles unifiés. Il ne semble y avoir aucune raison de les postuler au-dessus de leurs éléments constitutifs et, en fait, le bon sens les ignore complètement. (Cette objection remonte au premier débat sur le calcul des individus: voir Lowe 1953 et, à nouveau, Rescher 1955,avec réponses dans Goodman 1956, 1958; pour des formulations plus récentes, voir, par exemple, Wiggins 1980, Chisholm 1987 et van Inwagen 1987, 1990.)

Un sympathisant de cette objection n'a pas besoin d'adhérer à une position nihiliste concernant la composition méréologique. Plus simplement, l'objection reflète la vision intuitive selon laquelle seuls certains composites méréologiques existent - pas tous. Et sans aucun doute le bon sens soutient ce genre d'intuition. Malgré cela, deux sortes de réponses ont été proposées au nom de (P.12), qui sont toutes deux assez populaires dans la littérature. La première réponse est que la question de savoir quelles fusions existent (ce que van Inwagen 1990 appelle la «question générale de la composition») ne peut pas être résolue avec succès d'une manière restreinte. Bien sûr, il se peut que chaque fois que certaines entités en composent une plus grande, ce n'est qu'un fait brut qu'elles le font (Markosian 1998b). Mais si nous ne sommes pas satisfaits des faits bruts,alors le défi est de proposer une spécification des circonstances dans lesquelles les faits se produisent, afin de remplacer (P.12) par une version restreinte. Et selon la réponse en question, ce n'est pas une option réalisable. Toute tentative de supprimer les fusions bizarres en restreignant la composition devrait en supprimer trop en plus des entités queer; car la bizarrerie vient en degrés alors que la partisanerie et l'existence ne peuvent être une question de degré. Dans les mots de David Lewis:Dans les mots de David Lewis:Dans les mots de David Lewis:

La question de savoir si la composition a lieu dans un cas donné, si une classe donnée possède ou non une somme méréologique, peut être posée dans une partie du langage où rien n'est vague. Il ne peut donc pas avoir de réponse vague. … Aucune restriction de composition ne peut être vague. Mais à moins qu'elle ne soit vague, elle ne peut pas correspondre aux desiderata intuitives. Aucune restriction de composition ne peut donc servir les intuitions qui la motivent. La restriction serait donc gratuite. (1986: 213)

(Cette ligne d'argument, ou une version modifiée de celui-ci, est particulièrement appréciée des auteurs adhérant à une ontologie à quatre dimensions des objets matériels; voir par exemple Heller 1990: 49f, Jubien 1993: 83ff; Sider 2001: 121ff et Hudson 2001: 99ff.)

La deuxième réponse au nom de (P.12) est que l'objection repose sur des préjugés psychologiques qui ne devraient pas avoir d'incidence sur les questions ontologiques. Certes, nous pouvons nous sentir mal à l'aise de traiter des fusions inouïes comme des entités de bonne foi, mais ce n'est pas une raison pour les supprimer complètement. Nous pouvons ignorer de telles choses lorsque nous comptons les choses qui nous intéressent dans des contextes ordinaires, mais cela ne veut pas dire qu'elles n'existent pas. Nous parlons rarement avec nos quantificateurs largement ouverts; nous quantifions normalement sous réserve de restrictions, comme lorsque nous disons «Il n'y a pas de bière», ce qui signifie qu'il n'y a pas de bière dans le réfrigérateur. Donc, dans ce sens, nous pouvons vouloir dire qu'il n'y a pas de parapluies pour chats et de pieds de promenade - il n'y a vraiment pas de telles choses parmi les choses qui nous intéressent. Mais ils sont tous là quand même, comme la bière chaude du garage. Comme l'a dit James Van Cleve:

Même si l'on arrivait à une formule qui concordait avec tous les jugements ordinaires sur ce qui compte comme une unité et ce qui ne l'est pas, qu'est-ce que cela montrerait? Non… qu'il existe dans la nature de tels objets (et tels seulement) qui répondent à la formule. Les facteurs qui guident nos jugements d'unité n'ont tout simplement pas ce genre de signification ontologique. (1986: 145)

De ce point de vue, l'approbation de (P.12) n'est certainement pas neutre en ce qui concerne la question de savoir ce qu'il y a. Mais il perd sa saveur de contre-intuitivité, surtout s'il est combiné avec le récit de la «composition comme identité» évoqué en relation avec la première objection ci-dessus.

Ces dernières années, d'autres objections ont été soulevées contre les méréologies de fermeture - en particulier contre la pleine puissance de GEM. Celles-ci incluent des objections à l'effet qu'une composition illimitée ne cadre pas bien avec certaines intuitions fondamentales sur la persistance dans le temps (van Inwagen 1990, 75ff), ou que cela implique qu'une entité doit nécessairement avoir les parties qu'elle a (Merricks 1999), ou que il est incompatible avec certains modèles d'espace (Forrest 1996b), ou qu'il - ou le principe de fermeture plus faible (P.10) - conduit à des paradoxes similaires à ceux qui affligent la théorie des ensembles naïve (Bigelow 1996). De telles objections font toujours l'objet de controverses et un examen détaillé dépasse le cadre de cette entrée. Cependant, une discussion sur le premier point est déjà disponible dans la littérature: voir notamment Rea 1998, McGrath 1998, 2001 et Hudson 2001: 93ff. Hudson 2001: 95ff contient également une discussion sur le dernier point.

5. Méréologies atomiques et sans atome

Nous concluons cette revue de la méréologie en examinant brièvement la question de l'atomisme. Mérologiquement, un atome (ou «simple») est une entité sans parties propres, qu’il soit ponctuel ou qu’il ait une extension spatiale (et / ou temporelle):

(56) A x = df ¬

existe
existe

y PP yx.

Existe-t-il de telles entités? Et s'il y en a, est-ce que tout est entièrement composé d'atomes? Tout comprend-il au moins quelques atomes? Ou est-ce que tout est composé de crasse sans atome? Ce sont des questions profondes et difficiles, qui ont fait l'objet de recherches philosophiques depuis les débuts de la philosophie et ont également été au centre de nombreuses disputes récentes en méréologie (voir, par exemple, van Inwagen 1990, Sider 1993, Zimmerman 1996, Markosian 1998a, Mason 2000.) Nous nous bornerons ici à souligner que toutes les options sont logiquement compatibles avec les principes méréologiques examinés jusqu'à présent et peuvent donc être traitées sur des bases indépendantes.

Les deux options principales, à savoir qu'il n'y a pas d'atomes du tout, ou que tout est finalement composé d'atomes, correspondent respectivement aux postulats suivants:

(P.13) ¬A x Atome
(P.14)
existe
existe

y (A y & P yx).

Atomicité

Ces postulats sont incompatibles entre eux, mais pris isolément, ils peuvent être systématiquement ajoutés à toute théorie méréologique X considérée dans les sections précédentes. L'ajout (P.14) donne une version atomistique correspondante, AX. En revanche, l'ajout (P.13) donne une version sans atome, AX, dans laquelle l'existence d'un niveau inférieur d'entités méréologiques est rejetée - tout est composé de «gunk sans atome». Puisque la finitude associée à l'antisymétrie de la partie (P.2) impliquent conjointement que la décomposition en parties doit finalement prendre fin, il est clair que tout modèle fini de M (et a fortiori de toute extension de M) doit être atomistique. En conséquence, un AX de méréologie sans atomen'admet que des modèles de cardinalité infinie. (Un monde contenant des merveilles telles que l'Aleph de Borges, où la partition n'est pas antisymétrique, pourrait en revanche être fini et pourtant sans atome.) Un exemple d'un tel modèle, établissant la cohérence de toute théorie sans atome jusqu'à AGEM, est fourni par l'ouverture régulière ensembles d'un espace euclidien, avec «P» interprété comme une inclusion d'ensemble (Tarski 1935). D'autre part, la cohérence de toute théorie atomistique est garantie par le modèle trivial à un élément (avec `` P '' interprété comme identité), bien que la pleine puissance de l' AGEM soit mieux appréciée en considérant qu'elle est isomorphe avec une algèbre booléenne atomique avec l'élément zéro supprimé.

Il convient de souligner que les méréologies atomistiques admettent des simplifications significatives dans les axiomes. Par exemple, AEM peut être simplifié en remplaçant (P.5) et (P.14) par

(P.5 ') ¬P xy →

existe
existe

z (A z & P zx & ¬P zy),

ce qui à son tour implique la variante atomistique suivante de la thèse d'extensionnalité (34):

(57) x = y ↔

pour tous
pour tous

z (A z → (P zx ↔ P zy))

Ainsi, toute méréologie d'extension atomistique est vraiment hyperextensionelle au sens de Goodman: les choses construites exactement à partir des mêmes atomes sont identiques. De même, AGEM pourrait être simplifié en remplaçant le postulat de fusion sans restriction (P.12) par

(P.12 ″)

existe
existe

x φ →

existe
existe

z

pour tous
pour tous

y (A y → (P yz ↔

existe
existe

x (φ & P yx))).

Une question intéressante, discutée assez longuement à la fin des années 1960 (Yoes 1967, Eberle 1968, Schuldenfrei 1969) et reprise plus récemment par Simons (1987: 44f), est de savoir s'il existe un analogue sans atome de (57). Y a-t-il un prédicat qui puisse jouer le rôle de «A» dans une méréologie sans atome? Un tel prédicat identifierait la «base» (au sens topologique) du système et permettrait donc à la méréologie d'encaisser les intuitions hyperextensionnelles de Goodman même en l'absence d'atomes. Cette question est particulièrement significative d'un point de vue nominaliste, mais elle a des ramifications profondes également dans d'autres domaines (par exemple, en relation avec la conception whiteheadienne de l'espace mentionnée dans la section 3.1, selon laquelle l'espace ne contient aucune partie de dimensions inférieures telles que des points ou des frontières éléments; voir Forrest 1996a et Roeper 1997). Dans des cas particuliers, il n'y a aucune difficulté à fournir une réponse positive. Par exemple, dans leModèle AGEM constitué des sous-ensembles réguliers ouverts de la ligne réelle, les intervalles ouverts avec des points d'extrémité rationnels forment une base au sens pertinent. Il n'est cependant pas clair si une réponse générale peut être donnée qui s'applique à tout type de domaine, quelle que soit sa composition spécifique. Sinon, alors la seule option semble être un compte rendu où la notion de «base» est relativisée à des entités d'un type donné. Dans la terminologie de Simons, on pourrait dire que les G -ers forment une base pour les F -ers si les variantes suivantes de (P.14) et (P.5 ') sont satisfaites:

(P.14 *)

F x →

existe
existe

y (G y & P yx))

(P.5 *)

(F x & F y) → (¬P xy →

existe
existe

z (G z & P zx & ¬P zy)).

Une méréologie atomistique correspondrait alors au cas limite où «G» est identifié à «A» pour chaque choix de «F». Dans une méréologie sans atome, en revanche, le choix de la base dépendrait à chaque fois du niveau de granularité fixé par la spécification pertinente de «F».

Entre les deux options principales correspondant à l'atomicité et à l'atomlessness, il y a bien sûr de la place pour des positions intermédiaires. Par exemple, on peut soutenir qu'il y a des atomes, bien que tout ne doive pas nécessairement avoir une décomposition atomique complète, ou on peut soutenir qu'il y a de la saleté sans atome, bien que tout ne soit pas nécessairement crasseux. (Cette dernière position est défendue par exemple par Zimmerman 1996.) Il n'est pas difficile de fournir une déclaration formelle de ces vues:

(P.15)
existe
existe

x A x

Atomicité faible
(P.16)
existe
existe

x

pour tous
pour tous

y (P yx → ¬A y)

Faible absence d'atome

Cependant, à l'heure actuelle, aucune étude approfondie des systèmes résultants n'a été entreprise.

Mentionnons aussi, en terminant, l'option correspondant à la position nihiliste évoquée dans la section précédente. Cette option peut être exprimée par le postulat simple suivant:

(P.17) Un x Nihilisme

Il est facile de vérifier que (P.17) est compatible avec tous les principes méréologiques considérés jusqu'à présent, à l'exception des postulats d'absence d'atome (P.13) et (P.16). D'autre part, en raison du corollaire immédiat suivant

(58) P xy ↔ x = y,

il est également évident qu'aucun système résultant de l'ajout de ce postulat ne mériterait la «méréologie» appelative sauf dans un sens trivial. Le nihilisme est, en fait, un rejet de la méréologie. C'est un rejet de la théorie des relations de partitisme telle que la comprend la méréologie - non pas une théorie des identités nues, mais des relations de partie à tout et des relations de partie à partie dans un tout.

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Autres ressources Internet

Stanislaw Lesniewski (de la page Philosophie polonaise - édité par Arianna Betti)

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